常微分方程平衡点及稳定性研究
微分方程稳定性理论
若f '(x0) > 0，则x0对于方程(4)和(1)都是 不稳定的.
2
注: x0点对方程(4)稳定性很容易由定义 (3)证明：记f '(x0) = a，则(4)的一般解为
x(t) = ceat + x0
(5)
其中常数c由初始条件确定，显然，a < 0时
(3)式成立.
3
二阶方程的平衡点和稳定性
二阶方程可用两个一阶方程表为
x1 (t ) x2 (t)
f ( x1, g( x1,
x2 ) x2 )
,
(6)
右端不显含t，是自治方程. 代数方程组
f g
( (
x1, x1,
x2 x2
) )
0 0
(7)
的实根x1 = x10, x2 = x20称为方程(6)的平衡点， 记作P0(x10, x20).
)
8
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性稳有的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
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军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
常微分方程的稳定性和周期性
常微分方程的稳定性和周期性常微分方程是研究自然现象变化过程的一种数学方法。
它描述的是一个变量随时间的变化规律，广泛应用于微积分、物理学、生物学、天文学等领域。
而稳定性与周期性是常微分方程解的重要特征。
稳定性是指一个解在微小扰动后仍能保持其原有的状态。
以简单的单摆为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
摆的稳定性取决于它的初始位置和速度，如果初始位置偏离了平衡点太远，摆就会摆动得很大。
但是如果初始位置非常接近平衡点，摆就会缓慢地回到平衡点，并逐渐停止摆动。
这就是稳定性表现出来的效果。
对于常微分方程的解来说，稳定性的研究可以帮助我们预测解的长期行为，以及在实际问题中制定合适的控制策略。
周期性则是指一个解在固定时间间隔内周期性地变化。
周期性解是常微分方程非常重要的一个特殊类型，它在自然界中很常见，如天体运动、震荡等。
以简单的谐振运动为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
在特定的参数条件下，谐振运动会产生周期性解，这种解有着固定的振动频率和振幅。
对于周期性解的研究，可以帮助我们了解自然现象的规律，找到有效的调控途径和优化方案。
那么如何判断一个常微分方程的解是否稳定或者周期性呢？这里有一些常用的方法。
首先是线性稳定性分析。
线性稳定性分析是判断一个非线性系统稳定性的一种重要方法。
它利用一个非线性系统在某个平衡点的线性近似来分析系统的稳定性。
如果近似后的系统方程具有稳定性，则原方程也是稳定的。
通过计算特征方程的特征根，可以得到系统的稳定性。
其次是Lyapunov函数法。
Lyapunov函数是判断非线性系统稳定性的一种常见方法。
一个Lyapunov函数是一个实数函数，它可以度量系统状态与平衡点的距离。
如果Lyapunov函数是严格下降的，那么系统就是稳定的。
通过构造合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性，是非常实用的方法。
最后是Poincaré-Bendixson定理。
Poincaré-Bendixson定理是关于非线性系统稳定性和周期性的一个重要定理。
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
衡点。
ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
定义２ 代数方程 ） 的实根 。 ： ＝ ０ 称为微分方
程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
。 ｏ 作 泰勒 展 开 ， ，） ｙ处 只取 一 次项 ， （在 Ｐ 。 。 得 ４ ） ０ ，） Ｙ
的线 性近 似方 程 为 ：
贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
点 ． Ｉ 一ｒＯ 是稳定的平衡点。 厂） ＜，
分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
常微分方程的稳定性与解的渐近行为
常微分方程的稳定性与解的渐近行为常微分方程是研究自然和社会现象中连续变化的数学模型，它们描述了物理系统、化学反应、工程问题以及许多其他领域中的动态行为。
