2020年四川省阿坝州中考数学试卷(含答案解析)

2020年四川省阿坝州中考数学试卷
副标题
得分
1.气温由−5℃上升了4℃时的气温是()
A. −1℃
B. 1℃
C. −9℃
D. 9℃
2.如图摆放的下列几何体中，左视图是圆的是()
A. B. C. D.
3.月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为()
A. 38.4×104
B. 3.84×105
C. 0.384×106
D. 3.84×106
4.函数y=1
中，自变量x的取值范围是()
x+3
A. x>−3
B. x<3
C. x≠−3
D. x≠3
5.在平面直角坐标系中，点(2,−1)关于x轴对称的点是()
A. (2,1)
B. (1,−2)
C. (−1,2)
D. (−2,−1)
−1=0的解为()
6.分式方程3
x−1
A. x=1
B. x=2
C. x=3
D. x=4
7.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD
的周长为32，则OE的长为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.下列运算中，正确的是()
A. a4⋅a4=a16
B. a+2a2=3a3
C. a3÷(−a)=−a2
D. (−a3)2=a5
9.如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加
下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是()
A. AD=AE
B. BE=CD
C. ∠ADC=∠AEB
D. ∠DCB=∠EBC
10.如图，二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴交于
A(−3,0)，B两点，下列说法错误的是()
A. a<0
B. 图象的
对称轴为直线x=−1
C. 点B的坐标为(1,0)
D. 当x<0时，y随x的增大而增大
11.计算：|−5|=______．
12.如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=40°，则∠BCE的度
数为______．
13.某班为了解同学们一周在校参加体育锻炼的时间，随机调查了10名同学，得到如
下数据：
锻炼时间(小时)5678
人数1432
则这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是______小时．
14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，
CD=8，则OH的长度为______．
15.(1)计算：√12−4sin60°+(2020−π)0．
(2)解不等式组：{x+2>−1, 2x−1
3
≤3.
16.化简：(3
a−2−1
a+2
)⋅(a2−4)．
17.热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C
的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，求大楼BC的高度．(结果精确到1米，参考数据：√3≈1.73)
18.如图，一次函数y=1
2x+1的图象与反比例函数y=k
x
的图象相交于A(2,m)和B两
点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标．
19.为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行
问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了______名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇
形的圆心角的度数为______；
(2)若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
(3)现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我
爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．
20.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的
切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：∠CAD=∠CAB；
(2)若AD
AB =2
3
，AC=2√6，求CD的长．
21.在单词matℎematics(数学)中任意选择一个字母，选中字母“a”的概率为______．
22.若m2−2m=1，则代数式2m2−4m+3的值为______．
23.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2−8x+12=0的解，则这个
三角形的周长是______．
24.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB=8cm，BC=10cm，
点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′
恰好经过点D，则线段DE的长为______cm．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+1
的图象交于A，B两点，若
的图象与反比例函数y=2
x
点P是第一象限内反比例函数图象上一点，且△ABP
的面积是△AOB的面积的2倍，则点P的横坐标为
______．
26.某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(
元)之间的关系可以近似看作一次函数y=kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
(1)求k，b的值；
(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销
售该商品每周可获得的最大利润．
27.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋
转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
(3)若BE=BD，求tan∠ABC的值．
28.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别
交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=
−x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C(1,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB，求AP的
长；
(3)在(2)的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，
P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：−5+4=−1，
则气温由−5℃上升了4℃时的气温是−1℃．
故选：A．
根据题意列出算式，计算即可求出值．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A.正方体的左视图是正方形，故本选项不合题意；
B.圆柱的左视图是矩形，故本选项不合题意；
C.球的的左视图是圆，故本选项符号题意；
D.圆锥的左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
故选：C．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】B
【解析】解：38.4万=384000=3.84×105，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得x+3≠0，
解得x≠−3．
故选：C．
根据分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
