数据库 规范覆盖的计算、多值依赖

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(1)数据冗余大：有多少教师上同一门 课，参考书就重复多少次;
(2)(2)更新异常：改某一门课的参考 书需要修改该课的所有记录;
(3)插入异常: 某门课增加一个教师，
该课有多少参考书就需要插入多少 个元组; (4)删除异常: 删除某门课的一本参考 书，该课程有多少教师就要删除多 少元组。
函数依赖集的最小覆盖
定义 : 设F 是R(U)上的FD集，如果F满足以下三个条件： (1) F中每个FD的右部只含一个属性。 (2) F中无多余FD。即不存在XA, 满足F与F－{XA}等价。 (3) F中每个FD的左部都不含多余属性。
即不存在XA，X有真子集Z，满足： F与(F－{XA})∪{ZA}等价。 则称F为最小依赖集或最小覆盖。 将最小覆盖中左部相同的FD合并成一个后得到的FD集 称为规范覆盖。
证明: PY, Z( sX=x(r) ) = PY ( sX=x(r) )×PZ( sX=x(r) )成立， 必有PZ, Y( sX=x(r) ) = PZ ( sX=x(r) )×PY( sX=x(r) )成立。 (2)传递性： 若X Y，Y Z , 则X Z -Y 证明非常复杂，大大超出了本课程的范围。
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A,
AC→D, CB→B, CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
G={
C→B, B→A,
AC→D,
(CB)G+={ C, B,… }，∵B(CB)G+，∴置F G 。
CB→E }
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
G={
C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
(AC)G+={ A,C,…}，∵A(AC)G＋ ，∴置F G 。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
证明: PY, Z( sX=x(r) ) = PY ( sX=x(r) )×PZ( sX=x(r) )成立， 必有PZ, Y( sX=x(r) ) = PZ ( sX=x(r) )×PY( sX=x(r) )成立。
(2)传递性： 若X Y，Y Z , 则X Z -Y
证明非常复杂，大大超出了本课程的范围。
BF+={ B, A}，∵EBF+，∴C不是多余属性，保留。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE }
的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
G={
C→B, B→A,
C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
U
R(U) X Y Z
说明：
条件必须对R(U)的所有可能 r 关系在X属性组上的所有可
X …
Y …
Z …
能值都成立,只要在某个可
x
能值上条件不成立，则:
………
X Y不成立。
x
………
多值依赖的另一个定义：
设R(U)是U上的关系模式， X,Y,ZU, 且Z=U-X-Y, 若R的任意关系r满足: 只要(x,y1,z1)和(x,y2,z2)是r的元组, 那么(x,y2,z1)和(x,y1,z2)也是r的元组，
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CCB→→EE }
(3) 删除F中每个FD左部的多余属性。
CF+={ C, B , A, D, E}，∵ECF+，∴B是多余属性，删去。
最后得到F的最小覆盖为：Fm={ C→B, B→A, C→D, C→E } F的规范覆盖为：Fc={ C→BDE, B→A }
多值依赖
(3)复制性： 若X Y, 则X Y。
(4)并规则： 若XY, X Z, 则X YZ。
(5)交规则：若XY, X Z, 则X Y∩Z。
(6)差规则：若XY, XZ, 则XY-Z, XZ-Y。
(7)平凡多值依赖：对U上的多值依赖XY, 若YX, 或
X∪Y=U，则称XY为平凡多值依赖。这是因为：
YX XY (3) XY X
F={
C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
G={
B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
CG+={C, D, A}，∵BCG＋ ，∴F不变 。
函数依赖来自百度文库的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
G={
C→B,
C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
BG+={ B }，∵ABG＋ ， ∴F不变 。
函数依赖集的最小覆盖
Y X∩Y Y-X
XX (3) XX (1) XU-X X∪Y=U XY-X XX∩Y
(4)
XY
第四范式
定义：若R∈1NF，且R的每个非平凡多值依赖XY的 左部X都包含R的候选码，则R∈4NF。
若R∈4NF, 则R的每个非平凡多值依赖XY都是函数依赖， 因为X都包含R的候选码, 所以当然有XY 。 定理：若R∈4NF，则R∈BCNF。
(3)复制性： 若X Y, 则X Y。
证明：
X Y: 若X上的 分量相等 ，则Y上 的分量相 等。
r XYZ ………
x y z1 ……… x y zk ………
PY, Z(.) = PY (.) ×PZ(.)