对于常微分方程解的稳定性和渐近行为的分析是解决实际问题和预测系统行为的重要工具。
本文将讨论常微分方程的稳定性和解的渐近行为的相关概念和方法。
一、稳定性的概念和分类稳定性是指当微分方程的初值发生微小变化时，解的行为是否趋于不变。
常微分方程的稳定性可分为以下几类：1. 渐近稳定：当系统的解随着时间增长，趋于某一常数或者一个确定的函数。
2. 李雅普诺夫稳定：当系统的解随着时间增长，始终保持在某个有界区域内。
3. 指数稳定：当系统的解随着时间增长，趋于某个常数或函数，并且其收敛速度是指数级的。
4. 渐近不稳定：当系统的解随着时间增长，趋于无穷大。
二、线性常微分方程的稳定性线性常微分方程具有形如y'+ay=b的一阶形式，其中a和b是常数。
对于这类方程，其稳定性可以通过判断参数a的正负性来确定。
1. 当a<0时，方程的解趋于0，系统是渐近稳定的。
2. 当a>0时，方程的解趋于无穷大，系统是渐近不稳定的。
3. 当a=0时，方程的解保持不变，系统是李雅普诺夫稳定的。
三、非线性常微分方程的稳定性对于非线性常微分方程，稳定性的判断需要使用李雅普诺夫稳定性定理和渐近稳定性定理等方法。
1. 李雅普诺夫稳定性定理：如果一个常微分方程系统的解在某个平衡点附近连续可微，并且其雅可比矩阵的特征值都具有负实部，则该系统是李雅普诺夫稳定的。
2. 渐近稳定性定理：如果一个常微分方程系统的解在某个平衡点附近连续可微，并且满足李雅普诺夫稳定性定理的条件，且系统解中不存在振荡或发散行为，则该系统是渐近稳定的。
四、解的渐近行为解的渐近行为是指解随着时间趋于无穷时的极限行为。
常微分方程的解的渐近行为可以分为以下几类：1. 渐近稳定：解趋于某个有限值。
2. 渐近周期：解以一定的频率在某个值附近波动。
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
常微分方程的定性分析
常微分方程的定性分析常微分方程是研究自变量只涉及一个变量的微分方程，在科学和工程中具有广泛的应用。
定性分析是常微分方程中重要的一部分，它是指通过分析方程的性质和图像来揭示方程的解的行为。
在本文中，我们将讨论常微分方程的定性分析的基本方法和技巧。
一、平衡点和稳定性分析在进行定性分析之前，首先需要确定方程的平衡点。
平衡点是指微分方程中导数为零的点，即解保持恒定的点。
通过求解方程等于零的情况，我们可以找到方程的平衡点。
确定平衡点后，我们需要分析平衡点的稳定性。
稳定性是指当初始条件接近平衡点时，解是否会趋向于平衡点。
通过线性化的方法可以分析平衡点的稳定性，即在平衡点附近做泰勒展开，然后分析展开式的特征根。
二、相图和相轨线相图是用来描述微分方程解的整体行为的图形表示。
在相图中，自变量通常表示时间，因变量表示微分方程的解。
通过绘制相图，我们可以看到解的轨迹和相位变化。
相轨线是相图中的曲线，表示微分方程解在相空间中的轨迹。
通过绘制相轨线，我们可以直观地了解方程的解的行为。
相轨线可以通过数值方法或者解析方法进行求解。
三、参数分析和稳定性改变在定性分析中，我们可以通过改变微分方程中的参数来观察解的行为的变化。
通过参数的分析，我们可以看到解在不同参数取值下的定性变化。
特别是可以通过稳定性分析，观察参数的改变对平衡点的稳定性有何影响。
四、存在性和唯一性在进行定性分析之前，我们需要先讨论微分方程解的存在性和唯一性问题。
存在性指的是在给定的初始条件下是否存在解。
唯一性指的是解是否是唯一的。
通过利用积分器的理论可以证明微分方程解的存在性和唯一性。
五、应用实例下面通过几个实例来说明常微分方程定性分析的具体应用。
例1：考虑简谐振动方程m*x''+c*x'+k*x=0。
分析方程的解的稳定性和相轨线。
解：首先确定平衡点。
当加速度为零时，m*x''+c*x'+k*x=0，可得平衡点为x=0。
常微分方程平衡点
常微分方程平衡点在常微分方程的解析中，平衡点是非常重要的一个概念。
平衡点也被称为固定点或者稳定点。
平衡点是指微分方程中，如果取值等于该点，微分方程的解将会保持不变。
也就是说，在该点附近可以观察到系统的稳定性和动力学行为。
因此，对于常微分方程的分析和解决，平衡点也有着至关重要的作用。
本文将着重探讨关于常微分方程平衡点的相关参考内容。
一、平衡点的概念和性质平衡点是常微分方程中的一个重要概念。
在理解平衡点前，需先了解微分方程的解析解。
在微分方程中，解析解是指通过数学分析和运算得到的函数形式解，而平衡点就是在微分方程中，取值为该点时系统处于稳定状态。
在数学上，平衡点可以通过计算微分方程的雅可比矩阵的特征值来判断。
当该点的特征值全部为负实数时，该点为稳定平衡点。
二、平衡点的寻找与计算如何寻找一个微分方程的平衡点？在进行分析求解时，通常会采用数值方法或者解析方法。
