机械振动中的特征值问题

机械振动中的特征值问题
机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。

显然这是一种特殊形式的机械运动。

人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。

例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。

早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。

至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。

欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。

1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。

1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。

1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。

最早研究的连续系统是弦线。

1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。

1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。

1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅里叶（Fourier）提出函数的级数展开理论才完成。

一个振动系统本质上是一个动力系统，这是由于其变量如所受到的激励（输入）和相应（输出）都是随时间变化的。

一个振动系统的响应一般来说是依赖于初始条件和外部激励的。

大多数实际振动系统都十分复杂，因而在进行数学分析时把所有的细节都考虑进来是不可能的。

为了预测在指定输入下振动系统的行为，通常只是考虑那些最重要的特性。

也会经常遇到这样的情况，即对一个复杂的物理系统，即使采用一个比较简单的模型也能够大体了解其行为。

对一个振动系统进行分析通常包括以下步骤。

步骤1，建立数学模型。

建立数学模型的目的是揭示系统的全部重要特性，从而得到描述系统动力学行为的控制方程。

一个系统的数学模型应该包括足够多的细节，能够用方程描述系统的行为但又不致使其过于复杂。

根据基本元件行为的属性，一个振动系统的数学模型可以是线性的，也可以是非线性的。

线性模型处理简单，容易求解。

但是非线性模型有时能够揭示线性模型不能够预测到的某些系统特性。

所以需要对实际系统做大量的工程判断以得到振动系统比较合理的模型。

有时为了得到更准确的结果，需要对系统的数学模型不断进行完善。

此时可以先用一个比较粗略的模型，以便能够较快地对系统的大体属性有所了解。

之后再通过增加更多的元件和细节对模型不断改进，以便进一步分析系统的动力学行为。

步骤2，推导控制方程。

一旦有了系统的数学模型，就可以利用动力学定律推导系统响应变化规律的运动微分方程。

系统的运动微分方程可以通过作每一个质量块的受力分析图方便地得到。

每一个质量块的受力分析图可以通过分离该质量块并加上其所受的全部主动力、反作用力和惯性力得到。

一个振动系统的运动微分方程对于离散系统来说，通常是一个常微分方程组；对于连续系统来说，通常是一个偏微分方程组。

根据基本元件行为的属性，一个振动系统的运动微分方程（组）可以是线性的，也可以是非线性的。

以下几种方法经常用来推导系统的控制方程：牛顿第二运动定律、达朗贝尔原理和能量守恒原理。

步骤3，求控制方程的解。

为了得到振动系统响应的规律，必须求解控制方程。

根据问题具体特点，可以采取下述方法之一：求解微分方程的常规方法，拉普拉斯变换方法、矩阵方法和数值计算方法。

如果控制方程是非线性的，则很少能够得到其封闭形式的解。

另外，求解偏微分方程的情况也远比求解常微分方程的情况多。

利用计算机的数值计算方法求解微分方程是非常便捷的，但欲根据数据计算结果得到关于系统行为的一般结论却是困难的。

步骤4，结果分析。

虽然控制方程的解给出系统中不同质量块的振动位移、速度和加速度的表达式，但是这些结果还必须就某些目的做进一步分析，以期分析结果可能揭示对设计的某些指导意义。

振动系统可以分成两大类，离散系统和连续系统。

连续系统具有连续分布的参量，但可通过适当方式化为离散系统。

按自由度划分，振动系统可分为有限多自由度系统和无限多自由度系统。

前者与离散系统相对应，后者与连续系统相对应。

尽管大部分的振动系统模型（微分方程或偏微分方程）都是不可解得，但人们为了更好的理解振动系统的实质，仍然希望获得解析解。

而获得解析解，必须求解方程的特征值。

其中最有代表性就在处理连续系统的振动问题时，采用的分离变量法。

单自由度系统的自由振动问题包含无阻尼和有阻尼两种情况。

所谓自由振动是指系统受初始扰动后，仅靠弹性恢复力来维持的运动。

其运动方程通常是一个二阶常微分方程，对
于无阻尼的情况，方程一般为：0mx
kx += ； 可以推出其特征方程：2
0m s k +=；特征值：1
2
n k s iw m ⎛⎫=±-
=± ⎪⎝⎭
； 方程通解：()12cos sin n n x t A w t A w t =+；
n w 为固有圆频率；可推出系统的固有频率和固有周期；
对于有阻尼的情况，如黏性阻尼，方程一般为：0mx
cx kx ++= 同样可以推出特征方程：2
0m s cs k ++=；该特征方程的根为
：
1,22c s m
=-
±
；方程通解：(
)2212c
c t t m m x t C e C e
⎧
⎧⎪⎪--⎨⎨⎪⎪⎩
⎩=+。

单自由度系统在简谐激励下的振动，无阻尼的情况下，方程一般为：
0cos m x kx F w t += ；
齐次解可以表示为：()12cos sin h n n x t C w t C w t =+，其中，特征值()
12
n w k m =为系
统的固有频率。

有阻尼的情况下，方程多出一个一阶导数项，方程求解类似；
单自由度系统在一般激励下的振动，方程一般为：
01
1
cos sin 2
j
j
j j a m x cx
kx a
jw t b
jw t ∞
∞
==++=+
+
∑∑ ；根据叠加原理，可求出其稳态解。

