常微分方程的比较定理及其应用.pdf
常微分方程的比较定理及其推广
数学与计算机科学学院数学与应用数学专业
105012005155许小燕指导教师：余赞平
【摘要】本文在比较定理的基础上，利用上下界定函数的方式，研究一阶微分方程初值问题和二阶微分方程初值问题的解的存在性及其估计.
【关键词】一阶微分方程；二阶微分方程；初值问题；比较定理；微分不等式
1．前言
常微分方程的比较定理是解决常微分方程初值问题的一类重要定理，关于比较定理及其应用的研究，已有一些进一步的结果[1]?[3]，本文将通过上下界定函数的方式，对一阶微分方程的初值问题
dy
= f (x, y)
dx
y( x )= y
00和二阶微分方程的初值问题(1 ? 1) (1 ? 2)
y''= f ( x, y, y') (1 ? 3)
, y' ( x0 ) =y0'(1 ? 4)
y( x0)= y0
的解的存在性及其估计进行研究.
定义1[4]设f(x,y)在矩形区域
R ={(x, y) R2:| x ? x0|≤ a, | y ? y0|≤ b}
上连续，令M=max{|f(x,y) |: (x,y) R}, h =min{a,b
}.再设?( x)和φ( x)分别是初值问题
M
(1 ? 1)，(1 ? 2)在区间I= [x0?h, x0+h] 上的两个解，使得对初值问题(1 ? 1)，(1 ? 2)的任意一个解ψ(x)，都有当x[x0?h,x0+h]时，
?( x) ≤ψ ( x) ≤φ( x) ，
则称?(x)和φ(x)分别是初值问题(1?1)的最小解和最大解.
以下介绍几个重要的引理：
1.1 皮亚诺存在定理
皮亚诺于1886年率先证出一阶微分方程y'=f(x,y)可解的唯一条件是f(x,y)的连续性.
引理1[5]设函数f(x,y)在矩形区域
R : | x?x0 |≤a, | y?y0 |≤b
1
内连续，则初值问题(1?1)，(1?2)在区间|x?x0|≤h上至少有一个解y=y( x) ，其中常数
h =min(a, b), 而M= max | f ( x, y) |.
M( x, y ) R
1.2 解的延拓定理
由于皮亚诺定理只能保证局部范围内初值问题解的存在性，而研究解在大范围内的存在性就需要用到以下的解的延拓定理.
引理2[6]设函数f(x,y)在区域R上连续，P0为区域R内任一点，并设Γ为微分方程(1?1)经过P0点的任一条积分曲线，则积分曲线Γ将在区域 R 内延伸到边界（换句话说，对于任何有界闭区域R1（ P0R1R ），积分曲线Γ将延伸到 R1之外）.
1.3 比较定理
在微分方程初值问题的研究中，还有一类重要的定理——比较定理.
引理3 [6]（第一比较定理）设函数f(x,y)与F(x,y)都在平面区域R内连续且满足不等式
f (x, y)< F ( x, y), ( x, y) R；
又设函数y=?(x)与y=φ(x)在区间a dy= f (x, y), y( x 0)= y0 dx 与 dy= F (x, y), y( x 0)= y0 dx 的解，其中(x0,y0) R .则有 ?( x) <φ(x), 当x0 ?( x) >φ( x), 当a 引理4 [6]（第二比较定理）设函数f(x,y)与F(x,y)都在平面区域R内连续且满足不等式 f (x, y)≤ F( x, y), (x, y) R； 又设函数y=?(x)与y=φ(x)在区间a dy= f (x, y), y( x 0)= y0(1 ? 5) dx 与 dy= F (x, y), y( x 0)= y0(1 ? 6) dx 的解，其中(x0,y0) R ,并且 y =?(x)是(1?5)的右行最小解和左行最大解（或者： y =φ( x)是 2 (1 ? 6)的右行最大解和左行最小解），则有如下比较关系： ?( x) ≤φ( x), 当x0≤x ?( x) ≥φ( x), 当a 2．比较定理在一阶微分方程初值问题中的推广 2.1 第一比较定理的推广 定理1设?(x)、φ(x) C1[x0, a],?( x)≤φ( x),?'(x)< f [x,?( x)],φ'( x)> f [x,φ( x)], x [x0 , a], ?( x0 ) ≤y0≤φ( x0 ); 且f (x, y) 在包含闭区域[x0 , a] × [?(x),φ(x)] 的区域D上连续，则初值 问题(1?1)，(1?2)的任一解y(x)，在其右侧存在区域[x0,a]上，必有?(x)≤y(x)≤φ(x). 证明由皮亚诺定理可知，解y(x)在[x0,c](c≤a)上存在. 下证?(x)≤y(x)≤φ(x)，为此采用反证法. 先证y(x)≤φ(x)，x[x0 , c] .若不然，则存在x1(x0 , c] 使得y( x1 ) >φ( x1 ) .令x2= sup{x [x0 , x1 ] | y( x) ≤φ( x)}. 显然，x0≤x2 φ(x) ，则h( x2 ) = 0 ，且当x ( x2 , x1 ] 时，h(x) > 0 ，所以，h' (x2 ) ≥ 0 .但另一方面， h'(x2)= y'( x2)?φ'( x2)< f [x2, y( x2)]? f [x2,φ(x2)]=0， 这与h'(x2)≥0产生矛盾. 这表明，y(x)≤φ(x)，x[x0 , c] ；同理可证，?( x) ≤y( x) ，x[x0 , c] . 再由解的延拓定理可知，解y=y(x)在整个[x0,a]上存在，且满足?(x)≤y(x)≤φ(x)。 定理2设?(x)、φ(x) C1[b, x0],?( x)≤φ( x),?'( x)> f [x,?( x)],φ'( x)< f [x,φ( x)]， x [b, x0 ], ?( x0 ) ≤y0≤φ( x0 ); 且f (x, y) 在包含闭区域 [x0 , a] × [?(x),φ(x)] 的区域D上连续，则初值 问题(1?1),(1?2)的任一解y(x)，在其左侧存在区域[b,x0]上，必有?(x)≤y(x)≤φ(x). 证明由皮亚诺定理可知，解y(x)在[d,x0](d≥b)上存在. 3 下证?(x)≤y(x)≤φ(x)，为此采用反证法. 先证y(x)≤φ(x)，x[d, x0 ] .若不然，则存在x1[d, x0 ) 使得y(x1 ) >φ( x1 ) .令x2= inf{x [x1 , x0 ] | y( x) ≤φ( x)}. 显然，x1≤x2 φ(x) ，则h( x2 ) = 0 ，且当x[x1 , x2 ) 时，h(x) > 0 ，所以，h' (x2 ) ≤ 0 .但另一方面， h'(x2)= y'( x2)?φ'( x2)> f [x2, y( x2)]? f [x2,φ( x2)]=0， 这与h'(x2)≤0产生矛盾. 这表明，y(x)≤φ(x)，x[d, x0 ] ；同理可证，?( x) ≤y( x) ，x[d, x0 ] . 再由解的延拓定理可知，解y=y(x)在整个[b,x0]上存在，且满足?(x)≤y(x)≤φ(x)。 2.2 第二比较定理的推广 定理3设?