其中，解析方法通常采用原函数求解，而数值方法则通过求解微分方程的数值解来确定平衡点。
这里介绍一种基于Jacobi矩阵的求解平衡点的方法。
具体步骤如下：1. 将微分方程转化成矢量形式，并将微分方程写成矩阵的形式，即矢量函数f(x) = (f1(x),…,fn(x))T 以及矩阵形式的微分方程f'(x) = A(x)f(x)。
2. 计算雅可比矩阵J(x) = [∂fi/∂xj]，其中i,j分别表示矢量f(x)的第i行第j列元素。
3. 求解雅可比矩阵J(x)在平衡点处的特征值和特征向量。
如果所有特征值的实部为负数，则平衡点为稳定平衡点。
否则，平衡点为不稳定平衡点。
4. 如果出现了零特征值，则可能需要使用中心流体倍增法（center manifold reduction）对其进行进一步的分析。
三、平衡点和稳定性的物理及实际应用平衡点的概念和寻找方法已经介绍了，下面就来谈谈平衡点和稳定性的物理及实际应用。
一般情况下，系统处于平衡点附近时，其动力学行为将基于平衡点本身的性质。
常微分方程与运动稳定性第三篇
稳定性意味着系统能够自我调整并恢复到平衡状态，而不稳定性则表明系统在受到扰动后会偏离原有 状态，且无法自行恢复。
运动稳定性的分类
线性稳定性与非线性稳定性
线性稳定性是指系统在受到小扰动后，其运动状态的改变与扰动成线性关系； 非线性稳定性则是指系统在受到扰动后，其运动状态的改变与扰动成非线性关 系。
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在控制工程中，运动稳定性是一个重要指标。通过设计控制器使得系 统满足一定的稳定性条件，可以保证系统的正常运行和安全性。
05 常微分方程的数值解法与 运动稳定性
常微分方程的数值解法
01
02
03
欧拉法
通过差分近似导数，将微 分方程转化为差分方程进 行求解。
龙格-库塔法
在欧拉法的基础上，采用 更高阶的差分近似，提高 求解精度。
为实际问题的解决提供理论支持
微分方程和运动稳定性理论在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。通过本文的研究，可以为这些领 域中实际问题的解决提供理论支持，推动相关学科的发展。
微分方程与运动稳定性的关系
微分方程是描述运动现象的数学模型 ：微分方程可以描述自然界中各种运 动现象的变化规律，包括机械运动、 电磁运动、流体运动等。通过求解微 分方程，可以得到运动现象的数学表 达式，进而分析其性质和行为。
常微分方程的稳定性分析
线性稳定性分析
通过研究常微分方程线性化后的特征值和特 征向量，判断解的稳定性。若所有特征值具 有负实部，则解是稳定的。
非线性稳定性分析
对于非线性常微分方程，需要采用更复杂的方法如 李雅普诺夫稳定性理论等进行分析。
稳定性判据
在控制论中，有一些经典的稳定性判据如劳 斯判据、赫尔维茨判据等，可用于判断常微 分方程解的稳定性。
微分方程稳定性
目录摘要 (3)ABSTRACT (4)前言 (5)微分方程稳定性分析原理 (6)捕鱼业的持续收获模型 (10)种群的相互竞争模型 (14)参考文献 (18)摘要微分方程稳定性理论是微分方程的一个重要的理论。
微分方程理论就是通过一些定量的计算来研究系统的稳定性，也就是系统在受到干扰项偏离平衡状态后能否恢复到平衡状态或者是平衡状态附近的位置。
用微分方程描述的物质运动的特点依赖于初值，而初值的计算或者测定不可避免的又会出现误差和干扰。
如果描述这个系统运动的微分方程的特解是不稳定的，则初值的微小误差和干扰都会导致严重的后果。
因此，不稳定的特解不适合作为我们研究问题的依据，只有稳定的特解才是我们需要的。
本文就一阶微分方程和二阶微分方程的平衡点及稳定性进行了分析，并且建立了捕鱼业持续收获模型和两种群相互竞争模型。
【关键词】微分方程；平衡点；稳定性；数学建模ABSTRACTDifferential equation stability theory is an important theory of differential equations. Differential equation theory is to study the stability of the system by some quantitative calculation, also is the system in the disturbance of deviating from the equilibrium state after the item will return to equilibrium or is near the equilibrium position. Using differential equation to describe the characteristics of