选修2-1第三章空间向量知识点及例题

空间向量及应用
1、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．
2、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{}
,,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{}
,,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则
()1()121212,,a b x x y y z z +=+++． ()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．
()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()
721a a a x =⋅=+
()821
cos ,x a b a b a b
x ⋅〈〉=
=
+
()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =
AB =
4、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．
5、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量。

6、平面的法向量：
（1）定义：直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． （2）求法：
①设出平面的法向量为),,(z y x n =
②找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(321a a a a =，),,(321b b b b =
③根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0b n a n ④解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个
最简单的作为平面的法向量。

例1、在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，G 、E 、F 分别是BC AB AA 、、1的中点，求平面GEF 的一个法向量。

7、利用空间向量解决立体几何问题
（1）利用空间向量解决立体几何问题的步骤：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
②通过向量的运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角问题； ③把向量的运算结果翻译成相应的几何意义。

（2）利用空间向量表示立体几何的平行、垂直
设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则
① 线线平行：b k a m l =⇔∥； 线面平行：0=⋅⇔⊥⇔u a u a l α∥
面面平行：v k u v u =⇔⇔∥∥βα
② 线线垂直：0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l 线面垂直：v k u u a l =⇔⇔⊥∥α
面面垂直：0=⋅⇔⊥⇔⊥v u v u βα 例2、根据下列条件，判断相应的线面的位置关系：
（1） 直线m l ,的方向向量分别为)2,2,8(),1,3,1(=--=b a ； （2） 平面βα,的法向量分别为)0,9,3(),0,3,1(--==v u
1
A 1
C
例3、如图所示，在1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是111C B CC 、的中点，求证：BD A MN 1平面∥
1
A 1
C
例4、如图所示，在1111D C B A ABCD -中，求证：111D CB BD A ∥平面
1
A 1
C
A
例5、如图所示，在1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是111D B BB 、的中点，求证：AC B EF 1平面⊥
1
A 1
C
A
6、用空间向量求空间的角 （1）两条异面直线所成的角
①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

②范围：异面直线所成的角的范围：
]
2,0(π
③向量求法：a,b 的方向向量分别为b a ,，它们的夹角为|
|||cos ),2
0(b a b a ⋅=
≤
<θπ
θθ
例6、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则
BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ．
1030 B ．21
C ．15
30 D ．
1015
解：建立如图所示的坐标系，设BC=1则A （－1，0，0），F 1（－21，0，1），B （0，－1，0），D 1（－2
1
，－
2
1
，1） 即1AF =（
21，0，1），1BD =（－21，2
1 ，1） ∴cos<1AF ，1BD >=
10
30
4
141141114
1
=
++⋅+
+-
D 1
F 1
C 1
B 1
A 1C
B
A
z
y x
（2）直线和平面所成角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角
②范围：直线和平面所成角范围： [0，
2
π]③向量求法：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l n
θϕ⋅==
例7、在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角
F
O
D
C
B A
z y
x
解：如图建立以三角形BCD 的中心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC 。

设正四面体ABCD 的棱长为a ，
则336,,,6233a a a a OF FC OD OA =
=== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2
633a
a a a
C D A -
∵E 为AD 的中点，∴36(0,
,)66a a
E
∴ 36(,,)236a a a CE =-
又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =，
∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2
sin cos ,3||||CE n CE n CE n θ⋅=<>==
（3）二面角
①二面角的取值范围是[0，π]
②向量求法：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212
cos n n n n θ⋅=
．
例8、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝BB 1＝1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E —BD —C 的正切值．
解法一：∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是长方体，
∴作EF ⊥面BCD ，而E 为11C D 的中点，则F 为CD 的中点，过F 作FM ⊥BD 交BD 于M ，连EM ，由三垂线定理知EM ⊥BD ，∴∠EMF 就是二面角E —BD —C 的平面角， 又∵AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，EF ＝1， FM ＝1×
5
1＝
55 ∴tan ∠EMF ＝5=FM
EF
．
解法二：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面BDE 的一个法向量为),,(z y x n =，
)0,2,1(=DB ,)1,1,0(=DE
由⎪⎩⎪
⎨
⎧=⋅=⋅⊥⊥0
0,DE n DB n DE n DB n 得 ∴平面DBE 的一个法向量为(2,1,1)n =- 又因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =
二面角E —BD —C 的余弦值为：
6cos cos ,6
m n θ=<>=
∴tan θ=练习：
已知单位正方体1111D C B A ABCD -，E 、F 分别是棱111D C BC 、的中点，试求： （1）1AD 与EF 所成角的大小； （2）AF 与平面1BEB 所成角的余弦值； （3）二面角11B DB C --所成角的正切值。

8、用向量法求空间距离：空间中点到面、线到面、面到面的距离都可以转化为点到面的距离 （1）点到平面距离的求法：
如图，α⊥BO ，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是BO 的长度，若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ∆中，|
||cos |||||BO BO BA ABO BA BO =
∠⋅=
如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面α的距离为：|
|||n BO =（2）求一个点到平面的距离的步骤： ①求出该平面的一个法向量；
②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

例9、如图，已知正四棱柱1111D C B A ABCD -，AB=1，21=AA ,点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，求点1D 到平面BDE 的距离.
x
练习：
已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点E 、F 分别在111,D B B A 上，且111113
1
,31D B F B B A E A ==， （1） 求证：11D ABC EF 平面∥ （2） 求EF 到11D ABC 平面的距离d。