(x)、φ(x) C1[x0, a],?( x)≤φ(x),?'( x)≤ f [x,?(x)],φ'(x)≥ f [x,φ( x)]， x [x0 , a] ，?( x0 ) ≤y0≤φ( x0 ); 且f (x, y) 在包含闭区域[x0 , a] × [?(x),φ(x)] 的区域D上连续，则初值问题(1?1)，(1?2)的存在解y(x)C1[x0,a]，满足?(x)≤y(x)≤φ(x)，x[x0,a]. 证明由f(x,y)构造截断函数 F (x, y)= f [x,γ( y)]， 其中函数 ?(x),y γ(y) =y,?(x) ≤y≤φ(x) ，x [x0 , a] . φ(x),y>φ(x) 显然，F(x,y)也在D上连续，从而初值问题 dy = F( x, y)(2 ? 1) dx y( x0)= y0 (2 ? 2) 有解y(x) C1[x0, c], (c ≤ a)，下证这样的解 y( x)满足?( x)≤ y( x)≤φ( x)， x[x0 , c] . 4 先用反证法证明y(x)≤φ(x)，x[x0 , c] .若不然，则存在x1 ( x0 , c] 使得y( x1 ) >φ( x1 ) .令 x2=sup{x[x0 , x1 ] | y( x) ≤φ( x)} . 显然，x0≤x2 φ( x) ，则h( x2 ) = 0 ，且当x( x2 , x1 ] 时，h( x) > 0 . 因此，由中值定理知，存在ξ（x2,x1)使得 h'(ξ)>0 (2 ? 3)但另一方面， h'(ξ)= y'(ξ)?φ'(ξ)， ≤ f [ξ,γ( y,ξ)]? f [ξ,φ(ξ)] = f [ξ,φ(ξ)]? f [ξ,φ(ξ)] = 0 即有 h'(ξ)≤0 (2 ? 4)这与(2?3)矛盾. 这表明，y(x)≤φ(x)，x[x0 , c] ；同理可证，?( x) ≤y( x) ，x[x0 , c] . 从而，初值问题(2?1)，(2?2)有解y(x)满足?(x)≤y(x)≤φ(x)，x[x0 , c]（c≤a) . 由解的延拓定理可知，初值问题(2?1)，(2?2)的解y(x)经延拓后在x[x0 , a] 存在，且满足 ?( x) ≤y( x) ≤φ( x) .即初值问题(1 ? 1)，(1 ? 2)有解y(x) 满足?( x) ≤y( x) ≤φ( x) ，x[x0 , a] . 定理4设?(x)、φ(x) C1[b, x0],?( x)≤φ( x),?'( x)≥ f [x,?( x)],φ'( x)≤ f [x,φ( x)]， x [b, x0 ] ，?( x0 ) ≤y0≤φ( x0 ); 且f (x, y) 在包含闭区域[b, x0 ] × [?(x),φ(x)] 的区域D上连续，则初值问题(1?1)，(1?2)存在解y(x)C1[b,x0]，满足?(x)≤y(x)≤φ(x)，x[b,x0]. 证明由f(x,y)构造截断函数 F (x, y)= f [x,γ( y)]， 其中函数 5 ?(x),y γ(y) =y,?(x) ≤y≤φ(x) ，x [b, x0 ] . φ(x),y>φ(x) 显然，F(x,y)也在D上连续，从而初值问题 dy = F( x, y)(2 ? 5) dx y(x0)= y0 (2 ? 6)有解y(x)C1[d,x0], (d≥b)，下证这样的解y(x)满足?(x)≤y(x)≤φ(x)，x[d,x0]. 先用反证法证明y(x)≤φ(x)，x[d,x0].若不然，则存在x1 [d,x0 ) 使得y( x1 ) >φ( x1 ) .令x2=inf{x [x1, x0] | y( x)≤φ( x)}. 显然，x1 φ( x) ，则h( x2 ) = 0 ，且当x[x1 , x2 ) 时，h( x) > 0 .因此，由中值定理知，存在ξ（x1 , x2 ) 使得 h'(ξ)<0.(2 ? 7)但另一方面， h'(ξ)= y'(ξ)?φ'(ξ)， ≥ f [ξ,γ( y,ξ)]? f [ξ,φ(ξ)] =f [ξ,φ(ξ)]? f [ξ,φ(ξ)] =0 即有 h'(ξ)≥0 (2 ? 8)这与(2?7)矛盾. 这表明，y(x)≤φ(x)，x[d ,x0 ] ；同理可证，?( x) ≤y( x) ，x[d ,x0 ] . 从而，初值问题(2?5)，(2?6)有解y(x)满足?(x)≤y(x)≤φ(x)，x[d ,x0 ] (d≥b) . 由解的延拓定理可知，初值问题(2?5)，(2?6)的解y(x)经延拓后在x[b, x0 ] 存在，且满足 ?( x) ≤y( x) ≤φ( x) .即初值问题(1 ? 1)，(1 ? 2)有解y(x) 满足?( x) ≤y( x) ≤φ( x) ，x[b, x0 ] . 3．二阶微分方程的初值问题的解的存在性及其估计 讨论过一阶微分方程的初值问题的解的存在性及估计之后，我们来研究在上下解存在时，二阶微分 6 方程的初值问题的解的存在性及估计. 定理5若初值问题 y''= f ( x, y, y'), x [x0, b] (3 ? 1) , y' ( x0 ) =y0'(3 ? 2) y( x0)= y0 满足如下条件： （ 1 ）具有下解α(x)与上解β(x)，即存在α(x)，β(x) C2[x0,b]，α( x)≤β( x)，α' (x) ≤β' ( x) ，x [x0 , b] ；α( x0 ) ≤y0≤β ( x0 ) ，α' ( x0 ) ≤y0'≤β' (x0 ) ；且对x [x0 , b] 及y [α(x),β(x)]，有α''( x)≤ f [x, y,α'( x)]，β''( x)≥ f [x, y,β'( x)]； （2）f(x,y,y')在D=[x0,b]×[α(x),β(x)]×[α'(x),β'(x)]上连续； 则初值问题(3?1)，(3?2)在[x0,b]上存在解y(x) C 2[x0, b]，满足α( x)≤ y( x)≤β( x)， α' (x) ≤y' ( x) ≤β' ( x) ，x[x0 , b] . 证明构造函数F(x,y,y')=f[x,r(y),s(y')]，其中 β(x),y>β(x) γ(y) =y,α(x) ≤y≤β(y) ，x [x0 , b] ， α(x),y<α(x) β' (x),y'>β' (x) s(y')= y',α'(x)≤ y'≤β'(x)， x [x0, b].α' (x),y'<α' (x) 显然，F(x,y,y')在D1=[x0,b]×R2上连续且有界. 考虑初值问题 y''= F( x, y, y') y(x0)= y0, y'( x0)= y0' 在[x0,b]上的解的存在性. 事实上，初值问题(3?3)，(3?4)的解等价于积分方程 y( x)= x t [ F[s, y(s), y'(s)]ds]dt + y0'( x ? x0)+ y0∫x0∫x0 的解. 由此构造C1[x0,b]上的映射 T [ y( x)]= x t [F[s, y(s), y'(s)]ds]dt + y0'( x ? x0)+ y0.