马尔可夫链及其在股市分析中的应用

如果把证券市场股价变化的时间序列视为马氏链 ,则可按转移概率根据当前的状态预测
以后的状态 ,进行持股时间和投资收益分析 ,以采取相应的策略 ,这就是运用马氏链的方法进
行股市分析的基本思想.
2. 1 马氏性检验
根据沪 、深两地股市的统计资料 ,把股票价格划分为 n 个区间. X t ( t = 1 ,2 , …, n) 表示 t 时刻股价所处的区间 ,显然 X t 是一个随机时间序列. 我们可先用χ2 统计量来检验 X t 是否具 有马氏性 ,步骤如下 :
t44 . 同理可求出 t41 , t14 + t41 就是股价从大跌到大涨再到大跌过程所用的平均时间 ,即股票价
格的宏观运动周期.
2. 4 股票投资的马尔可夫决策
我们知道 ,股票价格的时间序列 { X n , n ∈ T} 是一个齐次的 ,不依赖于股票投资所采取的
方式的马尔可夫链. 若将投资者在状态 i 买入 ,在状态 j 卖出的收益率定义为 :
彭志行等 :马尔可夫链及其在股市分析中的应用
161
t + k 个时段 ( k ∈ T) 的绝对概率向量
P( t + k) = P( t) Pk = P( t) P1k .
(8)
若给定初始概率向量 P(0) = ( p1 (0) , p2 (0) , …, pn (0) ) T , 则由 (8) 式可得 t 个时段后的
2. 2 马尔可夫模型的建立
利用股市的历史资料 ,统计得出在连续两个时间段 (天 ,周 ,旬 ,月) 内 ,前一时段股价处于
i 区 ,而后一时段股价处于 j 区的比率 p ij ( i , j ∈ E) , 构造一步转移概率矩阵 P1 = ( pij ) . 由 (4) 式知 , k 步转移概率矩阵 Pk 为 :
P{ X n+1 = in+1 | X0 = i0 , X1 = i1 , …, X n = in } = P{ X n+1 = in+1 | X n = in } ,
(1)
则称 { X n , n ∈ T} 为马尔可夫链 ,简称马氏链. (1) 式称为过程的马尔可夫性 (或称无后效性) .
它表示若已知系统现在的状态 ,则系统未来所处状态与过去所处的状态无关.
过程不是马氏链[5] .
经过检验发现 :不仅单支股票价格变化的时间序列可以看作是一个是齐次马尔可夫过程 ,
而且整个证券市场的股指 、证券组合的综合价格 、股票的投资收益率时间序列都符合马氏
性[425] . 因此 ,针对我国股市受较多不规范因素的影响而表现出极强的随机性 ,我们可以将马氏
链引入到上述各方面 ,探讨更加切合我国证券市场实际的投资策略.
3. 应用实例分析
现以上海 A 股精伦电子的股价时间序列为例 (原始资料如表 1) ,应用马尔可夫链对股价
分别进行中短期和长期预测分析 ,从而确定投资策略. 这里不妨将时间序列的单位以天记.
表 1 上海 A 股精伦电子 (2002 年 6 月 13～7 月 17 日 23 个交易日的收盘价格资料)
马尔可夫过程是以俄国数学家 Markov 的名字命名的一种随机过程模型 ,它在经济预测 、
管理决策 、水文气象等领域应用广泛. 许多学者也将该方法应用于股价预测并建立预测模型 ,
但很少有人用马氏链的理论和方法来对股市进行综合分析与研究. 本文运用马氏链理论建立
股市运行的数学模型 ,同时对股价 、持股时间 、投资收益进行定量分析 ,希望能使投资者避免盲
定义 2 称条件概率
pij ( m , 1) = P{ X m+1 = j | X m = i} ( i , j ∈ E)
(2)
为马氏链 { X n , n ∈ T} 在时刻 m 的一步转移概率 ,简称为转移概率. 若对任意的 i , j ∈E , 马尔
可夫链 { X n , n ∈ T} 的转移概率 pij ( m ,1) 与 m 无关 ,则称马氏链是齐次的 ,记 pij ( m ,1) 为
序号 收盘价格
序号 收盘价格
序号 收盘价格
1 26. 62
9 28. 00
17 28. 41
2 25. 54
10 27. 73
18 28. 30
3 25. 37
11 27. 52
19 28. 17
4 25. 52
12 27. 89
20 27. 84
pij .
同时定义 :系统在时刻 m 从状态 i 出发 ,经过 n 步后处于状态 j 的概率
pij ( n , m) = P{ X m+n = j | X m = i} ( i , j ∈ E , m ≥0 , n ≥1)
(3)
为齐次马尔可夫链 { X n , n ∈ T} 的 n 步转移概率. 由齐次性知其与 m 无关 ,故简记为 pij ( n) .
是一个平稳值 ,这一概率分布向量可通过求解形如 (5) 式的线性方程组而唯一求得. 另外 ,对于
整个证券市场的股指时间序列和证券组合的综合价格时间序列 ,都可以用这种马尔可夫过程
模型进行预测和分析.
