解析几何椭圆双曲线抛物线专题突破讲义

椭圆、双曲线、抛物线
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．
(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．
例1 (1)(2017·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 23
＝1(a >0)的一个焦点与抛
物线y 2＝8x 的焦点重合，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C.13 D.19
(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x
B ．y 2＝6x
C ．y 2＝3x
D ．y 2＝3x
跟踪演练1 (1)(2017届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆
x 2
9＋y 2
25＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于8
5
，则此双曲线的方程为( )
A.x 24－y 212＝1
B.y 24－x 212＝1
C.x 212－y 24＝1
D.y 212－x 2
4
＝1
(2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( )
A.x 216＋y 29＝1(y ≠0)
B.y 225＋x 29＝1(y ≠0)
C.y 2
16＋x 2
9＝1(y ≠0) D.x 2
25＋y 2
9＝1(y ≠0) 热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系
(1)在椭圆中：a 2
＝b 2
＋c 2
，离心率为e ＝c a ＝22-1a
b
(2)在双曲线中：c 2
＝a 2
＋b 2
，离心率为e ＝c a ＝22
1a
b
2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b
a
x .注意离心率e
与渐近线的斜率的关系．
例2 (1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右顶点
分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则椭圆C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13
(2)(2017届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线
E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与E 的渐近线交于B ，C 两点，若BC →＋2BA →＝0，则双曲线E 的渐近线方程为 ( )
A ．y ＝±3x
B ．y ＝±4x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±2x
跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，F 1为
左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A.3－12 B.5－12 C.22 D.32
(2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲
线C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±2x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±4x 真题体验
1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近
线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________．
2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．
3．(2018·全国Ⅲ)双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝3
5
x ，
则a ＝________.
4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 押题预测
1．(2018届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )
A.62
B.5
2
C. 3 D ．2 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为1
2，且点⎝
⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆
上．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为62
7，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．
解 (1)由题意可得e ＝c a ＝1
2
，
又a 2＝b 2＋c 2，
所以b 2
＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝
⎛⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋9
434a 2＝1，
解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty －1，x 2
4＋y
2
3
＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，
显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝
36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋1
4＋3t 2
，
所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，
化简得18t 4－t 2－17＝0，即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 2
2
＝－1718
(舍去)． 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝1
1＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2
＝12
.
A 组 专题通关
1．(2017·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A
在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 2
3－y 2＝1 D ．x 2－y 2
3
＝1 2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 2
16
＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，
F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )
A ．36
B ．16
C ．20
D ．24
3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线
l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为
5，则直线l 的斜率为( ) A ．±
2
2
B ．±1
C ．±63
D ．±6
2
4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F 1，F 2是
双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2
的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2。