5.【答案】A
【解析】解：点(2,−1)关于x轴对称的点是：(2,1)．
故选：A．
直接利用关于x轴对称点的性质进而得出答案．
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
6.【答案】D
−1=0，
【解析】解：分式方程3
x−1
去分母得：3−(x−1)=0，
去括号得：3−x+1=0，
解得：x=4，
经检验x=4是分式方程的解．
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB=8，
∵E为AB边中点，
∴OE=1
AB=4．
2
故选：B．
由菱形的性质得出AB=BC=CD=AD=8，AC⊥BD，则∠AOB=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，解答本题的关键掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．
8.【答案】C
【解析】解：A.a4⋅a4=a8，故本选项不合题意；
B.a与2a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.a3÷(−a)=−a2，故本选项符合题意；
D.(−a3)2=a6，故本选项不合题意；
故选：C．
分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠ACB，AB=AC，
∴当AD=AE时，则根据“SAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠AEB=∠ADC，则根据“AAS”可判断△ABE≌△ACD；
当∠DCB=∠EBC，则∠ABE=∠ACD，根据“ASA”可判断△ABE≌△ACD．
故选：B．
利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，AB=AC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．
10.【答案】D
【解析】解：观察图形可知a<0，由抛物线的解析式可知对称轴x=−1，
∵A(−3,0)，A，B关于x=−1对称，
∴B(1,0)，
故A，B，C正确，
故选：D．
根据二次函数的性质解决问题即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】5
【解析】解：|−5|=5．
故答案为：5
根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12.【答案】60°
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B=∠EAD=40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=90°−∠B=50°；
故答案为：50°．
由平行四边形的性质得出∠B=∠EAD=40°，由角的互余关系得出∠BCE=90°−∠B= 50°即可．
本题考查了平行四边形的性质、角的互余关系；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠B的度数是解决问题的关键．
13.【答案】6.6
=6.6(【解析】解：这10名同学一周在校参加体育锻炼时间的平均数是5×1+6×4+7×3+8×2
10
小时)，
故答案为：6.6．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14.【答案】3
【解析】解：连接OC，∵CD⊥AB，
∴CH=DH=1
2CD=1
2
×8=4，
∵直径AB=10，
∴OC=5，
在Rt△OCH中，OH=√OC2−CH2=3，
故答案为3．
根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=1
2
CD=4，再根据勾股定理计算出OH=3．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15.【答案】解：(1)原式=2√3−4×√3
2
+1
=2√3−2√3+1
=1；
(2)解不等式x+2>−1，得：x>−3，
解不等式2x−1
3
≤3，得：x≤5，
则不等式组的解集为−3<x≤5．
【解析】(1)先计算二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】解：(3
a−2−1
a+2
)⋅(a2−4)
=
3(a+2)−(a−2)
(a+2)(a−2)
⋅(a+2)(a−2) =3a+6−a+2
=2a +8．
【解析】根据分式的减法和乘法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 17.【答案】解：由题意可得，AD =100米，∠ADC =∠ADB =90°，
∴在Rt △ADB 中，∠CAD =30°，AD =60米，
∴tan∠CAD =CD AD =CD 60=√33
， ∴CD =20√3(米)，
在Rt △ADC 中，∠DAB =45°，AD =60米，
∴tan∠DAB =BD AD =1，
∴BD =60(米)，
∴BC =BD +CD =(60+20√3)≈95米，
即这栋楼的高度BC 是95米．
【解析】在直角三角形ADB 中和直角三角形ACD 中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD 和CD 的长，从而可以求得BC 的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
18.【答案】解：(1)∵一次函数y =12x +1的图象过点A(2,m)，
∴m =12×2+1=2， ∴点A(2,2)，
∵反比例函数y =k x 的图象经过点A(2,2)，
∴k =2×2=4，
∴反比例函数的解析式为：y =4x ；
(2)联立方程组可得：{y =12x +1y =4x
， 解得：{x 1=−4y 1=−1或{x 2=2y 2=2
， ∴点B(−4,−1)．
【解析】(1)将点A坐标代入一次函数解析式可求m的值，再将点A坐标代入反比例函数解析式，可求解；
(2)联立方程组可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式．本题难度适中．
19.【答案】120 108
【解析】解：(1)此次调查一共随机抽取了18÷15%=120(名)同学；扇形统计图中，
“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为360°×36
120
=108°，
故答案为：120，108；
(2)1500×12
120
=150(人)，
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人；
(3)画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中恰好选到A，B去参加比赛的结果数为2，
所以恰好选到A，B去参加比赛的概率=2
6=1
3
．
(1)由“夏季”的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出“春季”的人数占的百分比，乘以360即可得到结果；
(2)根据题意列式计算即可；
(3)画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好选到A，B去参加比赛的的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，
，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴AD//OC，
∴∠1=∠4．
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；(2)解：如图2，
连接BC，
∵AD
AB =2
3
，
∴设AD=2x，AB=3x，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADC=90°，∵∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD
AC =AC
AB
，
∴
2√6=2√6
3x
，
∴x=2(负值舍去)，
∴AD=4，