∫x0∫x0 显然，该映射在度量(3 ? 3) (3 ? 4) (3 ? 5) (3 ? 6) 7 || y( x) ||=| y( x) | + | y' ( x) | 的意义下，为C1[x0,b]中的某个有界凸闭集到其自身的一个连续紧映射，故根据Schauder不动点定理知，该映射必有不动点y(x) C1[x0, b]，即初值问题(3?3)，(3?4)存在解 y( x) C 2[x0, b]. 下证这样的解y(x)必满足α'(x)≤y'(x)≤β'(x)，为此采用反证法，先证y'(x)≤β'(x)，x[x0， b]. 若不然，则存在x1( x0 , b]，使得y' ( x1 ) >β' ( x1 ) .令 x2=sup{x | y'(x)≤β'(x), x[x0 , x1 ]}， 显然，x0≤x2 ?( x) =y' (x) ?β' ( x), x[x2 , x1 ] . 由于?(x2)=y'(x2)?β'(x2)=0,?(x)>0，x( x2 , x1 ] ，由微分中值定理知，存在ξ(x2 , x1 ) 使 得?'(ξ)>0. 但另一方面， ?' (ξ ) =y'' (ξ ) ?β'' (ξ ) =F[ξ, y(ξ), y'(ξ)]?β''(ξ) =f [ξ, r[ y(ξ)], s[ y'(ξ)]]?β''(ξ) ≤ f [ξ, r[ y(ξ)],β'(ξ)]? f [ξ, r[ y(ξ)],β'(ξ)] =0 这与?'(ξ)>0矛盾.所以，y'(x)≤β'(x)，x[x0，b] .同理可证，α' ( x) ≤y' (x) ，x[x0，b] . 对不等式α'(x)≤y'(x)≤β'(x)从x0到x积分得α(x)≤y(x)≤β(x)，x[x0，b] . 综合上面的结果可得 F[x, y(x), y'( x)]= f [x, r[ y( x)], s[ y'( x)]] = f [x, y(x), y'(x)] 这表明，y(x)也是初值问题(3?1)，(3?2)在[x0,b]上的解，故本定理的结论成立。 定理6若初值问题 8 y''= f (x, y, y'), x [a, x0] (3 ? 7) , y' ( x0 ) =y0'(3 ? 8) y( x0)= y0 满足如下条件： （ 1 ）具有下解α(x)与上解β(x)，即存在α(x)，β(x) C 2[a, x0]，α( x)≤β( x)，α' (x) ≥β' ( x) ，x [a, x0 ] ；α( x0 ) ≤y0≤β ( x0 ) ，α' ( x0 ) ≥y0'≥β' (x0 ) ；且对x [a, x0 ] 及y [α(x),β(x)]，有α''( x)≤ f [x, y,α'( x)]，β''( x)≥ f [x, y,β'( x)]； _ （2）f(x,y,y')在D=[a,x0]×[α(x),β(x)]×[β'(x),α'(x)]上连续； 则初值问题(3?7)，(3?8)在[a,x0]上存在解y(x) C 2[a, x0]，满足α( x)≤ y( x)≤β( x)， β' ( x) ≤y' ( x) ≤α' ( x) ，x[a, x0 ] . 证明构造函数F(x,y,y')=f[x,r(y),s(y')]，其中 β(x),y>β(x) γ(y) =y,α(x) ≤y≤β(y) ，x [a, x0 ] ， α(x),y<α(x) β' (x),y'<β' (x) s(y')= y',β'(x)≤ y'≤α'(x)， x [a, x0].α' (x),y'>α' (x) 显然，F(x,y,y')在D2=[a,x0]×R2上连续且有界. 考虑初值问题 y''= F( x, y, y') y(x0)= y0, y'( x0)= y0' 在[a,x0]上的解的存在性. 事实上，初值问题(3?9)，(3?10)的解等价于积分方程 y(x)= x t [ F[s, y(s), y'(s)]ds]dt + y0'( x ? x0)+ y0∫x0∫x0 的解. 由此构造C1[a,x0]上的映射 T [ y( x)]= x t [ F[s, y(s), y'(s)]ds]dt + y0'( x ? x0)+ y0.∫x0∫x0 显然，该映射在度量 (3 ? 9) (3 ? 10) (3 ? 11) (3 ? 12) || y( x) ||=| y( x) | + | y' ( x) | 9 的意义下，为C1[a,x0]中的某个有界凸闭集到其自身的一个连续紧映射，故根据Schauder不动点定理知，该映射必有不动点y(x) C1[a, x0]，即初值问题(3?9)，(3?10)存在解 y( x) C 2[a, x0]. 下证这样的解y(x)必满足β'(x)≤y'(x)≤α'(x)，为此采用反证法，先证y'(x)≤α'(x)，x [a, x0]. 若不然，则存在x1[a, x0 ) ，使得y' ( x1 ) >α' ( x1 ) .令 x2=inf{x | y'( x)≤α'( x), x[x1 , x0 ]}， 显然，x1 ?( x) =y' ( x) ?α' (x), x[x1 , x2 ] . 由于?(x2)=y'(x2)?α'(x2)=0,?(x)>0，x[x1 , x2 ) ，由微分中值定理知，存在ξ(x1 , x2 ) 使 得?'(ξ)<0. 但另一方面， ?' (ξ ) =y'' (ξ ) ?α'' (ξ ) =F[ξ, y(ξ), y'(ξ)]?α''(ξ) =f [ξ, r[ y(ξ)], s[ y'(ξ)]]?α''(ξ) ≥ f [ξ, r[ y(ξ)],α'(ξ)]? f [ξ, r[ y(ξ)],α'(ξ)] =0 这与?'(ξ)<0矛盾.所以，y'(x)≤α'(x)，x[a, x0 ] .同理可证，β' ( x) ≤y' ( x) ，x[a, x0 ] . 对不等式β'(x)≤y'(x)≤α'(x)从x0到x积分得α(x)≤y(x)≤β(x)，x[a, x0 ] . 综合上面的结果可得 F[x, y(x), y'( x)]= f [x, r[ y( x)], s[ y'( x)]] = f [x, y(x), y'(x)] 这表明，y(x)也是初值问题(3?7)，(3?8)在[a,x0, ]上的解，故本定理的结论成立。 参考文献 10 广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页 广东工业大学试卷用纸，共页，第页 广东工业大学试卷用纸，共页，第页 一、填空（每题1分，共10分） 1、层次模型，网状模型，关系模型 2、逻辑结构设计，物理结构设计 3、原子性，持续性 4、并发调度的可串行性 5、闭包 6、描述事物的符号记录 二、选择题（每题2分，共20分） 三、简答题（每题4分，共16分） 1、解释数据库，数据库系统，数据库管理系统三个概念。 数据库是指长期存储于计算机内的、有组织的、可共享的数据集合。(1分) DBMS是指位于用户与OS之间的一层数据管理软件，它位用户或应用程序提供访问DB的方法。