the material movement depends on the initial value, and the calculation of initial value or determination of the inevitable will appear the error and interference. If the special solution of the differential equation describing the system movement is unstable, the initial value of small errors and interference will lead to serious consequences.Therefore, special solution is not suitable for the unstable as the basis of our research question, only stable solution is we need. In this paper, the first order differential equation of second order differential equation and the balance and the stability are analyzed, and the fishing sustained yield model is established and two species and two species competing models.【key words】Differential equations; Balance; Stability; Mathematical modeling前言在现实世界里，无论是在自然科学或者是社会科学的各领域中，存在着许许多多的变化规律可以用某些特定的数学模型来进行描述。
对常微分方程的稳定性分析
对常微分方程的稳定性分析摘要：稳定性理论是微分方程的一个重要分支，是由研究运动问题而发展起来的，就常微分方程的稳定性进行进一步的分析.关键词：常微分方程；稳定性；李雅普诺夫函数Abstract：Stabilitytheoryisaimportantpartofdifferentialequation，isdevelopedbyresearchingintotheathleticsproblem.Inthispaperisthe furtheranalysisofordinarydifferentialequation’sstability.Keywords：ordinarydifferentialequation；Stabilitytheory；Lyapunovfunction稳定性理论是19世纪80年代由俄国数学家李雅普诺夫[1]创建的.稳定性理论在自动控制、航天技术、生态生物、生化反应等自然科学和技术等方面有着广泛的应用[2]，其概念和理论发展十分迅速，本文中构造李雅普诺夫函数来判定常微分方程的稳定性.一、李雅普诺夫函数[3]考虑集合w■Rn，f：w→Rn连续可微。
■∈W，■是系统■=f（x）（1）的平衡点.定理1：如果U是■的领域，U■W有函数V：U→R，在U上连续，在U-■上可微，满足（1）V（■）=0；V（x）>0，当x≠■（2）V=■V（x（t））≤0，当x≠■，其中x（t）是系统（1）的轨线，则■是稳定的.（3）若函数V还满足V<0，当x≠■，则■是接近稳定的.函数V满足（1）（2），V就叫做■的李雅普诺夫函数；若还满足（3）就叫做严格单调的李雅普诺夫函数。
这个定理叫李雅普诺夫稳定性定理.处理常系数线性系统二次型的方法，可以推广到某些非自治和非线性系统（对非线性系统）■A（t）x（2）取二次型V（t，x）=xiB（t）x作为李雅普诺夫函数，其中B（t）=（bij（t））n×m是可微矩阵。
4.1常微分方程的定性与稳定性
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
其中 0是常数，那么
1) 当 1 2 0时， P0是(7)的稳定结点；
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
微分方程的稳定性与解存在性分析
微分方程的稳定性与解存在性分析在数学领域中，微分方程是研究物理、工程、经济和生物等领域中数学建模的一种重要工具。
微分方程的稳定性和解的存在性是微分方程理论中的核心概念。
本文将对微分方程的稳定性和解的存在性进行分析。
一、微分方程的稳定性分析微分方程的稳定性描述了解的行为在不同条件下的稳定情况。
稳定性的分析通常包括平衡点的稳定性和解的稳定性两个方面。
