【精品大学课件】通信网理论基础(苏驷希)(北京邮电大学讲义)--第三章 网内业务分析--.2.11

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第三章网内业务分析
上一章涉及到网络的基本结构，但流量假设是平均的，或近似不变的，这在大多数场合是不恰当的。

本章将要应用排队论对通信网（包括电话网，数据网等）建模，进行分析，较多的考虑一些随机因素，主要针对稳态的情形（在B-ISDN中，瞬态的研究具有重大的意义，但需要较深入的数学工具）。

本章先介绍排队论的基础知识，然后分别对电话网，分组数据网建立模型，进行一些优化分析，得到线路容量，交换节点容量等许多结论。

第3.1节排队论基础
3.1.1排队论
排队论又称随机服务系统，主要解决与随机到来、排队服务现象有关的应用问题。

排队论的创始人Erlang正是为了解决电话交换机容量的设计问题而提出排队论。

排队论主要研究三个方面的内容：
（1）形态问题，即研究各种排队系统的规律性，这包括队长分布、等待时间分布、忙闲期分布等，同时又分稳态和瞬态两种情形。

（2）最优化问题，又分静态最优和稳态最右；前者指最优设计，后者指现在排队系统的最优运用。

（3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合那种类型，以便根据排队理论进行分析研究。

排队系统的组成包括三个部分：
1.输入过程
2.排队规则
3.服务机构
为了有一个简单模型描述排队系统, 使用点移动模型, 同时有如下基本假设:
(1)到达间隔独立同分布;
(2)服务时间独立同分布;
(3)服务时间同到达间隔独立;
各部分具体含义为：
1.输入过程是对顾客到来的特征进行描述,包括顾客总体数目，到来方式（单个或成批），到来间隔的规律等。

2.服务规则包括先到先服务（FIFO），后到先服务（LIFO），随机服务，有优先权服务等。

3.服务机构包括服务员数目，服务时间特征等。

排队系统的表示：
一般用X/Y/Z/A/B/C来表示一个排队系统。

其中：
X表示顾客到达间隔时间的分布，即到达规律
Y表示服务时间的分布，服务规律
Z表示服务员数目，也即窗口数
A表示系统容量限制，也即排队时的截止队长
B表示顾客源数目
C表示服务规则
若略去后三项，即指X/Y/Z/∞/∞/FIFO
3.1.2常见分布
分析一个排队系统，首先要知道知道顾客到达间隔和服务时间的分布规律。

我们将在本节介绍Poisson分布，负指数分布，Erlang分布等。

（1）Poisson过程
设N(t)表示在时间区间[0,t)内到达的顾客数(t>0)
令表示在时间区间内到达顾客数为k的概率,即:
当满足下列三个条件是，称顾客的到达形成Poisson流，这三个条件是：
1、不相重叠的时间区间内到达顾客数相互独立，称之为无后效性
2、平稳性：在区间[t，t+T)内到达k个顾客的概率与t无关，只与T有关,即
；
3、对充分小的Δt，在[t，t+Δt)内到达1个顾客的概率Δt成正比，即：
， >0为常数，
它表示单位时间内有一个顾客到达的概率，也称为到达率
对充分小的Δt，在[t，t+Δt]内到达2个或2个以上顾客的概率为极小，即：
在以上假设条件下求解设T内到达顾客数为k的概率为，将T分成n等分,每一份为Δ
Δ内有1顾客到达概率--Δ·λ
Δ内无顾客到达概率--1-Δ·λ
有2个到达概率--
据无后效性和独立性及二项分布, N个贝努利分布，T内有k个到达的概率:
固定T时,k为离散随机变量，其分布即为Poisson分布，此外：
顾客到达间隔t--连续变量,求解t的分布
解： 把t分N份，则这N个Δ内均没有到达，但是过了这N个Δ，就有到达 了，所以到达间隔为t的概率为：
（N个Δ内无到达，第N+1个必然到达）
若t的密度a（t）存在，则有：
或者, 如果T为到达间隔, 由于
, 所以的概率密度为:
（2）负指数分布
定义：随机变量T的概率密度若为：
则称T服从负指数分布，它的分布函数为：
容易知道，负指数分布满足如下Markov性：
P{T>t+s|T>t}= P{ T>s}
当输入过程为Poisson过程时，由上述（1）可知，顾客相继到达的间隔时间服从负指数分布。