(1分) DBS是实现有组织的、动态的存储大量关联数据、方便多用户访问的计算机硬件、软件和数据资源组成的系统，即采用数据库技术的计算机系统。(2分) 2、试述视图和基本表之间的联系和区别？ (1)视图和基本表在概念上等同，他们都是关系。(1分) (2)基本表是本身独立存在的表。视图是从一个或几个基本表（或视图）中导出的表，它与基本表不同，是一个 虚表。数据库中只存放视图的定义，而不存放视图对应的数据，这些数据仍然放在原来的基本表中。(3分) 3、数据库的完整性概念与数据库的安全性概念有什么区别和联系？ 数据的完整性和安全性是两个不同的概念，但是有一定的联系。 前者是为了防止数据库中存在不符合语义的数据，防止错误信息的输入和输出，即所谓垃圾进垃圾出所造成的无效操作和错误结果。(2分) 后者是保护数据库防止恶意的破坏和非法的存取。也就是说，安全性措施的防范对象是非法用户和非法操作，完整性措施的防范对象是不合语义的数据。(2分) 4、什么是封锁？基本的封锁类型有几种，简要说明它们的含义。 封锁就是事务T在对某个数据对象（例如表、记录等）操作之前，先向系统发出请求，对其加锁。加锁后事务T就对该数据对象有了一定的控制，在事务T释放它的锁之前，其它的事务不能更新此数据对象。(2分)基本封锁类型：排它锁和共享锁。 排它锁又称为写锁：若事务T对数据对象A加上X锁，则只允许T读取和修改A，其它任何事务都不能再对A加任何类型的锁，直到T释放A上的锁(1分) 共享锁又称为读锁：若事务T对数据对象A加上S锁，则其它事务只能再对A加S锁，而不能加X锁，直到T 释放A 上的S锁。(1分) 四、计算（4分） 1、(R÷S)×S＝{(2,3,4,5),(2,7,2,3)} 2 广东工业大学试卷用纸，共页，第页 第六章 非线性微分方程和稳定性 在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. §6.1 引言 考虑微分方程 (,)d f t dt =x x (6.1) 其中函数(,)f t x 对n D R ∈?x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设 方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ?-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)T n x x =x 的范数取1 221 ()n i i x ==∑x . 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念. 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足 第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到 数据库原理及应用期末考试试题 1. 组织层数据模型的三要素是[ ]。 A.外模式，概念模式和内模式 B.关系模型，网络模型，层次模型 C.1:1的联系，1:n的联系,n:m的联系 D.数据结构，数据操作，数据约束条件 2在关系模型中，任何关系必须满足约束条件包括实体完整性、[ ]和用户自定义完整性。 A．动态完整性 B．数据完整性 C．参照完整性 D．结构完整性 3 SQL Server 中的角色是[ ]。 A. 一个服务器登录 B. 一个数据库用户 C. 一组权限的集合 D. 一个服务器用户 4．当数据的物理存储结构改变时，应用程序无需改变，这样的特性称为数据的[ ]。 A.逻辑独立性 B.物理独立性 C.程序无关性 D.物理无关性 5．下列哪个不是以处理大量数据为中心的应用程序的特点[ ]。 A.涉及的数据量大 B.数据需长期联机保存 C.数据的计算复杂 D.数据可被多个应用所共享 6．E－R图适用于建立数据库的[ ]。 A．概念模型 B．结构模型 C．逻辑模型 D．物理模型 7. 在关系数据库设计中，设计关系模型属于[ ]。 A．需求分析 B．物理结构设计 C．逻辑结构设计 D．概念结构设计 8．[ ]记录了对数据库中数据进行的每一次更新操作。 A．后援副本 B．日志文件 C．数据库 D．缓冲区 9． [ ]是用户定义的一组数据库操作序列，是一个基本的不可分割的工作单元。 A．程序 B．进程 C．事务 D．文件 10．信息世界中，实体是指[ ]。 A．客观存在的事物 B. 客观存在的属性 C. 客观存在的特性 D. 某一具体事件 11. 数据库系统中， DBA表示[ ] 。 A．应用程序设计者 B. 数据库使用者 《数据库原理及应用教程》试题及答案 一、选择题 1、下面叙述正确的是(C) A. 算法的执行效率与数据的存储结构无关 B. 算法的空间复杂度是指算法程序中指令（或语句）的条数 C. 算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止 D. 以上三种描述都不对 (2) 以下数据结构中不属于线性数据结构的是(C) A. 队列 B. 线性表 C. 二叉树 D. 栈 (3) 在一棵二叉树上第5层的结点数最多是(B) 注：由公式2k-1得 A. 8 B. 16 C. 32 D. 15 (4) 下面描述中，符合结构化程序设计风格的是(A) A. 使用顺序、选择和重复（循环）三种基本控制结构表示程序的控制逻辑 B. 模块只有一个入口，可以有多个出口 C. 注重提高程序的执行效率 D. 不使用goto语句 (5) 下面概念中，不属于面向对象方法的是(D) 注：P55-58 A. 对象 B. 继承 C. 类 D. 过程调用 (6) 在结构化方法中，用数据流程图（DFD）作为描述工具的软件开发阶段是(B) A. 可行性分析 B. 需求分析 C. 详细设计 D. 程序编码 (7) 在软件开发中，下面任务不属于设计阶段的是(D) A. 数据结构设计 B. 给出系统模块结构 C. 定义模块算法 D. 定义需求并建立系统模型 (8) 数据库系统的核心是(B) A. 数据模型 B. 数据库管理系统 C. 软件工具 D. 数据库 (9) 下列叙述中正确的是(C) A.数据库是一个独立的系统，不需要操作系统的支持 B.数据库设计是指设计数据库管理系统 C.数据库技术的根本目标是要解决数据共享的问题 D.数据库系统中，数据的物理结构必须与逻辑结构一致 (10) 下列模式中，能够给出数据库物理存储结构与物理存取方法的是(A) 注：P108 A. 内模式 B. 外模式 C. 概念模式 D. 逻辑模式 (11) 算法的时间复杂度是指(C) A. 执行算法程序所需要的时间 B. 算法程序的长度 C. 算法执行过程中所需要的基本运算次数 D. 算法程序中的指令条数 (12) 算法的空间复杂度是指(D) （1） 概念 微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶：2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：()() ,,,,0n F x y y y '=。