几类不动点定理的推广及证明

几类不动点定理的推广及证明

引言：

不动点定理是数学中一个重要的定理，它在浩繁领域都有广泛的应用。不动点，顾名思义，是指函数中某一点在映射后仍保持不变的点。不动点定理从不动点的角度给出了函数存在或唯一性的条件。本文将介绍几类不动点定理的推广，并给出证明。

一、Banach不动点定理的推广及证明：

Banach不动点定理是最经典的不动点定理之一。它适用于完

整器量空间中的压缩映射，并保证了该映射存在唯一的不动点。然而，在非完整器量空间中的压缩映射是否存在不动点呢？

为了解决这个问题，可以引入相似性映射的观点。相似性映射是指满足$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$的映射，其中$k\in(0,1)$，$d$表示器量空间中的距离函数。依据较弱的条件，我们可以推广Banach不动点定理到非完整器量空间中

的相似性映射，并得到存在不动点的结论。

证明：

设$X$为一个非完整器量空间，$f:X\rightarrow X$为一个相

似性映射，即存在$k\in(0,1)$，使得$d(f(x),f(y))\leq

k\cdot d(x,y)$对任意$x,y\in X$成立。我们需要证明$f$存

在一个不动点。

起首选取$X$中的任意点$x_0$，定义序列$\{x_n\}$如下：$$x_n=f(x_{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots$$

接下来，我们证明$\{x_n\}$是一个Cauchy序列。由相似性映射的性质可知：

$$d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leq k\cdot

d(x_n,x_{n-1})$$

不妨设$m>n$，则有：

$$d(x_m,x_n)\leq\sum_{i=n}^{m-

1}d(x_{i+1},x_i)\leq\sum_{i=n}^{m-1}k^{i-

n}d(x_1,x_0)$$

利用等比数列求和公式，可以得到：

$$d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}\cdot d(x_1,x_0)$$ 由于$k\in(0,1)$，故$\frac{k^n}{1-k}$是一个有界数列。因此，对于任意给定的$\varepsilon>0$，存在$N$，使得对于任意$m>n>N$，有$d(x_m,x_n)<\varepsilon$。这也就说明了$\{x_n\}$是一个Cauchy序列。

由于$X$是非完整器量空间，故Cauchy序列并不一定收敛。但我们可以通过取极限点的方法，得到一个不动点。

设$x^*$为$\{x_n\}$的极限点，即

$x^*=\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。由于$f$的连续性，可以推导出$x^*$是$f$的一个不动点。证明过程略。

因此，依据推广后的Banach不动点定理，我们得知，在

非完整器量空间中，相似性映射一定存在不动点。

二、Baire不动点定理的推广及证明：

Baire不动点定理是另一类常见的不动点定理，它适用于完整

器量空间中的无处稠密柯西序列，并保证了无处稠密柯西序列的极限点是函数的不动点。那么，对于非完整器量空间中的无处稠密柯西序列，是否也存在不动点呢？

类似地，我们可以引入一类广义的无处稠密柯西序列，即满足一定条件的序列，来推广Baire不动点定理。

证明：

设$X$为一个非完整器量空间，$\{x_n\}$为一个序列，满足：

对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，使对于任意$n,m>N$，有$d(x_n,x_m)<\varepsilon$。我们需要证明$\{x_n\}$存在一个子序列收敛到$X$上的不动点。

由于$X$是非完整器量空间，故$k$维开球$B(x,r)$是不完整的。我们可以选择一个包含在$B(x,r)$中的开球，记为

$B(x,r')$，使得$B(x,r')$也是不完整的。此时，我们可以选择$\{x_n\}$中的一项$x_{n_1}$位于$B(x,r')$中。

接下来，在$B(x,r')$中选择一个包含于$B(x,r'')$中的开球。类似地，我们可以从$\{x_n\}$中选择一项$x_{n_2}$位于这个开球中。

重复以上过程，我们可以得到一系列的

$x_{n_1},x_{n_2},x_{n_3},\cdots$，使得对于任意

$k\in\mathbb{N}$，有$x_{n_k}\in B(x,r^{(k)})$。

由于每个开球都是不完整的，故存在一个不动点$x^*$，使得$x^*=\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k}$。由于$f$的连续性，我们可以得到$x^*$是$f$的一个不动点。

综上所述，依据推广后的Baire不动点定理，我们得知，在非完整器量空间中，特定的无处稠密柯西序列一定存在不动点。

结论：

本文介绍了方法。通过推广Banach不动点定理和Baire不动点定理，我们得到了在非完整器量空间中相似性映射和特定的无处稠密柯西序列依旧存在不动点的结论。这些推广不动点定理的结果对于在实际问题中的应用具有重要意义

通过推广Banach不动点定理和Baire不动点定理，本文证明了在非完整器量空间中相似性映射和特定的无处稠密柯西

序列依旧存在不动点的结论。这些结果对于解决实际问题具有重要意义。推广不动点定理的证明方法为我们提供了一种思路，可以在更广泛的数学领域中应用。这些推广不动点定理的应用将进一步推动数学理论的进步和实际问题的解决