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3．合情推理 (1)定义：是根据实验和实践的结果，个人的经验和直觉，已有的 事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方 式． (2)分类：归纳推理与类比推理． 【思考探究】 合情推理的结论一定正确吗？ 提示： 合情推理所得结论只是一种猜想，未必可靠；正确与否， 尚需证明．
4．数学证明 (1)演绎推理：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由 一般 到 特殊 的
2．类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定 理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．
(2009·江苏卷)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则 它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为 1∶2，则它们的体积比为________．
解析： 由题意知，在平面上，两个相似的正三角形的面积比是边 长比的平方．
4．∵a ＝(1,0)，b＝(0 ，－ 1)，∴a·b＝(1,0)·(0，－ 1)＝1×0＋ 0×(－1)＝0.∴a⊥b.
大前提：________________； 小前提：________________； 结论：__________________. 答案： 若两个向量数量积为零，则这两个向量垂直 a·b＝0 a⊥b
2．下列说法正确的是( ) A．合情推理就是归纳推理 B．合情推理的结论不一定正确，有待证明 C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 D．类比推理是从特殊到一般的推理 答案： B
3．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归 纳出所有三角形的内角和都是180°；
5．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题： “________________”，这个类比命题的真假性是________．
解析： 由类比推理可知． 答案： 夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题
归纳推理 归纳推理的特点： (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论 超越了前提所包含的范围． (2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试 验的基础之上的．
推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提—— 已知的一般原理
；
②小前提—— 所研究的特殊情况
；
③结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断
．
1．数列0,1,3,7,15,31的一个通项公式是( )
A．an＝2n－1 C．an＝2n－1－1 答案： C
B．an＝2n－1 D．an＝2n－1＋1
由类比推理知：体积比是棱长比的立方． 即可得它们的体积比为1∶8. 答案： 1∶8
【变式训练】 2.给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中结论Baidu Nhomakorabea确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析： ③正确．
答案： B
数学的证明主要是通过演绎推理来进行的，一个复杂的数学命题的 推理往往是由多个“三段论”构成的．在演绎推理中，只要大前提、小 前提和推理形式是正确的，结论必正确，否则所得的结论是错误的．
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③
C．①②④
D．②④
解析： ①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳推理，所以①② ④为合情推理．
答案： C
答案：
3
6
15
nn－1 2
【变式训练】 1.已知：f(x)＝1－x x，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n ＞1 且 n∈N＋)，则 f3(x)的表达式为______________，猜想 fn(x)(n∈N＋) 的表达式为________．
解析： 由 f1(x)＝f(x)和 fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n＞1 且 n∈N＋)，得 x
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第六章 不等式 推理与证明
栏目导引
1．归纳推理 (1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种 属性 ， 推 断 该 类 事物中每一个 事物都有这种属性 的推理方式． (2)特点：①是由 部分 到 整体 ，由 个别 到 一般 的推理． ②利用归纳推理得出的结论 不一定 是正确的．
解析： 本题根据已知猜想n条直线的交点个数，可将n取几个特殊 值时的交点个数列出来，根据规律去猜想.
n的取值 2 3 4 5
交点个数 1 3 6 10
由以上数据可看出如下规律： 3＝1＋2；6＝1＋2＋3；10＝1＋2＋3＋4. 故猜想 n 条直线的交点个数为 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝nn－ 2 1.当 n ＝6 时，交点个数为6×2 5＝15.
f2(x)＝f1[f1(x)]＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2[f2(x)]＝1－1－1－2xx2x＝1－x22x，…， 由此猜想 fn(x)＝1－2xn－1x(n∈N＋)．
答案： f3(x)＝1－x22x fn(x)＝1－2xn－1x(n∈N＋)
1．类比推理是由特殊到特殊的推理，其命题有其特点和求解规律， 可以从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比 结构．
【注意】 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对 数学结论和科学的发现很有用．
直线l1与l2是同一平面内的两条相交线，它们有一个交点，如果在 这个平面内再画第3条直线，那么这三条直线最多可能有________个交点， 如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可能有________ 个交点，由此可以猜想：在同一个平面内6条直线最多可有________个交 点；n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数 式表示)．