这里的()n y 是必须出现。 （2）微分方程的解 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? 则()y x ?=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。 注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。 导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。 函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。 左连续：()() ()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()() ()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。 函数在0x 点连续?()()()()000 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在 常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程 的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。 一．单项选择题（每小题1分，共10分） 1.要保证数据库逻辑数据独立性，需要修改的是 A.模式 B.模式与内模式的映射 C.模式与外模式的映射 D.内模式 2.下列四项中，不属于数据库特点的是( ) A.数据共享 B.数据完整性 C.数据冗余很高 D.数据独立性高 3.学生社团可以接纳多名学生参加，但每个学生只能参加一个社团，从社团到学生之间的联系类型是( ) A.多对多 B.一对一 C.多对一 D.一对多 4.反映现实世界中实体及实体间联系的信息模型( ) A.关系模型 B.层次模型 C.网状模型 D. E-R模型 5.对数据库并发操作有可能带来的问题包括( ) A.读出“脏数据” B.带来数据的冗余 C.未被授权的用户非法存取数据 D.破坏数据独立性 6.关系数据模型的三个组成部分中，不包括( ) A.完整性规则 B.数据结构 C.数据操作 D.并发控制 7.SQL语言的REVOKE语句实现下列哪一种数据控制能 A.可靠性控制 B.并发性控制C安全性控制D完整性控制 8.事务有多个性质，其中不包括( ) A.一致性 B.唯一性 C.原子性 D.隔离性 9.SQL语言通常称为( ) A.结构化查询语言 B.结构化控制语言 C.结构化定义语言 D.结构化操纵语言 10.如何构造出一个合适的数据逻辑结构是( )主要解 决的问题。A.关系数据库优化 B.数据字典C.关系数据库规范化理论 D.关系数据库查询 1．在数据管理技术的发展过程中，经历了人工管理阶段、文件系统阶段和数据库系统阶段。在这几个阶段中，数据独立性最高的是____阶段。A．数据库系统 B．文件系统 C．人工管理 D．数据项管理 2．对关系模型叙述错误的是____。 A．建立在严格的数学理论、集合论和谓词演算公式的基础之上B．微机DBMS绝大部分采取关系数据模型C．用二维表表示关系模型是其一大特点D．不具有连接操作的DBMS也可以是关系数据库系统 3．关系运算中花费时间可能最长的运算是____。A．投影 B．选择 C．笛卡尔积 D．除 4．假定学生关系是S（S＃，SNAME，SEX，AGE），课程关系是C（C＃，CNAME，TEACHER），学生选课关系是SC（S＃，C＃，GRADE）。要查找选修“COMPUTER”课程的“女”学生姓名，将涉及到关系____。 A．S B．SC，C C．S，SC D．S，C，SC 2019年硕士研究生招生考试题签 （请考生将题答在答题册上，答在题签上无效） 科目名称：数据库原理及应用第1页共4页 精品文档，欢迎下载！ 一、单项选择题（40分，每题2分） 1、数据库中存储的是0A.数据B,信息C,数据之间的联系D,数据以及数据之间的联系 2、数据的物理独立性是指应用程序独立于。A.外模式B,模式 C.内模式D.子模式 3、关系数据库的查询操作由三种基本运算组合而成，这三种基本运算不但葬A.投影 B.除法 C.连接 D.选择 4、不允许在关系中出现重复记录的约束是通过实现的。 A.主码 B.外码 C.索引 D.惟一索引58、部分匹配查询中有关通配符的正确的叙述是。A.代表多个字符 B.可以代表零个或多个字符C.不能与“％”一同使用 D.代表一个字符9、在关系双据库系统中，为了简化用户的查询操作，后又不增加数据的存储空间，常用的方法12、下列说法中正确的是 A,关系模式的规范化程度越高越好 B,若关系模式R 中只有两个属性，则R 至少属于3NF C,属于3NF 的关系模式中己完全消除了插入异常和删除异常 D,具有无损链接性的模式分解能保证不丢失原模式中的信息 13、数据库设计中，建立数据字典的时机是阶段。A,需求分析B,概念设计C.逻辑设计D.物理设计14、数据库物理设计不但聲 A.存储记录结构设计C.确定数据存放位置 B.存取方法设计D.关系规范化 是创建 A.索引 B.游标 C.视图10、数据库的是指数据的正确性和相容性。A 一荷枇R 安仝桦C 穽整桂D 并舄桂 11、 将数据库对象的操作权限授予用户，属于安全控制机制中的 D.另一个表D,审计 《常微分方程》课程大纲 一、课程简介 课程名称：常微分方程学时/学分：3/54 先修课程：数学分析，高等代数,空间解析几何，或线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化）, 高等数学（多元微积分，无穷级数）。 面向对象：本科二年级或以上学生 教学目标：围绕基本概念与基本理论、具体求解和实际应用三条主线开展教学活动，通过该课程的教学，希望学生正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，具有一定的解题能力和处理相关应用问题的思维方式，如定性分析解的性态和定量近似求解等思想，并希望学生初步了解常微分方程的近代发展，为学习动力系统学科的近代内容和后续课程打下基础。 二、教学内容和要求 常微分方程的教学内容分为七部分，对不同的内容提出不同的教学要求。(数字表示供参考的相应的学时数，第一个数为课堂教学时数，第二个数为习题课时数) 第一章基本概念（2，0） （一）本章教学目的与要求： 要求学生正确掌握微分方程，通解，线性与非线性，积分曲线，线素场（方 向场），定解问题等基本概念。本章教学重点解释常微分方程解的几何意义。 （二）教学内容： 1．由实际问题：质点运动即距离与时间关系（牛顿第二运动定律），放射性元素衰变过程，人口总数发展趋势估计等，通过建立数学模型，导出微分方程。 