1. 平衡点的稳定性平衡点是微分方程中解保持不变的点。
考虑一个一阶常微分方程dy/dt=f(y)，当f(y)=0时，y的值处于平衡点。
为了判断平衡点的稳定性，有以下三种情况：a) 当f'(y)<0时，该平衡点是稳定的。
意味着当y离开平衡点时，解会回到平衡点附近。
b) 当f'(y)>0时，该平衡点是不稳定的。
当y离开平衡点时，解将远离平衡点。
c) 当f'(y)=0时，无法确定平衡点的稳定性，需要进行进一步的分析。
2. 解的稳定性除了平衡点的稳定性，我们还可以研究解本身的稳定性。
一般来说，稳定解具有以下特征：a) 收敛性：解在特定的条件下趋于一个有限的值。
b) 渐进稳定：解在无穷远处趋于零。
通过稳定性分析，我们可以判断系统是否具有趋于稳定状态的性质，这对于系统控制、优化问题等具有重要意义。
二、微分方程的解存在性分析解的存在性是对微分方程是否能找到满足特定条件的解进行研究。
下面介绍两个常见的解存在性定理。
1. 皮卡-林德勒夫定理对于连续函数f(x,t)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x,t)满足利普希茨条件，则方程dx/dt=f(x,t)在区间[t0,t1]上存在唯一的解。
利普希茨条件是指存在一个常数L，使得对于t∈[t0,t1]和x1、x2∈Rn，满足|f(x1,t)-f(x2,t)|≤L|x1-x2|。
2. 广义皮卡-林德勒夫定理对于非线性连续函数f(x)和初始条件x(t0)=x0，如果f(x)满足利普希茨条件，且满足一定的增长条件，则方程dx/dt=f(x)在区间[t0,t1]上存在解。
常微分方程的稳定性和相图
常微分方程的稳定性和相图随着科学技术的不断发展和进步，微分方程已经成为了一个非常重要的工具，广泛应用在物理、化学、生物等领域。
其中，常微分方程（ODE）是其中应用最广泛的一类微分方程。
在ODE中，我们通常需要讨论方程的解的稳定性，因为这涉及到了我们对系统行为的预测。
为了更好地理解和分析ODE的稳定性，我们需要借助相图的概念。
相图的定义很简单：相图是一个描述ODE解稳定性和周期解各种可能性的图形，在平面上画出X轴和Y轴上的解变量。
我们需要解决的问题是：给定一个ODE，如何构造出它的相图。
一般来说，我们需要先找到ODE的平衡点（steady state，稳定解），即其导数为零的点，以及这些点的类型（节点、中心、鞍点等）。
然后，我们要在相图上画出ODE解的方向场，即在每一个点上画出ODE解的切线方向。
最后，我们通过分析ODE解的方向场，确定ODE在平面上的稳定性、周期性等性质。
下面，我们将对这个过程进行详细介绍。
1.平衡点的定义及类型在ODE中，一个平衡点（或称为稳定解）是指当解处于这个点时，它将保持不变，即解在这个点附近不再发生变化。
因此，当我们考虑ODE的长期行为时，我们通常需要将ODE的解稳定到这个点。
我们可以将ODE的平衡点分为以下三类：节点（node）：当ODE的平衡点的导数为实数时，且导数为正负号相反，即ODE的解从该点向两边发散时，我们称这个平衡点为节点。
中心（center）：当ODE的平衡点的导数为实数时，且导数为正和负时的两个解周围作周期性摆动时，我们称这个平衡点为中心。
中心点是解在这两个方向上以振荡的形式绕平衡点徘徊的情况。
鞍点（saddle）：当ODE的平衡点的导数有一个正特征值和一个负特征值时，且ODE的解从该点向某个方向发散，从另一个方向收缩，我们称这个平衡点为鞍点。
鞍点处，我们既有向外扩张的方向，又有向内收缩的方向。
因此，在鞍点附近我们既可能出现扩张，又可能出现收缩。
2. 相图的绘制绘制ODE的相图，要画出其解在平面上的方向场矢量图，即ODE的解在每个点处的切线方向。
常微分方程的解的稳定性
常微分方程的解的稳定性常微分方程的解的稳定性在数学领域中具有重要意义。
稳定性是指当微分方程的初始条件发生微小变化时，解是否保持接近原来的解。
在本文中，将介绍常微分方程解稳定性的概念和几种常见的稳定性分类方法。
一. 稳定性的定义常微分方程的解稳定性描述了解在微小扰动下是否趋向于原来的解。
稳定性的分析对于理解和预测系统的行为至关重要。
二. 稳定性的分类1. 渐近稳定性渐近稳定性是指当时间趋向于无穷大时，解会趋向于稳定的平衡点或解。
2. 指数稳定性指数稳定性是指解与稳定的平衡点或解之间存在一个指数下降的关系。
3. 有界稳定性有界稳定性是指解在有界时间内保持在有界的范围内。
三. Lyapunov稳定性定理Lyapunov稳定性定理是判断微分方程解稳定性的一种重要方法。
Lyapunov稳定性定理利用Lyapunov函数来判定系统的稳定性。
四. 线性稳定性分析线性稳定性分析适用于线性微分方程。
线性稳定性分析通过判断特征根的位置来确定解的稳定性。