能够证明，反过来也成立，也就得到如下著名结论：
定理3.1一个随机过程是Poisson过程当且仅当其相继到达间隔时间是独立同分布且为负指数分布。

下面的定理3.2描述了负指数分布的性质:
定理3.2 T1, T2代表两个独立的负指数分布, 参数为λ1和λ2, 令T=min(T1, T2),那么: 1. T是一个以λ1+λ2为参数的负指数分布;
2. T的分布与T1, T2谁是最小数无关;
3. T i为较小数的概率与λi成正比.
对于多个负指数分布有类似的性质.
（3）Erlang分布
设v1,v2,…v k是k个相互独立的随机变量，服从相同k 参数的负指数分布，那么，T= v1+v2+…+v k的概率密度为：
称T服从k阶Erlang分布。

该概率密度是用变换得到的。

此外：
在实际中，Erlang分布簇提供了更为广泛的模型类：
时，Erlang分布化为负指数分布
增大时，Erlang分布逐渐变为对称的；
时，Erlang分布近似与正态分布；
时，，所以Erlang分布化为确定型分布；
综合以上可见：一般Erlang分布可看成完全随机与完全确定的中间型
3.1.3 M/M/Z排队系统分析
本小节将讨论输入过程是Poisson过程，服务时间v服从负指数分布的随机服务系统。

设服务时间v的分布函数和概率密度为：
其中μ表示单位时间服务完的顾客数，又称平均服务率，而表示一个顾客的平均服务时间。

在讨论之前先介绍一下我们要研究的排队系统的参量。

队长k，指t瞬间系统内的顾客数（含在窗口的），也就是排队长度。

k是离散随机变量。

平均队长，又称系统数
等待时间w：从顾客到达到顾客开始接受服务的时间，它是连续的随机变量 服务时间v：从顾客开始接受服务到服务完毕离去
系统时间s，或称系统停留时间，从顾客到达到顾客离去的时间。

显然有：s=w+v
对任何排队系统，有。

这就是著名的little公式。

忙期与闲期
如图所示：即y为一个闲期，x为一个忙期。

系统效率η：指平均窗口占用率
若共有m个窗口，某时刻有r个被占用，则r/m就是占用率，其统计平均值就是系统效率。

即
（1）M/M/1问题
1、状态图与状态方程
我们将取队长作为状态变量来建立系统差微分方程。

设为t时刻系统内有k个顾客的概率（k=0,1,2, …）
设Δt为足够小的时间段，
则：Δt内到达1个顾客的概率—λ⋅Δt
Δt内离去1个顾客的概率—μ⋅Δt
那么，系统在t+Δt时刻处于k状态（概率），取决于下述转移：
∙t时刻处于k-1态，Δt内到达1人，无人离去
概率:
∙t为k+1态，Δt内离1人，无到达：
∙t为k态，Δt内到达1人，离去1人:
∙t为k态，Δt内无到达，无离去:
状态转移图可表示为：
综合以上得：
即
即柯尔莫哥洛夫方程。

在稳态下：
即
k=0时, 需重写上述式子:
原有1人,离去1人概率μΔtp1(t)
原有0人,无人到达概率 (1-λΔt) p0(t) p0(t+Δt)=μΔtp1(t)+ (1-λΔt) p0(t)
得:
至此,得M/M/1完整状态方程:
上式,已由λ，μ表示转移，由此可得状态图：
2、稳态解：
物理意义：系统内顾客的到达与离去达到平衡，系统稳，则p k(t)与t无关数学描述：
于是得到稳态方程：
求p0:用归一化条件, 形式上
有稳态解的条件为
p0——系统无人概率（空闲率）
1-p0 =ρ—系统有人概率（忙概率）
ρ↑→忙↑ρ太大→不稳
得通解：P k=ρk p0=ρk(1-ρ), .
下面求解系统各种指标
∙平均队长k:
∙k的方差:
所以有:
如图所示:
∙等待时间w
若系统中已有k顾客，再来一顾客所需等待的时间w即为k人的服务时间即:。