2．基本概念（常微分方程，偏微分方程，阶，线性，非线性，解，定解问题，特解，通解等）。 3．一阶微分方程组的几何定义，线素场（方向场），积分曲线。 4．常微分方程所讨论的基本问题。 第二章初等积分法（4，2） （一）本章教学目的与要求： 要求学生熟练掌握分离变量法，常数变易法，初等变换法，积分因子法等初等解法。 本章教学重点对经典的几类方程介绍基本解法，勾通初等积分法与微积分学基本定理的关系。并通过习题课进行初步解题训练，提高解题技巧。 （二）教学内容： １. 恰当方程（积分因子法）; ２. 分离变量法 ３. 一阶线性微分方程（常数变易法） ４. 初等变换法（齐次方程，伯努利方程，黎卡提方程） 数据库原理与应用教程 期末测试题（一） 一、填空题（每空1分，共10分） 1．数据库系统的核心是___数据库管理系统__。 2．在关系模型中，实体以及实体间的联系都是用__关系（二维表）____来表示的。3．设关系模型R(A，B，C)，F是R上的函数依赖集，F={A→B,C→B}，则R的候选码为__（A,C）_______。 4．层次模型用“树结构”来表示数据之间的联系，网状模型用“___图状结构______” 来表示数据之间的联系。 5．SQL Server2005中，一个简单的数据库可以只有一个___数据______文件和一个日志文件。6．聚集索引和非聚集索引的存储结构都采用___B树____索引结构。 7．一个事务必须具有的四个属性是原子性、一致性、__隔离性__和持久性。 1、8．在T-SQL中，查询表中数据时，可用_____DISTINCT______关键字滤掉重复行。9．调用标量函数时必须提供至少由两部分组成的名称,即___拥有者_____. 函数名。10．DML 触发器是当数据库服务器中发生数据操作语言事件时会自动执行的存储过程。 二、选择题（每小题1分，共20分） 1、数据管理的发展不包括下面哪个阶段（） (A)文件系统(B)数据库系统 (C)人工管理(D)统一管理 2、一个学生可以同时借阅多本书，一本书只能由一个学生借阅，学生和图书之间是什 么样的联系（） (A)一对一(B)一对多 (C)多对多(D)以上全不是 3、如果事务1将数据库中的A值从200改为300，事务2读A值为300，事务1又将 刚才的操作撤销，A值恢复为200，那么事务2读取了“脏”数据。这种情况 是由于数据库保护中的那方面不当而引起的（） (A)并发控制 (B)完整性约束 (C)安全性控制(D)数据库的恢复 4、在关系模型中，“元组”是指( B ) (A)表中的一行(B)表中的一列 (C)表中的一个数据(D)表中的一个成分 5、有学生、选修和课程三个关系，学生S（学号，姓名，性别….），课程C（课程号， 数据库原理期末考试复习题 一、单选题 1．在数据库中存储的是（C）。 A. 数据 B. 数据模型 C. 数据及数据之间的联系 D. 信息 2．现有一个“教师”表，其中一个字段是教师的住址（字符型，20位长），如果不希望此字段包含空值，即某位教师现没有住址，则希望此字段自动填入“还没有”，应该（C ）。 A. 为此列创建一个check约束 B. 为此列创建一个foreign key约束 C. 为此列创建一个default约束 D. 为此列创建一个primary key约束 3．数据库系统包括（ D ）。 A. DB、DBMS B. DB、DBA C. DB、DBMS、DBA、计算机硬件 D. DB、DBMS、DBA、OS、计算机硬件 4．假设同一名称的产品有不同的型号和产地，则计算每种产品平均单价的SQL语句是（D）。 A. SELECT 产品名称,AVG(单价) FROM 产品GROUP BY 单价 B. SELECT 产品名称,AVG(单价) FROM 产品ORDER BY 单价 C. SELECT 产品名称,AVG(单价) FROM 产品ORDER BY 产品名称 D. SELECT 产品名称,AVG(单价) FROM 产品GROUP BY 产品名称 页脚内容1 5．数据库中，数据的物理独立性是指（C）。 A. 数据库与数据库管理系统的相互独立 B. 用户程序与DBMS的相互独立 C. 用户的应用程序与存储在磁盘上的数据库中的数据是相互独立的 D. 应用程序与数据库中数据的逻辑结构相互独立 6．关系数据库规范化是为解决关系数据库中（B）问题而引入的。 A. 提高查询速度 B. 保证数据的安全性和完整性 C. 减少数据操作的复杂性 D. 插入异常、删除异常和数据冗余 7．当前数据库应用系统的主流数据模型是（C）。 A. 层次数据模型 B. 网状数据模型 C. 关系数据模型 D. 面向对象数据模型 8．如果两个实体集之间的联系是m:n，转换为关系时（B）。 A. 联系本身不必单独转换为一个关系 B. 联系本身必须单独转换为一个关系 C. 联系本身也可以不单独转换为一个关系 D. 将两个实体集合并为一个实体集 9．候选码中的属性可以有（C）。 A. 0个 B. 1个 C. 1个或多个 D. 多个 10．下列关于关系性质的描述中正确的是（B ）。 页脚内容2 北京联合大学优秀教案评选 参赛教案 申报单位北京联合大学 参赛教师XXX 课程名称数据库原理及应用 授课章节第3讲第3节 参赛类别理工类 授课对象本科生 课程性质专业必修 授课时间2学时 北京联合大学教务处 、课程简介 在先修课“离散数学”、“数据结构”、“VB程序设计”，为本课程提供数学、算法、程序设计基础、程序设计语言和 Windows 应用程序开发工具的基础上，本课程主要讲授两大部分内容：一为“数据库系统概论” ，二为“ Microsoft SQL Server数据库管理系统”。本课程为后续课程“网络编程课程设计”、“软件系统基础”、“信息系统开发实习”提供数据库的概念、方法和技术基础。 本课程为信息与计算科学专业专业基础必修课。要求学生了解数据库系统的基本概念、基本结构和关系模型的基本概念；掌握数据库查询和操作方法；掌握数据库保护的基本技术；掌握关系数据理论的基本概念和基本理论；掌握数据库设计的基本步骤和方法。掌握使用Microsoft SQL Server关系数据库管理系统管理数据的方法，并结合Visual Basic设计开发简单的数据库应用系统。 二、单元教学目标 通过本单元的教学，使学生初步掌握标准SQL的查询语句结构，掌握简单查询、连表查询和嵌套查询的方法，并在 SQL Server 环境下应用各类查询语句，完成实际查询任务。 1、知识层面 （1）掌握标准 SQL 的查询语句结构； （2）掌握简单查询，连表查询，嵌套查询的方法。 2、能力层面 （1）分析查询需求，选择应用合适的查询语句，解决实际查询问题； （2）在 SQL Server 环境下，实现各类查询，分析查询结果，分析查询执行错误的原因并找出和实践解决办法。 3、思维层面进一步训练逻辑思维能力。 三、单元教学内容 本单元主要介绍标准SQL及SQL Serve环境下SQL的数据查询功能（DQL）。 