五. 非线性稳定性分析非线性稳定性分析适用于非线性微分方程。
非线性稳定性分析通常用Lyapunov函数和LaSalle不变集定理等方法来判断解的稳定性。
六. 实例分析以一个一阶非线性常微分方程为例：dy/dt = y^2 - y - 2通过求解方程的平衡点，我们得到y = -1和y = 2。
然后，对于每个平衡点，可以进行稳定性分析。
通过计算特征根或使用Lyapunov函数等方法，我们可以确定每个平衡点的稳定性。
当y = -1时，特征根为-1和2，因此平衡点y = -1是不稳定的。
当y = 2时，特征根为-1和2，因此平衡点y = 2是稳定的。
七. 结论本文介绍了常微分方程解的稳定性及其分类方法。
稳定性的分析在数学和物理领域中具有广泛的应用。
通过对微分方程解稳定性的研究，可以更好地理解和预测系统的行为。
在实际问题中，稳定性分析也有着重要的应用，例如在控制系统和生物学中的应用等。
时滞常微分系统平衡点性质及稳定性分析
时滞常微分系统平衡点性质及稳定性分析时滞常微分系统是一类具有时滞的动力学系统，其在许多实际应用中起着重要的作用。
对于时滞常微分系统的平衡点性质及稳定性进行分析，有助于我们深入理解系统的行为，并为控制系统的设计提供指导。
时滞常微分系统的平衡点是系统在稳定状态下的解。
平衡点的性质可以通过线性化方法进行分析。
首先，我们将系统在平衡点附近进行线性化，得到线性时滞常微分方程。
然后，通过求解线性方程的特征值，可以判断平衡点的稳定性。
当所有特征值的实部小于零时，平衡点是稳定的；当至少存在一个特征值的实部大于零时，平衡点是不稳定的；当存在虚部不为零的特征值时，平衡点是振荡的。
在分析时滞常微分系统的平衡点性质时，我们需要考虑时滞对系统行为的影响。
时滞可以引起系统的不稳定性，并导致系统的振荡或耗散行为。
为了判断时滞对系统稳定性的影响，我们可以利用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理。
该定理通过构建Lyapunov-Krasovskii函数，并利用延迟函数的导数上界，可以得到系统的稳定性条件。
通过求解稳定性条件，我们可以判断时滞对系统的稳定性起到的作用。
除了平衡点的稳定性分析，我们还可以通过数值仿真方法来研究时滞常微分系统的稳定性。
通过选择适当的参数值和时滞大小，我们可以观察系统的稳定性行为。
通过仿真，我们可以验证理论分析的结果，并进一步了解系统的动态特性。
综上所述，时滞常微分系统的平衡点性质及稳定性分析是研究该类系统的重要内容。
通过对平衡点进行线性化分析、利用Lyapunov-Krasovskii稳定性定理以及数值仿真方法，我们可以深入探究时滞常微分系统的稳定性行为，并为系统的控制与应用提供指导。
大学常微分方程组的解法与稳定性分析
大学常微分方程组的解法与稳定性分析常微分方程组是研究多个未知函数随自变量变化而产生关系的数学工具。
在大学数学课程中，常微分方程组是一个重要的内容，它应用广泛，被用于解决各种实际问题。
本文将介绍常微分方程组的解法和稳定性分析方法。
一、常微分方程组的解法常微分方程组可以通过不同的方法进行求解，常用的有以下几种方法：1. 矩阵法对于线性常微分方程组，可以将其表示为矩阵形式，通过求解矩阵的特征值和特征向量，可以得到方程组的通解。
假设常微分方程组为： dX/dt = AX其中，A为方程组的系数矩阵，X为未知函数的列向量。
利用矩阵的特征值和特征向量，可以将方程组转化为对角标准型，从而求得方程组的通解。
2. 分离变量法对于一些特殊形式的常微分方程组，可以通过将方程组的未知函数分离出来，从而化为多个单变量的微分方程。
利用分离变量法可以对这些单变量微分方程进行求解，最终得到方程组的通解。
3. 指数矩阵法指数矩阵法是求解常系数线性微分方程组的一种有效方法。
通过将方程组视为向量值函数的导数，利用指数函数的性质，将解表示为指数矩阵的乘积形式。
指数矩阵法适用于一些特殊的常系数线性微分方程组，例如常微分方程组的系数矩阵可对角化的情况。
二、稳定性分析稳定性分析是研究方程组解的性质，包括解的存在性、唯一性和稳定性。
常微分方程组的稳定性分析方法主要有以下几种：1. 平衡点与稳定性常微分方程组的平衡点是指使方程组右端项为零的解。
平衡点的稳定性分为两类：渐近稳定和不稳定。
通过计算方程组的雅可比矩阵，并求出其特征值，可以判断平衡点的稳定性。
2. 线性化法对于非线性常微分方程组，可以利用线性化法进行稳定性分析。
线性化法将非线性方程组在平衡点处进行线性近似，得到一个线性常微分方程组。
然后利用线性方程组的特征值来判断非线性方程组在平衡点处的稳定性。
3. 相图法相图法是一种几何方法，通过绘制方程组解的相轨线来分析方程组的稳定性。
相轨线是解在相平面上的轨迹，可以反映解的演化变化。
常微分方程平衡点及稳定性研究.