y z1 …
=
y
×
z1 …
y zk
zk
所以X Y
多值依赖的性质
(1)对称性： 若X Y，则X U-X-Y (即Z)
原因： 对于每一门课，Teach表中都 存储了T和B的笛卡尔积, 即下列条 件对每门课x都成立：
PT, B( sC=x(Teach) ) = PT ( sC=x(Teach) )×PB( sC=x(Teach) )
由此引出多值依赖的定义：
定义(多值依赖)：
设R(U)是U上的关系模式， X,Y,ZU, 且Z=U-X-Y, 若对R(U)的任意关系r，以及r在X属性组上的任意值x, 都有：PY, Z( sX=x(r) ) = PY ( sX=x(r) )×PZ( sX=x(r) ) 成立， 则称X多值确定Y或Y多值依赖于X，记作X Y。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→B, CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
Teach(C, T, B )存在问题的原因： 存在非平凡多值依赖CT, 且C不含候选码CTB 。
解决办法： 分解关系模式, 消除非平凡多值依赖CT： 1) CT(C, T)，候选码： CT (CT仍成立，但已平凡) 2) CB(C, B)，候选码：CB (CB仍成立，但已平凡) CT和CB都属于4NF
(2) 删除F中多余的FD。
G={
C→B, B→A,
AC→D, CB→B, CB→E }
CG+={C, B, A, D, E }，∵ACG＋ ，∴置F G 。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
BC不成立，因为参考书可以跨课程交叉使用。 否则：候选码是TB TBC是部分依赖 Teach∈2NF
Teach关系存在以下4个问题：
Teach( C, T, B ) 存在的问题
Teach CT
数学 邓军 数学 邓军 数学 邓军 数学 陈斯 数学 陈斯 数学 陈斯 物理 李平 物理 李平 物理 王强 物理 王强 物理 邓军 物理 邓军
F={
C→B, B→A,
AC→D, CB→B, CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
G={
C→B, B→A,
CB→B, CB→E }
(AC)G+={ A, C , B, E }，∵D (AC)G+ ，∴F不变 。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
G={
C→B, B→A,
AC→D
}
(CB)G+={ C, B , A, D }，∵E(CB)G+，∴F不变 。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE }
的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CB→E }
(3) 删除F中每个FD左部的多余属性。
CF+={ C, B , A, D, E}，∵DCF+，∴A是多余属性，删去。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE }
的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CB→E }
(2) 删除F中多余的FD。
F={
C→B, B→A,
AC→D,
CB→E }
(3) 删除F中每个FD左部的多余属性。
在函数依赖范畴内，BCNF已经非常完美。但是属于
BCNF的关系模式仍可能存在问题。
例如： 假设多个教师上同一门课程，使用同一套参考书：
数学 物理
邓军 陈斯
李平 王强 邓军
数学分析 高等代数 微分方程
普通物理 微分方程
用关系模式Teach( C, T, B ) 表示。 课程 教师 参考书
F = { }， 候选码为CTB, 即全码，所以Teach∈BCNF 注意： TC不成立，因为一个教师可以上多门课。
例：设最小覆盖为：Fm={C→B, B→A, C→D, A→E, B→D}, 则对应的规范覆盖为： Fc={C→BD, B→AD, A→E }。
函数依赖集的最小覆盖
如何计算FD集F的最小覆盖？分三步：
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。 对每个XYF, 若Y=A1A2…Ak (k≥2), 则置： F (F - { XY } )∪{X Ai | i=1,2,…,k } 。 (2) 删除F中多余的FD。 对每个XAF, 令G=F - {XA}, 若AXG＋, 则置F G。 因：由AXG＋可得XA，故F中的XA多余。 (3) 删除F中每个FD左部的多余属性。 对每个XAF, 设X=B1B2…Bm (m≥2), 逐个考查Bi (i=1..m): 若A(X- Bi)F＋, 则置F (F - { XA } )∪{(X- Bi)A}。 因：由A(X-Bi)F＋可得(X-Bi)A， 故XA中Bi是多余属性。
则称多值依赖X Y在R(U)上成立。 U
R(U) X Y Z 说明： 两种定义是等价的：
y1 z1
y2 z2 y2 z1
=
y1 z2
y1 y2
×
z1 z2
rX Y Z
………
x y1 z1 …x …y2 z…2 x y2 z1 x y1 z2 ………
………
多值依赖的性质
(1)对称性： 若X Y，则X U-X-Y (即Z)
CG+={C , B, A, D , E}，∵DCG＋ ，∴置F G 。
函数依赖集的最小覆盖
例: 求F={ AC→A, C→B, B→A, C→D, C→A, AC→D, CB→BE } 的最小覆盖
(1) 用分解规则将F中的每个FD右部分解为单属性。
F={
C→B, B→A,
C→A, AC→D, CB→B, CB→E }