1、认识数据库查询；（ 5分钟） 2、示例数据库的结构；（2分钟） 3、标准 SQL 的查询语句结构，包括： FROM、 WHERE 、 SELECT、 GROUP BY、HAVING 、 ORDER BY 子句；（5分钟） 4、简单查询，包括：浏览查询，投影查询，选取查询（带IN、BETWEEN 、LIKE、IS NULL运算符及一般比较运算符的查询），SELECT子句带表达式的查 第五节 微分方程稳定性理论简介 这里简单介绍下面将要用到的有关内容： 一、 一阶方程的平衡点及稳定性 设有微分方程 ()dx f x dt = （1） 右端不显含自变量t ，代数方程 ()0f x = （2） 的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解） 如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足 0lim ()t x t x →∞ = （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。 判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。 将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为： 0'()()dx f x x x dt =- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论： 若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点 0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是 0'()0()f x t x t ce x =+ （5） 其中C 是由初始条件决定的常数。 二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性 方程的一般形式可用两个一阶方程表示为 112212 () (,)()(,) dx t f x x dt dx t g x x dt ?=??? ?=?? （6） 右端不显含t ，代数方程组 1212 (,)0 (,)0f x x g x x =?? =? （7） 的实根0012 (,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00 012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足 101lim ()t x t x →∞ = 20 2lim ()t x t x →∞ = （8） 则称平衡点00 012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐 近稳定）。 为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程 11112 22122 () ()dx t a x b x dt dx t a x b x dt ?=+??? ?=+?? （9） 系数矩阵记作 1 12 2a b A a b ??=???? 并假定A 的行列式det 0A ≠ 于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程 det()0A I λ-= 的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式： 2120()det p q p a b q A λλ?++=? =-+??=? （10） 将特征根记作12,λλ，则 第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解 的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。 解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1） 这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。 定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3） 数据库系统概论复习资料 第一章 一、名词解释 1. Data：数据，是数据库中存储的基本对象，是描述事物的符号记录。 2. Database：数据库，是长期储存在计算机内、有组织的、可共享的大量数据的集合。 3. DBMS：数据库管理系统，是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，用于科学 地组织、存储和管理数据、高效地获取和维护数据。 4. DBS：数据库系统，指在计算机系统中引入数据库后的系统，一般由数据库、数据库管理系统、应用系统、数据库管理员（DBA）构成。 5. 数据模型：是用来抽象、表示和处理现实世界中的数据和信息的工具，是对现实世界的模拟，是数据库系统的核心和基础；其组成元素有数据结构、数据操作和完整性约束。 6. 概念模型：也称信息模型，是按用户的观点来对数据和信息建模，主要用于数据库设计。 7. 逻辑模型：是按计算机系统的观点对数据建模，用于DBMS实现。 8. 物理模型：是对数据最底层的抽象，描述数据在系统内部的表示方式和存取方法，在磁盘或磁带上的存储方式和存取方法，是面向计算机系统的。 9. 实体和属性：客观存在并可相互区别的事物称为实体。实体所具有的某一特性称为属性。 10. E-R图：即实体-关系图，用于描述现实世界的事物及其相互关系，是数据库概念模型设 计的主要工具。 11. 关系模式：从用户观点看，关系模式是由一组关系组成，每个关系的数据结构是一张规范化的二维表。 12. 型/值：型是对某一类数据的结构和属性的说明；值是型的一个具体赋值，是型的实例。 13. 数据库模式：是对数据库中全体数据的逻辑结构（数据项的名字、类型、取值范围等） 和特征（数据之间的联系以及数据有关的安全性、完整性要求）的描述。 14. 数据库的三级系统结构：外模式、模式和内模式。 15. 数据库内模式：又称为存储模式，是对数据库物理结构和存储方式的描述，是数据在数据库内部的表示方式。一个数据库只有一个内模式。 16. 数据库外模式：又称为子模式或用户模式，它是数据库用户能够看见和使用的局部数据的逻辑结构和特征的描述，是数据库用户的数据视图。通常是模式的子集。一个数据库可有多个外模式。 17. 数据库的二级映像：外模式/模式映像、模式/内模式映像。 二、填空题 1. 数据库系统由数据库、数据库管理系统、应用系统和数据库管理员构成。 2. 数据管理是指对数据进行分类、组织、编码、存储、检索和维护等活动。 3. 数据管理技术的发展经历了人工管理、文件系统、数据库系统3个阶段。 