常微分方程平衡点及稳定性研究

第
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理 化学 生物 天文）和社会科学（如工程 经济 军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
摘
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过 稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型
2.2.1
设函数 在 中原点的某邻域 中有定义， 在 中连续可微，且满足 。
定义2.6若除原点外对所有 均有 ，则称 为正定函数(负定函数)；若对所有 均有 ，则称 为半正定函数或常正函数(半负定函数或常负函数)；若 中原点的任一邻域内 既可取正值，也可取负值，则称 为变号函数。
例如， 是 中的正定函数， 是 中的半正定函数，而 是 中的变号函数。
2.2.2
设 维自治微分方程
(2-6)
的解为 。为了研究(2-6)解的稳定性，考察随时间变化时 的变化情况。将 视为 的复合函数，关于 求导得
(2-7)
(2-7)为函数 沿着(2-7)轨线的全导数。
定理2.1若有原点的邻域 和一个正定(负定)函数 ，使得 是半负定(半正定)的，则系统(2-6)的零解是稳定的；且使得 负定(正定)时，(2-6)的零解是渐近稳定的。
is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.
Key Words:autonomous system;equilibriumpoint;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity
由定义2.6看出， 正定时必是半正定的。另外正定和半正定与空间的维数和邻域 的大小有关。例如 是 中的正定函数，而它在 中仅是半正定的。利用化为极坐标的方法可以看出，函数 在 中的区域 中是正定函数，而在 中却不是正定函数。
最常用的 函数是二次型 ，因为二次型的表达式简单，其符号类型可以利用线性代数中有关 的特征值理论来判定，且一些复杂的 函数往往可以通过对二次型的修改得到。
70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等
继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。
李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。
定理2.1的几何意义是函数 正定时， 是包围原点的闭曲面族，且随着 的减少而缩向原点。当全导数 半负定时，在 时过 的轨线 上， 的值不会增加，(2-6)的轨线只能停留在 内，所以原点是稳定的。当 负定时，原点邻域内(2-6)的轨线不断跑向闭曲面族 中更小的一个闭曲面，最终趋于原点，所以(2-6)的零解是渐近稳定的。该几何意义也正是我们证明定理2.1的基本思想。
20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。
叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。
李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。
一般 函数的符号判断十分困难，通常是把 在原点展开为 级数
其中 ， 分别是 的 次、 次齐次函数，根据 展开式中的最低次项，在许多情况下就可以确定 在原点邻域内的符号。
对正定函数 ，容易证明当 充分小时， 是 中包围原点的闭曲面，且随着 趋于零， 缩向坐标原点。事实上，由正定函数的定义可知，在 内的闭曲面 上， 有正的下界 ，当 时，在连接原点与 任一点的任一条连续曲线的线段上至少有一点 ，使 ，所以 是包围原点的闭曲面。
李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。
早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。
第
2.1
初始值的微小变化对不同系统的影响不同。例如初始值问题
， (2-1)
的解为 . 是(2-1)的一个解，我们称它为零解。当 时，无论 多小，只要 ，当 时，总有 ，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当 时， 与零解的误差不会超过初始误差 ，且随着 的增加很快就会消失，所以当 很小时， 与零解的误差也很小。这个例子表明 时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当 时(2-1)的零解是“稳定”的。下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。
Fra Baidu bibliotek设微分方程
， ， (2-2)
满足解的存在惟一性定理的条件，其解 的存在区间是 ， 还满足条件
(2-3)
(2-3)保证 是(2-2)的解，我们称它为零解。
定义2.1若对任意给定的 ，都能找到 ，使得当 时(2-2)的解 满足
， (2-4)
则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。
定义2.5若有正数 ，对任意给定的 ，有 ，使得当 时有
则称(2-2)的零解是指数渐近稳定的。
2.2
前面给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性， 直接方法就是解决这一问题的有效途径。这一节中我们先引入 函数的定义，然后再给出 稳定性定理。
注1(2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径 ，总能在 中找到一个以原点为中心、半径为 的开球 ，使得(2-2)在 时刻从 出发的解曲线当 时总停留在半径为 的开球 内。
注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个 ，使得对任意的 ，在开球 内至少有一个点 和一个时刻 ，使得 ．
注3对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。事实上，若 是(2-2)的一个解，为了考察其他解 和它的接近程度，我们就可以令 ，带入(2-2)得
是(2-2)零解的一个吸引域，更简单的描述是对所有 ，均有 .即从 中出发的解趋于 。
定义2.3若(2-2)的解释稳定的，又是吸引的，则称(2-2)的零解是渐近稳定的；如果(2-2)的零解的吸引域是整个 ，则称(2-2)的零解是全局渐近稳定的。
定义2.4若定义2.1中的 与 无关，则称(2-2)的零解是一致稳定的；若定义2.2中的 与 和 无关，则称(2-2)的零解是一致吸引的；若(2-2)的零解是一致稳定和一致吸引的，则称(2-2)的零解是一致渐近稳定的。
的平衡点 的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统 平衡点 稳定性 全局吸引性
A
In this paper,we givedthe conceptions ofdifferential equationstability.Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discussa step andthe second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium of the followingdelay single population model
对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。
关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如 定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。
(2-5)
这样一来，(2-2)解 的稳定性就转化为(2-2)零解的稳定性。所以在本文的讨论中，我们仅研究(2-2)零解的稳定性。
定义2.2设 是 中包含原点的一个开区域，对所有 和任意给定的 ，总能找到一个 ，使得当 时，有 成立，我们就称 是(2-2)零解的一个吸引域，这时称(2-2)的零解是吸引的。