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。
所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。
在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--的平衡点1x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1x=of the following delay single population model()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity摘要 (I)Abstract (I)目录 (II)第1章引言 (1)第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)2.1 平衡点及稳定性定义 (3)2.2 自治系统零解的稳定性 (4)2.2.1 V函数 (4)2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)2.3 非自治系统的稳定性 (8)2.3.1 V函数和k类函数 (8)2.3.2 零解的稳定性 (10)2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)2.4.1 相关定义 (14)2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)2.5.1 相关定义 (15)2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)第5章结论 (25)参考文献 (27)致谢 (29)第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。
常微分方程的平衡点
常微分方程的平衡点平衡点是常微分方程中的重要概念，它是指在某一时刻，系统中各个状态量的变化率均为零的状态。
在平衡点附近，系统的稳定性可以通过线性化分析来判断，这对于研究系统的动态行为具有重要的意义。
平衡点可以分为两种：稳定平衡点和不稳定平衡点。
稳定平衡点是指当系统从该点偏离时，系统会自动回到该点；而不稳定平衡点则是指当系统从该点偏离时，系统会继续远离该点。
这两种平衡点的判断方法是通过线性化分析得出的。
线性化分析是指将非线性系统在平衡点附近进行线性化，从而求出系统的局部稳定性。
具体方法是将非线性系统在平衡点附近进行泰勒展开，保留一阶项，从而得到一个线性系统。
对于该线性系统，可以求出其特征值，从而判断系统的稳定性。
对于稳定平衡点，特征值的实部都是负数，因此系统会自动回到该点；而对于不稳定平衡点，特征值的实部都是正数，因此系统会继续远离该点。
对于特征值的实部为零的平衡点，需要进行更加复杂的分析，这超出了本文的范围。
除了线性化分析，还有一些其他的方法可以判断系统的稳定性，例如利用Lyapunov函数进行分析、利用Poincaré-Bendixson定理进行分析等等。
这些方法在不同的情况下具有不同的优劣势，需要根据实际情况进行选择。
在实际应用中，常微分方程的平衡点通常是系统的稳定状态。
例如在控制系统中，可以通过控制系统的输入，使得系统的状态逐渐趋向于平衡点，从而实现对系统的控制。
在生物学中，平衡点也具有重要的意义。
例如在生态系统中，平衡点可以表示物种的数量达到一个稳定状态，从而维持生态系统的平衡。
常微分方程的平衡点是非常重要的概念，它可以帮助我们研究系统的稳定性和动态行为。
在实际应用中，平衡点也具有广泛的应用。
因此，对于平衡点的研究具有重要的理论和实际意义。
常微分方程定性分析
常微分方程定性分析常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是数学领域的重要理论，用于描述变量及其导数之间的关系。
在实际应用中，常微分方程可以帮助我们理解自然现象、物理规律及经济现象等，因此对于常微分方程的定性分析具有重要意义。
一、常微分方程的基本概念和分类常微分方程是指未知函数的导数只涉及一个独立变量的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶和高阶，线性和非线性等多种类型。
二、定性分析方法常微分方程的定性分析是指通过研究方程的性质和解的行为，确定方程解的大致形态和特征。
常用的定性分析方法有以下几种：1. 平衡点和稳定性分析平衡点是指满足dy/dx = 0的解点。
通过计算f(x, y)在平衡点处的导数，可以判断平衡点的稳定性。
若f'(x, y) > 0，则平衡点是不稳定的；若f'(x, y) < 0，则平衡点是稳定的。
2. 相图分析相图是指将导数关于自变量和因变量绘制成的图形。
根据相图的形态，可以初步判断方程解的行为。
常见的相图形态有稳定点、周期解、不稳定点等。
3. 变量分离法对于一些特殊形式的常微分方程，可以利用变量分离法进行求解。
变量分离法是指将方程中的自变量和因变量分开，再进行积分求解。
4. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将常微分方程转化为代数方程的方法，通过对方程应用拉普拉斯变换，可以得到方程的解析解。
三、应用实例常微分方程定性分析在实际问题中具有广泛的应用。
以生态学模型为例，生态学家研究生物种群的增长与环境因素之间的关系时，常常采用常微分方程来描述种群数量的变化。
通过定性分析可以评估种群的稳定性，分析环境因素对种群数量的影响。
另外，常微分方程定性分析还可以应用于控制理论、金融学等领域。
在控制理论中，常微分方程用于描述动态系统的演化过程，通过定性分析可以预测系统的行为并设计相应的控制策略。
微分方程的定性与稳定性分析
微分方程的定性与稳定性分析微分方程是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的许多现象和规律。
在研究微分方程的过程中，定性与稳定性分析是一项关键的工具和方法。
本文将介绍微分方程的定性与稳定性分析的基本概念和方法。
一、微分方程的定性分析1. 定性分析的概念定性分析是通过分析微分方程的特征和重要性质，来了解方程解的大致行为和特点的过程。
它主要关注方程解的长期行为和稳定性，而不是具体的解析形式。
2. 相图和关键点相图是微分方程解的图形表示，通常以自变量和因变量的关系进行绘制。
关键点是方程解在相图中具有特殊意义的点，如平衡点、周期点、奇点等。
3. 平衡点和稳定性分析平衡点是方程解中保持不变的点，即导数为零的点。
稳定性分析是判断平衡点的性质，包括稳定、不稳定和半稳定等。
二、微分方程的稳定性分析1. 稳定性的概念稳定性是指方程解在平衡点附近的行为趋势，包括渐近稳定、指数稳定、周期稳定等。
稳定性分析是研究方程解在不同情况下的稳定性质。
2. 稳定性分析的方法（1）线性稳定性分析：通过线性化微分方程，求得线性化方程的特征根，并根据特征根的实部和虚部来判断解的稳定性。
（2）李雅普诺夫稳定性分析：通过构造适当的李雅普诺夫函数，证明解的稳定性。
（3）数值稳定性分析：通过数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，模拟方程解的行为和稳定性。
三、案例分析考虑一个常见的微分方程模型，如Logistic方程，描述了物种的增长和竞争过程。
通过定性与稳定性分析，可以了解方程解的行为特点。
具体的分析过程和结果省略。
四、结论微分方程的定性与稳定性分析是研究方程解行为和稳定性的重要方法。
通过相图、关键点、稳定性分析等工具和方法，可以揭示微分方程解的长期行为和稳定性质，为对实际问题的理解和解决提供基础。
总之，微分方程的定性与稳定性分析是研究方程解行为和稳定性的重要方法，在实际问题中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，希望读者对微分方程的定性与稳定性分析有更深入的了解，并能在实际问题中灵活运用。