4. 数据模型分为概念模型、逻辑模型和物理模型3个方面。 5. 数据模型的组成要素是：数据结构、数据操作、完整性约束条件。 6. 6. 实体型之间的联系分为一对一、一对多和多对多三种类型。 第5章定性和稳定性理论简介 在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时) 一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳 定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零 解的稳定和渐近稳定性。 二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分 方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。 四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 1．稳定性的定义 考虑微分方程组 (,)dx f t x dt = （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈?和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。 设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ?=，而其它解记作00(,,)x x t t x = 。 现在的问题是：当01x x -很小是，差 0001(,,)(,,) x t t x t t x ?-的变化是否也很小？本章向量1 2 (,,,)T n x x x x = 的范数取 1 221n i i x x =?? = ? ?? ∑。 如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。 定义 5.1 如果对于任意给定的0 ε>和00t ≥都存在0(,)0 t δδε=>, 使得只要 01x x δ -<，就有 0001(,,)(,,)x t t x t t x ?ε -< 对一切0t t ≥成立，则 称（5.1）的解01(,,)x t t x ?=是稳定的。否则是不稳定的。 定义5.2 假定01(,,)x t t x ?=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要 011x x δ-< ，就有 0001l i m ((,,) (,,))0t x t t x t t x ?→∞ -= ，则称 （5.1）的解01(,,)x t t x ?=是渐近稳定的。 为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ?=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,) x t x t t x =01()(,,)t t t x ??=作如下变量代换. 作如下变量代 换. 数据库原理综合习题答案 1.1名词解释 (1) DB：即数据库（Database),是统一管理的相关数据的集合。DB能为各种用户共享，具有最小冗余度，数据间联系密切，而又有较高的数据独立性。 (2) DBMS：即数据库管理系统（Database Management System)，是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，为用户或应用程序提供访问DB的方法，包括DB的建立、查询、更新及各种数据控制。DBMS总是基于某种数据模型，可以分为层次型、网状型、关系型、面向对象型DBMS。 (3) DBS：即数据库系统（Database System),是实现有组织地、动态地存储大量关联数据，方便多用户访问的计算机软件、硬件和数据资源组成的系统，即采用了数据库技术的计算机系统。 (4) 1：1联系：如果实体集E1中的每个实体最多只能和实体集E2中的一个实体有联系，反之亦然，那么实体集E1对E2的联系称为“一对一联系”，记为“1：1”。 (5) 1：N联系：如果实体集E1中每个实体与实体集E2中任意个（零个或多个）实体有联系，而E2中每个实体至多和E1中的一个实体有联系，那么E1对E2的联系是“一对多联系”，记为“1：N”。 (6) M：N联系：如果实体集E1中每个实体与实体集E2中任意个（零个或多个）实体有联系，反之亦然，那么E1对E2的联系是“多对多联系”，记为“M：N”。 (7) 数据模型：模型是对现实世界的抽象。在数据库技术中，表示实体类型及实体类型间联系的模型称为“数据模型”。它可分为两种类型：概念数据模型和结构数据模型。 (6) 概念数据模型：是独门于计算机系统的模型，完全不涉及信息在系统中的表示，只是用来描述某个特定组织所关心的信息结构。 (9) 结构数据模型：是直接面向数据库的逻辑结构，是现实世界的第二层抽象。这类模型涉及到计算机系统和数据库管理系统，所以称为“结构数据模型”。结构数据模型应包含：数据结构、数据操作、数据完整性约束三部分。它主要有：层次、网状、关系三种模型。 (10) 层次模型：用树型结构表示实体类型及实体间联系的数据模型。 (11) 网状模型：用有向图结构表示实体类型及实体间联系的数据模型。 (12) 关系模型：是目前最流行的数据库模型。其主要特征是用二维表格结构表达实体集，用外鍵表示实体间联系。关系模型是由若干个关系模式组成的集合。 (13) 概念模式：是数据库中全部数据的整体逻辑结构的描述。它由若干个概念记录类型组成。概念模式不仅要描述概念记录类型，还要描述记录间的联系、操作、数据的完整性、安全性等要求。 (14) 外模式：是用户与数据库系统的接口，是用户用到的那部分数据的描述。 (15) 内模式：是数据库在物理存储方面的描述，定义所有的内部记录类型、索引和文件的组成方式，以及数据控制方面的细节。 (16) 模式/内模式映象：这个映象存在于概念级和内部级之间，用于定义概念模式和内模式间的对应性，即概念记录和内部记录间的对应性。此映象一般在内模式中描述。 (17) 外模式/模式映象：这人映象存在于外部级和概念级之间，用于定义外模式和概念模式间的对应性，即外部记录和内部记录间的对应性。此映象都是在外模式中描述。 (18) 数据独立性：在数据库技术中，数据独立性是指应用程序和数据之间相互独立，不受影响。数据独立性分成物理数据独立性和逻辑数据独立性两级。 (19) 物理数据独立性：如果数据库的内模式要进行修改，即数据库的存储设备和存储方法有所变化，那么模式/内模式映象也要进行相应的修改，使概念模式尽可能保持不变。也就是对模式的修改尽量不影响概念模式。广东工业大学数据库原理与应用试卷答案
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