波动率的估计(ARCH模型)

ˆT21
1 T
T
2 t
t 1
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历史波动率
34 32 30 28 26 24 22
1400145015001550160016501700175018001850 HV
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即
Et
1
(
2 t
)
t
2 t
ht
重新表述ARCH（1）模型：
2 t
0
1
2 t 1
t
能够证明 t 是白噪声过程，即
E(t ) 0
E(ts ) 0
因此
2 t
服从AR(1)过程
2
(h)
|h| 1
,
h
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• 如果误差项的平方服从AR(q)过程，
金融时间序列模型
建立ARCH模型
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建立ARCH模型
1）建立收益率序列的计量模型，去掉任何线性关系，使用 估计的残差检验ARCH效果
2）估计模型 3）检验ARCH模型，根据情况修改模型。
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LM检验
et2
0
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
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金融时间序列模型
ARCH模型概念
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波动率模型
• 金融衍生市场，计算期权等衍生工具的价格需要了解股票 的波动率
指数滑动平均(EWMA)
计算公式
等价于ˆ t2如下形式t21
(1
)
2 t2
(1
)
2
2 t 3
...
ˆ
2 t
2 t 1
(1
)ˆ
2 t 1
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指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较大的，否则选择
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ARCH过程缺点总结
• 不能反应波动率的非对称特点 • 约束强，要求系数非负，如果要求高阶矩存在，还有更多
的约束 • 不能解释为什么存在异方差，只是描述了条件异方差的行
为。
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较小的 。
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指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
HEW0.8
HEWV0.2
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• ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想 ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下
，某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。 该正态分布的均值为零，方差是一个随时间变 化的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变 化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入
家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
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异方差性
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•
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公
司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大 ；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
•
实际波动率估计公式：
2 t
n
rt2,i
• 用计算出的实际波动率来建立iA1 R模型对未
来波动率进行预测
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自回归条件异方差
几个主要的自回归条件异方差模型
• Engle(1982)ARCH • Bollerslev(1986)GARCH • Nelson(1991)EGARCH • GJR模型 • ARCH-M
• 对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
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波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
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估计波动率的几种方法
• 历史波动率Historical Volatility • 滑动平均moving average • 指数加权滑动平均Exponentially Weighted Moving
Averages • 隐含波动率Implied Volatility • 实现的波动率realized volatility • 自回归条件异方差类模型
• 金融风险管理,度量金融风险的大小，计算VaR。
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• 异方差性（heteroscedasticity ） 经典线性回归模型的一个重要假定是：总体回归函数 中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方 差。如果这一假定不满足，则称线性回归模型存在异 方差性。
• AR(1)-ARCH过程：
Yt c 1Yt1 t
t ht vt
ht
0
1
2 t 1
vt ~ i.i.d (0,1) 正态分布，v t 与 t1 相互独立
特点：P199
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• ARCH模型的性质总结：P201
建立模型
1）建立一个计量模型ARCH过程最常见的应用是首先对 收益率建立一个AR模型：
Yt c 1Yt1 ... pYt p t
该方程被称为均值方程
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建立模型
• ARCH过程的平方是AR过程
t ht vt
2 t
0
1
2 t 1
q
2 t q
t
ηt独立同分布，并满足E（ηt）= 0, D(ηt)= 常数, 则称上述模型是自回归条件异方差模型
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• ARCH(1)过程的四阶矩特点(P197, (5.13))
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ARCH(q)
t ht t
ht
0
1
2 t 1
q
2 tq
Vt是独立白噪声过程
E(vt | vt1, ...) 0 Var(vt | vt1,...) 1
0 >0, j 0, j=1,…q, 1 + 2 +…+ q <1
• ARCH(1)过程的无条件均值
• 无条E件(方t差) E( ht vt ) 0
var(
t
)
1
0 1
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• ARCH(1)过程的条件均值
• 条E件t方1差( t ) 0
vart1( t ) ht
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数据
以上证日收益率为例
r1 ,r2,r3,…,rT 实际波动率计算公式
波动率年度化
r *2501/2*10t20%
2 t
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历史波动率的估计
ARCH过程的性质
该过程表明,如果t-1异常的偏离他的条件期望0,那么t的条件 方差要比通常情况下大, 所以有理由预期t会比较大.这样使 得ht+1比较大,反之,如果t-1异常的小,那么条件方差要比通常 情况下小,所以有理由预期t会比较小. 这样使得ht+1比较小. 虽然方差大或小会持续一端时间,但是不会一直持续下去,会 回到无条件方差上去.
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• 数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
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•
的2 特点
t
令
t
2 t
• 波动率的特性： P194, (1)-(6)
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实现的波动率
• 使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
• 假设一天内收集到价格 • 计算日内收益率
pt,0 , pt,1,... pt,n
rt,1, rt,2 ,..., rt,n , rt,i ln( pt,i1) ln( pt,i )
滑动平均波动率
滑动平均
ˆ
2 t
1 n
n
2 t i
t 1
1 n
n i 1
r2 t i
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滑动平均波动率
• 30，60，120，240天滑动平均
60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
Exceltek ElectronicHs6(0HVK) Ltd CHo2n4f0idVential
滑动平均波动率
• 30天与240天
60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
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2 t
ht vt2
2 t
ht vt2
ht
Fra Baidu bibliotek
ht
2 t
ht
ht (vt2
1)
ht
0
1
2 t 1
.
.
.
q
2 tq
2 t
0
1
2 t 1
.
.
.
q
2 tq
wt
wt ht (vt2 1)
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建立模型
检验残差是否存在条件异方差 • 观察残差平方的偏自相关函数，如果q步截尾，则阶数为q • 对残差平方使用Q检验，判断是否存在自相关 • 使用LM检验法
• 异方差性另一例子：波动率据聚类性。 资本市场的波动性通常用收益率的标准差来度量,也称为
波动率.大量研究表明股票收益率表现为在某个时间段 波动大,而在另一个时间段收益率波动又比较小的现象, 这种现象被称为波动率聚类性。
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ARCH过程的特点
{t }是ARCH(1)过程
t ht t
ht
0
1
2 t 1
ARCH(1)过程的无条件均值，条件均值，无条件方差 和条件方差
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滑动平均波动率－关于n的选择
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波动率预测影响不
大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那么计算的波动率
就会在今后一段时间都大，持续的时间长度是n的大小；
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