二自由度系统的振动问题，以一个含黏性阻尼的二自由度弹簧质量系统为例，其方程一
般为：()()()()t t t t ++=m x cx
kx F ，式中，m ，c ，k 分别为质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，具体形式如下：
1200
m m ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦m ，12
22
23c c c c c c +-⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦c ，12
22
23k k k k k k +-⎡⎤
=⎢
⎥-+⎣⎦
k ()t x 和()t F 分别为位移向量和力向量，具体形式如下：
()()()12x t t x t ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭x ，()()()12F t t F t ⎧⎫⎪⎪
=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
F
其中，在无阻尼自由振动的情况下，其特征方程或频率方程为：
()(
)2
112
2
2
2
22
3
d e t
m w k k k k m w k k ⎡⎤
-++-
=⎢⎥--+
+⎣
⎦ 方程的两个根是：
()()()()()()1222312
2
1212
1221222311223212121,2142k k m k k m w w m m k k m k k m k k k k k m m m m +++⎧⎫
=
⎨⎬⎩⎭
⎡⎤⎧⎫+++++-⎧⎫⎪⎪
⎢⎥-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎣⎦
这表明当w 等于1w 或2w 时，系统具有非零简谐解是可能的。

1w 和2w 成为系统的固有频率。

它决定了振幅比，模态向量（也叫主振型）等。

大多数实际系统都是连续的，具有有限多个自由度。

连续系统的振动分析要求解偏微分方程，这是非常困难的。

实际上对于许多偏微分方程并不存在解析解。

另一方面，多自由度系统的振动分析只要求一组常微分方程，这相对来说要简单的多。

因此，为了分析的简化，连续系统经常近似为多自由度系统。

利用拉格朗日方程可以推导得出以矩阵形式表示的多自由度系统的运动微分方程：
,1,2,i i i i
d T T V
F i n dt x x x ⎛⎫∂∂∂-+== ⎪∂∂∂⎝⎭
其中，i F 是相对于第i 个广义坐标i x 的非保守广义力；i x
是i x 对时间的导数（广义速度）。

多自由度系统的动量和势能以矩阵的形式可以表示为：
1
2
12T
T V ==T
x m x x kx
，其中，x 为广义坐标的列向量，即{}x x =12n x x x ⎧⎫
⎪⎪
⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
x
经矩阵变换可得矩阵形式的方程+=m x kx F
；其中12n F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭
F 。

若系统是保守的，则不存在非保守力i F ，则运动微分方程为：0+=m x kx
通过令特征矩阵的行列式为零来求多自由度系统的固有频率和主振型，通常多个固有频率。

尽管这种方法很精确，但当系统自由度较大时，特征矩阵的展开以及彼此得到的n 次代数方程的求解会变得很繁琐。

目前可以通过数值方法，如邓克莱法、瑞利法、霍尔茨法、李兹法、矩阵迭代法、雅克比法和子空间迭代法。

以上讨论的离散系统都是假定质量、阻尼、弹簧仅出现在系统的某些离散点处。

有许多
连续系统的例子，它们不能视离散质量、阻尼或弹簧，因此必须考虑它们的连续分布，同时假定系统的无限个点是能够振动的，这就是为什么连续系统那个也称为无限自由度系统的原因。

根据实际问题，有三类方程典型方程，弦振动方程：
()()2
2
122,,
,,1,2,3.n u a u f t x x x n t
∂=∆+==∂x x ；
热传导方程：2
(,,,),u a u f t x y z t
∂=∆+∂其中2222
2
2
x
y
z
∂
∂
∂
∆=
+
+
∂∂∂为三维拉普拉斯算
子；
泊松方程：2
1(,,),u f x y z a
∆=-
当(,,)0f x y z ≡时，就是调和方程。

其基本解法有行波解法、分离变量法、积分变换法。

行波法是通过找到一种变量代换将齐次波动方程化为很容易求解的二阶偏微分方程，从而求出方程的通解，进而根据初始条件求出方程的特解。

这在整体思路上与求解二阶线性常微分方程是一致的。

但一般而言,偏微分方程的通解不容易求, 这就使得行波法有相当大的局限性, 所以通常只用它求解波动问题，分离变量法和付里叶法变换法有一个共同特点：都是将偏微分方程化为常微分方程，只不过化成常微分方程的方法不同而已。

分离变量法是直接求特解的一种方法，是解数理方程的重要方法之一，适用于解大量的、各种各样的有界问题，因而是一个比较普适的方法。

而对于无界区域或半无界区域的问题，用积分变换法比较方便，并且在解数理方程时不象分离变量法那样区分齐次和非齐次方程，对齐次和非齐次方程都是按同样的步骤解。

当然用积分变换法时，作逆变换过程中求积分有时会很困难，此外作积分变换时，要求所出现的函数满足一定的条件，否则不能作积分变换。

总之，这三种解法各有特点,应根据实际问题选用合适的方法。

此外，基本解方法也是求解偏微分方程的重要方法。

其基本原理：一个偏微分方程通常反映了某个物理场合引起这个场的场源之间的关系。

最简单的场源是点源，连续分布的场源则可看成点源的叠加。

对于线性偏微分方程，如果知道点源产生的场（称为基本解或点源函数），便可以通过线性叠加原理求出相应连续源产生的场。

综上所述，机械振动领域问题的和频率有着直接或间接地关系，而在求解方程时（包括常微分方程和偏微分方程）都需要求解特征值，有的是一个，有的则是一组，特征值一般都和频率有着密切的关系。

根据问题的复杂程度，很多数学工具都被引用进来，如矩阵理论，摄动法，误差分析、线性代数等。

因此求解特征值是解决振动问题领域中的一个非常重要问题。