完整word版高中数学课程内容主线函数

高中数学课程内容主线（一）——函数主线

20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”

高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。

在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。

1．对函数的认识

（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型

把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。具有这种特征的变量之间的依赖关系在现实世界中大量存在。例如，在汽车的运动中，运动时间和速度是有依赖关系的两个变量，在任何时刻，汽车只能有唯一的速度。又如，邮局按邮件的重量收取邮资，邮资与邮件的

重量是有依赖关系的两个变量，对同一类型具有一定重量的邮件，只能收取唯一确定的邮资。函数正是反映变量之间这种依赖关系的，它是刻画现实世界中自然规律的重要模型。这也是数学联系实际的基础。

（2）函数是联结两类对象的桥梁——对应关系

把函数看做是连接两类对象的桥梁，即通常说的映射关系。在高中阶段，函数的定义为：af，在集合Ｂ中存在，按照某种对应关系、B，对集合Ａ的任一元素给定两个实数集合A f(a)?bf b

为集合Ａ到集合Ｂ的一个函数唯一元素。我们称这个对应关系与之对应，即f A?B。关系，简称

函数，记作：：这是用映射的观点刻画函数，它反映两个数集之间的关系，在两个数集之间架起了一座桥梁。这样的看法反映了数学中的一个基本思想。在代数学中，同构、同态都是构架两个代数结构的桥梁。在拓扑学中，连续、同胚都是架构两个拓扑结构的桥梁。这种思想渗透到每一个数学分支。

（3）函数是“图形”——数形关系

函数关系是平面上点的集合，又可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下，函数是满足一定条件的曲线。因此，从某种意义上说，研究函数就是研究曲线的性质，研究曲线的变化。

用这种看法，函数可以看做数形结合的载体之一。实际上，高中数学课程中的数形结合主要有三个载体：解析几何、向量几何、函数。．

在讨论函数问题时，帮助学生养成画函数图形，并且用函数图形思考问意识题的习惯。树立“图形意识”是掌握函数性质、学好函数的关键。以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高在高等数学的学习中，这些对于进一步学习是很重要的。进入大学，中阶段中应留下的东西。常常要把具有某些形式的函数作例如，在很多情境中，我们还会学习认识函数的新的视角，为一个整体，并讨论整体的结构。2．中学数学研究函数的什么性质函数的变化特征反映了它所刻画的因为，数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。

自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。也讨论某些函数的奇偶性。的一个最基本的性质。就是当自变量增加（减少）”单调性是在高中阶段讨论函数“变化

不是函数的局部性质。函数值是增加还是减少？单调性反映的是某个区间里函数的变化，时，从几何的角度看，就是研究函数图象走势的变化规律。在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。中。要求理解单调性的几何直观，1第一阶段，用运算的性质研究单调性；安排在必修单调性与函数理解单调性在研究函数中的作用。理解单调性的定义，通过大量的具体函数，掌握基本上就可以决定函数图形的走势；反过来，图形有密切关系，了解了函数的单调性，单调性与也就基本了解了函数的单调性，这是掌握函数最基本的东西；了函数图形的走势，反之，不等式有密切联系，单调性的形式化定义提函数的单调性反应了是借助不等式给出的。具体函数的单调性反映了一些不等关系。关于单调性的证明一定要把握好它的“度”，一般的只证明以下几种函数的单调性：23?1,yx?xxcax?bx?,y??,y?,??yaxby。

我们应该看到，可以运用导数与函数单调性的关系来证明上述函数的单调性，这样，我们就会有不同的思想、方法、工具研究函数。

对数函数、指数函数的单调性的证明也不作要求，因为对数函数、指数函数的单调性的证明是有难度的。学习了导数知识，可以给出证明。

第二阶段，用导数的性质研究单调性。安排在选修系列1、2课程的导数及其应用中。导数是描述函数变化率的概念，导数概念可以帮助我们对“函数的变化”有进一步了解。在这一部分内容中，要求学生理解导数与单调性的联系：在一个区间内，如果函数在每一点的导数大于零，则函数是递增的；如果函数在每一点的导数小于零，则函数是递减的；反之，

也可以用单调性判断导数的符号。在一个区间内，递增函数如果有导函数，那么每一点的导数大于或等于零；在一个区间内，递减函数如果有导函数，那么每一点的导数小于或等于零。这些结