平行四边形判定-题型归纳(较难)

对角线取值范围问题（同三角形第三边中线取值范围）

平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线长a的取值范围为( ) A．4

平行四边形的判定：

1：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

4：对角线相互平分的四边形是平行四边形

14.平行四边形的判定（一）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC．

过点A作AE⊥BC于点E；过点C作CF∥AE，交AD于点F；

求证：四边形AECF为平行四边形

练习：

1、已知：如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BA、CA的延长线上的点，且AD=AE，连接ED并延长到F，使得EF=EC，连接AF、CF、BE．（1）求证：四边形BCFD是平行四边形；

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，且AE=AD，

∴由题可知∠AED=∠ADE=∠EAD=60°

∴EF∥BC，

又∵EC=EF，

∴△ECF为等边三角形，即∠EFC=∠EDB=60°，

∴CF∥BD

∴四边形BCFD为平行四边形．

2、如图：平行四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，AN与DM相交于点P，BN与CM相交于点Q。试说明PQ与MN互相平分。

3、如图，在四边形ABCD中，AH、CG、BE、FD分别是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分线，且BE∥FD，AH∥CG，证明四边形ABCD为平行四边形．

15.平行四边形的判定（二）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

例题1：如图，在ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。

求证：AF＝DF

【答案】解：（1）证明：如图1，连接BD、AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD。

∵DE＝CD，∴AB∥DE，AB＝DE。

∴四边形ABDE是平行四边形。∴AF＝DF。

练习：

1、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 作AM ⊥BC 于M ，交BD 于E ，过C 作CN ⊥AD 于N ，交BD 于F ，连结AF 、CE ． (1)求证：四边形AECF 为平行四边形；

【答案】（1）证明∵四边形ABCD 是平行四边形（已知），

∴BC ∥AD （平行四边形的对边相互平行）。 又∵AM 丄BC （已知），∴AM ⊥AD 。

∵CN 丄AD （已知），∴AM ∥CN 。∴AE ∥CF 。

又由平行得∠ADE=∠CBD ，又AD=BC （平行四边形的对边相等）。 在△ADE 和△CBF 中， ∠DAE=∠BCF=90 ，AD=CB ，∠ADE=∠FBC ， ∴△ADE ≌△CBF （ASA ），∴AE=CF （全等三角形的对应边相等）。

∴四边形AECF 为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

2、如图：在

ABCD 中，H F G E ,,,分别是四条边上的点，且,AE CF BG DH ==,

试说明：EF 与GH 相互平分．

例题2：如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点D 在BC 边上，AB 边上有一点F ，且BF=DC ，连接EF 、EB ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ； （2）求证：四边形EFCD 是平行四边形

练习：

1、如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.

(1)求点B的坐标.

(2)求证:四边形ABCE是平行四边形.

(3)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.

【解析】(1)∵∠AOB=30°,OB=8,

∴AB=4,OA=4√3,∴B(4√3,4).

(2)∵△OBC是等边三角形,∴OC=OB=8.

∵D点为OB的中点,∴OD=4.

又∵AD是Rt△OAB斜边的中线,

OB=OD,

∴AD=1

2

∴∠ODA=180°-2×30°=120°,∴∠EDO=60°.

又∠EOD=60°,∴△OED为等边三角形,

∴OE=4,∴E(0,4),

∴CE=4,CE=AB.又∵CE ∥AB, ∴四边形ABCE 是平行四边形. (3)∵GA=GC,∴GA 2=GC 2.

即OG 2+OA 2=(OC-OG)2,OG 2+(4√3)2=(8-OG)2,∴OG=1.

16.平行四边形的判定（三）:两组对边分别相等的四边形是平行四边形

例题1：如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连接AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是【 】

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．菱形

D ．梯形

练习：

1、如图，点A 、B 、C 是坐标平面内不在同一直线上的三点，画出以A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形．

．

例题2：如图所示，试证明：四边形PONM 是平行四边形．

练习： 1、在

ABCD 中,分别以AD,BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接BE,DF.

求证:四边形BEDF 是平行四边形.

2、四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足

，则这个四边形一定是( )

A ．平行四边形

B ．两组对角分别相等的四边形

C ．对角线互相垂直的四边形

D ．对角线相等的四边形

3、等边△ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD=BE ，以AD 为边作等边△ADF ，如图．求证：四边形CDFE 是平行四边形．

4、如图所示，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．

cd ab d c b a 222222+=++

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