河北省衡水中学2020届高三年级下学期一调考试数学理科(解析版)

2019-2020学年高三第二学期一调数学试卷（理科）

一、选择题

1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2+2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则阴影部分所示集合为（）

A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）

2．已知复数（a∈R，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．若a＝π﹣2，b＝a a，，则a，b，c的大小关系为（）

A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c

4．函数（其中e为自然对数的底数）图象的大致形状是（）A．B．

C．D．

5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）

A．B．C．D．

6．已知△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝3，AC＝5，则的值是（）

A．2B．4C．8D．16

7．给出下列五个命题：

①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；

②命题“∀x＞0，有e x≥1”的否定为“∃x0≤0，有＜1”；

③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；

④在锐角△ABC中，必有sin A+sin B＞cos A+cos B；

⑤{a n}为等差数列，若a m+a n＝a p+a q（m，n，p，q∈N*），则m+n＝p+q

其中正确命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

8．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），恒为正数的f（x）符合f（x）＜f′（x）＜2f （x），则的取值范围为（）

A．（e，2e）B．C．（e，e3）D．

9．已知点A（0，2），抛物线C：y2＝4x的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝（）

A．2：B．1：2C．1：D．1：3

10．定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n 项的“均倒数”为，又，则＝（）A．B．C．D．

11．对于任意的实数x∈[1，e]，总存在三个不同的实数y∈[﹣1，5]，使得y2xe1﹣y﹣ax﹣lnx ＝0成立，则实数a的取值范围是（）

A．（]B．[）

C．（0，]D．[）

12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，给出下面结论：

①直线A1H与该正方体各棱所成角相等；

②直线A1H与该正方体各面所成角相等；

③过直线A1H的平面截该正方体所得截面为平行四边形；

④垂直于直线A1H的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，

其中正确结论的序号为（）

A．①③B．②④C．①②④D．①②③

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为．

14．在数列{a n}中，若函数f（x）＝sin2x+2cos2x的最大值是a1，且a n＝（a n+1﹣a n﹣2）n﹣2n2，则a n＝．

15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是

，共中a、b、c是△ABC的内角A，B，C的对边．若sin C＝2sin A cos B，且b2，2，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为

16．过曲线的左焦点F1作曲线的切线，设切点为M，延长F1M交曲线于点N，其中C1，C3有一个共同的焦点，若，则曲线C1的离心率为．

三、解答题：（共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝4，b＝2，2c cos C ＝b，D，E分别为线段BC上的点，且BD＝CD，∠BAE＝∠CAE．

（1）求线段AD的长；

（2）求△ADE的面积．

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP ＝90°，平面ADP⊥平面ABCD，点F为棱PD的中点．

（Ⅰ）在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥平面PCE，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角．

19．如图，A为椭圆的左顶点，过A的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于B、C 两点，C是AB的中点．

（1）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；

（2）若直线m过C点，且倾斜角和直线的倾斜角互补，交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．

20．某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如表：

组别年龄

A组统计结果B组统计结果

经常使用单车偶尔使用单车经常使用单车偶尔使用单车

[15，25）27人13人40人20人

[25，35）23人17人35人25人

[35，45）20人20人35人25人（1）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到35岁”抽出一个容量为60人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去．

①求这60人中“年龄达到35岁且偶尔使用单车”的人数；

②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35岁且偶尔使

用单车”的人员召开座谈会，会后共有3份礼品赠送给其中3人，每人1份（其余人员仅赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A组，求A组这4人中得到礼品的人数X的分布列和数学期望；

（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作m岁）有关”的结论．在用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取25还是35？请通过比较K2的观测值的大小加以说明．

参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．

21．已知函数f（x）＝e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

（二）选考题，满分共10分，请考生在22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1过原点且倾斜角为α（0）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．在平面直角坐标系xOy中，曲线C2与曲线C1关于直线y＝x对称．

（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l2过原点且倾斜角为，设直线l1与曲线C1相交于O，A两点，直