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， ， (2-2)
满足解的存在惟一性定理的条件，其解 的存在区间是 ， 还满足条件
(2-3)
(2-3)保证 是(2-2)的解，我们称它为零解。
定义2.1若对任意给定的 ，都能找到 ，使得当 时(2-2)的解 满足
， (2-4)
则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。
2.2.2
设 维自治微分方程
(2-6)
的解为 。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时 的变化情况数 沿着(2-7)轨线的全导数。
定理2.1若有原点的邻域 和一个正定(负定)函数 ，使得 是半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得 负定(正定)时，(2-6)的零解是渐近稳定的。
由定义2.6看出， 正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的维数和邻域 的大小有关。例如 是 中的正定函数，而它在 中仅是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数 在 中的区域 中是正定函数，而在 中却不是正定函数。
最常用的 函数是二次型 ，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关 的特征值理论来判定，且一些复杂的 函数往往可以通过对二次型的修改得到。
是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有 ，均有 .即从 中出发的解趋于 。
定义2.3若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个 ，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。
定义2.4若定义2.1中的 与 无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定义2.2中的 与 和 无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。
定理2.1的几何意义是函数 正定时， 是包围原点的闭曲面族，且随着 的减少而缩向原点。当全导数 半负定时，在 时过 的轨线 上， 的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在 内，所以原点是稳定的。当 负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族 中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。
第
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理 化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
注1(2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径 ，总能在 中找到一个以原点为中心、半径为 的开球 ，使得(2-2)在 时刻从 出发的解曲线当 时总停留在半径为 的开球 内。
注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个 ，使得对任意的 ，在开球 内至少有一个点 和一个时刻 ，使得 ．
注3对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若 是(2-2)的一个解，为了考察其他解 和它的接近程度，我们就可以令 ，带入(2-2)得
李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。
早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。
第
2.1
初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题
， (2-1)
的解为 . 是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当 时，无论 多小，只要 ，当 时，总有 ，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当 时， 与零解的误差不会超过初始误差 ，且随着 的增加很快就会消失，所以当 很小时， 与零解的误差也很小。这个例子表明 时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当 时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。
摘
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过 稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型
对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。
关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如 定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。
20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。
叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。
的平衡点 的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性
A
In this paper,we givedthe conceptions ofdifferential equationstability.Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discussa step andthe second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium of the followingdelay single population model
70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等
继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。
李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。
is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.
Key Words:autonomous system;equilibriumpoint;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
2.2.1
设函数 在 中原点的某邻域 中有定义， 在 中连续可微，且满足 。
定义2.6若除原点外对所有 均有 ，则称 为正定函数(负定函数)；若对所有 均有 ，则称 为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若 中原点的任一邻域内 既可取正值，也可取负值，则称 为变号函数。