∴CD=√AC2−AD2=2√2．
【解析】(1)连接OC，根据切线的性质，判断出AD//OC，再应用平行线的性质，即可推得AC平分∠DAB；
(2)如图2，连接BC，设AD=2x，AB=3x，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
此题主要考查了切线的性质和应用，相似三角形的判定和性质，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
21.【答案】2
11
【解析】解：“mathematics”中共11个字母，其中共2个“a”，
任意取出一个字母，有11种情况可能出现，
；
取到字母“a”的可能性有两种，故其概率是2
11
故答案为2
11
先数出“mathematics”中共多少个字母，让字母“a”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率．
本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】5
【解析】解：∵m2−2m=1，
∴原式=2(m2−2m)+3=2+3=5．
故答案为：5．
原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23.【答案】17
【解析】解：x2−8x+12=0，
(x−2)(x−6)=0，
解得：x1=2，x2=6，
若x=2，即第三边为2，4+2=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，这个三角形周长为4+7+6=17，
故答案为：17．
先利用因式分解法解方程得到x1=2，x2=6，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为3，然后计算三角形的周长．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
24.【答案】5
【解析】解：∵将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，
∴AB=AB′=8cm，BC=B′C′=10cm，CE=C′E，
∴B′D=√AD2−B′A2=√100−64=6cm，
∴C′D=B′C′−B′D=4cm，
∵DE2=C′D2+C′E2，
∴DE2=16+(8−DE)2，
∴DE=5cm，
故答案为5．
由折叠的性质可得AB=AB′=8cm，BC=B′C′=10cm，CE=C′E，由勾股定理可求B′D 的长，由勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．25.【答案】2或−3+√17
2
【解析】解：①当点P在AB下方时
作AB的平行线l，使点O到直线AB和到直线l的距离相等，则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍，
直线AB与x轴交点的坐标为(−1,0)，则直线l与x轴交点的坐标C(1,0)，
设直线l的表达式为：y=x+b，将点C的坐标代入上式并解得：b=−1，
②，
故直线l的表达式为y=x−1①，而反比例函数的表达式为：y=2
x
联立①②并解得：x=2或−1(舍去)；
②当点P在AB上方时，
同理可得，直线l的函数表达式为：y=x+3③，
(舍去负值)；
联立①③并解得：x=−3±√17
2
故答案为：2或−3+√17
．
2
分点P在AB下方、点P在AB上方两种情况，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
26.【答案】解：(1)由题意可得：{30=50k+b
10=70k+b，
∴{k=−1
b=80，
答：k=−1，b=80；
(2)∵w=(x−40)y=(x−40)(−x+80)=−(x−60)2+400，
∴当x=60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；
(2)由销售该商品每周的利润w=销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
本题考查了二次函数的应用，待定系数法可求解析式，解答本题的关键是明确题意，利用函数和方程的思想解答．
27.【答案】(1)证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA=CD，∠A=∠CDE
∴∠A=∠CDA，
∴∠CDA=∠CDE，
∴CD平分∠ADE．
(2)解：结论：BE⊥AB．
由旋转的性质可知，∠DBC=∠CED，
∴D，C，E，B四点共圆，
∴∠DCE+∠DBE=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴BE⊥AB．
(3)如图，设BC交DE于O.连接AO．
∵BD=BE，∠DBE=90°，
∴∠DEB=∠BDE=45°，
∵C，E，B，D四点共圆，
∴∠DCO=∠DEB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠OCD，
∵CD=CD，∠ADC=∠ODC，
∴△ACD≌△OCD(ASA)，
∴AC=OC，
∴∠AOC=∠CAO=45°，
∵∠ADO=135°，
∴∠CAD=∠ADC=67.5°，
∴∠ABC=22.5°，
∵∠AOC=∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB=∠ABO=22.5°，
∴OA=OB，设AC=OC=m，则AO=OB=√2m，
∴tan∠ABC=AC
CB =
m+√2m
=√2−1．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．
(2)结论：AB⊥BE.证明C，E，B，D四点共圆即可解决问题．
(3)设BC交DE于O.连接AO.想办法证明△ACO是等腰直角三角形，OA=OB即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是证明C，E，B，D四点共圆，属于中考压轴题．28.【答案】解：(1)由题意抛物线经过B(0,3)，C(1,0)，
∴{c =3−1+b +c =0
， 解得{b =−2c =3
， ∴抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3．
(2)对于抛物线y =−x 2−2x +3，令y =0，解得x =−3或
1，
∴A(−3,0)，
∵B(0,3)，C(1,0)，
∴OA =OB =3OC =3，AB =3√2，
∵∠APO =∠ACB ，∠PAO =∠CAB ，
∴△PAO∽△CAB ，
∴AP AC =AO AB ，
∴AP
4=3√2， ∴AP =2√2．
(3)由(2)可知，P(−1,2)，AP =2√2，
①当AP 为平行四边形的边时，点M 的横坐标为2或−2，
∴M(−2,3)，M′(2,−5)，
∴点M 向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到N(0,5)，
点M′向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到N′(0,−7)，
②当AP 为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为−4，
∴M″(−4,−5)，此时N″(0,7)，
综上所述，满足条件的点N 的坐标为(0,5)或(0,−7)或(0,7)．
【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可．
(2)求出AB ，OA ，AC ，利用相似三角形的性质求解即可．
(3)分两种情形：①PA 为平行四边形的边时，点M 的横坐标可以为±2，求出点M 的坐标即可解决问题．②当AP 为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为−4，求出点M″的坐标即可解决问题．
本题考查二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形
的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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