2. 3 股票价格的运动周期
我们既要了解股票价格在一段时间以后到达各个状态的可能性 ,也应该了解股票价格涨
i =1 j =1
j =1
nn
∑∑ 则当 n 较大时 ,统计量χ2
=2
N ij
i =1 j =1
lo g pij p ·j
服从自由度为 ( n - 1) 2 的χ2 分布. 选定了置
信度α, 查表得χα2 ( ( n - 1) 2 ) , 若χ2 > χα2 ( ( n - 1) 2 ) , 则可以认为 X t 符合马氏性 ,否则认为该
的常数π( j)
,
使得
lim
n →∞
p
ij
(
n)
= π( j) , 则称此马氏链具有遍历性 ,且π( j) 是方程组
∑ π( j) = π( i) pij
(5)
i
∑ 满足条件π( j) > 0 , π( j) = 1 的唯一解 ,即经历一段时间之后 ,系统达到平稳状态. j
2. 运用马尔可夫链的方法对股市进行分析
综合考虑这些因素 ,我们就可以开始寻找股票投资的最佳稳定策略 ,它在第 n 时刻所决定
的方式只依赖于该时刻的状态 ,而且是非随机的. 用 d ( a) 表示折扣系数 (0 < d ( a) < 1) , d ( a)
只依赖于方式 a. 对任意稳定策略 Y 和折扣因素 d (·) , 用 EY , d ( i , n) 表示初始状态是 x0 = i ,
落的宏观运行时间周期 ,这对投资者安排合理的持股天数很有帮助. 鉴于股票市场机遇与风险
并存的实际情况 ,我们有理由认为股价从状态 i 出发在有限时间间隔后总能以概率 1 到达状
态 j , 记 tij 为股票价格从状态 i 出发首次到达状态 j 的平均时间 ,则
∑ tij = 1 + p is t sj ( i , j , s ∈ E) , s ≠j
(10)
由此式通过联立方程组可求得任意的 tij . 如下文实例中状态个数为 4 ,根据 (10) 式可列线性方
程组 :
ti4 = 1 + pi1 t14 + pi2 t24 + pi3 t34 , i = 1 , 2 , 3 , 4 ,
(11)
方程组的未知数与方程个数都是 4 ,故只要一步转移概率矩阵 P 已知 ,就可以求出 t14 , t24 , t34 ,
j =1
j =1
(14)
n- 1
∏ =
0.
我们的目的是找一个最佳稳定策略
Y
3 i
=
ak3
,
使
EY
3 i
,
d
(
i
,
n)
取最大
k=1
EY
3 i
,
d
(
i
,
n)
= max EY , d ( i , n) , Y
(15)
然后通过计算最佳期望报酬
n
∑ E =
π E i
Y
3 i
,
d
(
i
,
n)
i =1
(16)
来综合确定买进股票的策略 ,称 (16) 式为股票投资的马尔可夫决策模型[5] .
用 N ij 表示在 ( X1 , X2 , …, X n) 中从状态 i 经过一步转移到状态 j 的频数 ,并将 ( N ij ) n×n 的 第 j 列之和除以各行各列的总和所得到的值记为 p·j , 即
n
∑N ij
p·j =
i =1 nn
, 且 pij =
N ij
n
,
(6)
∑∑N ij
∑N ij
望收益为
∑ Fi ( n) =
r ij ·Pij ( n) ,
j ∈I
(12)
则我们要求 k ( k ≥0) , 使得
∑ Fi ( k) = max rij ·Pij ( n) . n j ∈I
(13)
算出使期望收益最大的天数 k 后 ,结合前面求的到达平均时间 tij , 可综合分析求出最理想的
持股天数 ,避免过于频繁的买 、卖或持股时间过长 (如被套牢) 而造成不必要的损失.
rij = (状态 j 的收盘价格均值 - 状态 i 的收盘价格均值) / 状态 i 的收盘价格均值.
某一状态的收盘价格均值等于一定时间内 (如一个月) 处于该状态的收盘价总和除以处于该状
态的天数 ,则可以得到收益率矩阵 R = ( rij ) . 设投资者在状态 i 买入股票 n 天后卖出的平均期
应 用 数 学 MA T H EMA TICA A PPL ICA TA 2004 ,17 (增) :159～163
3 马尔可夫链及其在股市分析中的应用
彭志行 ,夏乐天
(河海大学理学院 ,江苏 南京 210098)
摘要 :本文运用马尔可夫链理论预测股票价格分析股市 ,提出了股价运行周期和投资 收益的最大化理论 ,并建立其随机过程模型 ,使决策的长期效益趋于最优 ,通过实例 检验 ,证明了此模型的可行性和实用性. 关键词 :马尔可夫链 ;转移概率 ;股市分析 ;股票价格 ;投资收益 中图分类号 :O211. 63 ;O231. 3 AMS( 2000) 主题分类 :60 H30 ;93 E99 文献标识码 :A 文章编号 :100129847 (2004) 增20159205
3 收稿日期 :2004209216 作者简介 :彭志行 ,男 ,汉 ,湖北人 ,硕士研究生 ,研究方向 :应用概率统计 ,经济数学.
160
应 用 数 学
2004
定义 3 齐次马尔可夫链的所有一步转移概率 pij 组成的矩阵 P1 = ( pij ) 称为它在时刻 m 的一步转移概率矩阵 ( i , j ∈ E) . 所有 n 步转移概率 p ij ( n) 组成的矩阵 Pn = ( pij ( n) ) 为马
∑ 尔可夫链的 n 步转移概率矩阵 ,其中 : 0 ≤ pij ( n) ≤1 , p ij ( n) = 1. j ∈E 设 { X n , n ∈ T} 为齐次马尔可夫链 ,则
Pn =
P1
P( n- 1) 1
=
P1n ( n ≥1) ,
(4)
且若它的状态空间
E 是有限的 ,对一切 ห้องสมุดไป่ตู้ , j
∈ E 存在不依赖于 i
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应 用 数 学
2004
采取的策略是 Y , 系统从 t = 0 开始一直到 t = n 所得到的期望总折扣报酬 ,则
其中 EY , d ( i , 0) 值 ,即
m
m
∑ ∑ EY , d ( i , n) =
d ( a0 ) Pij rij ( a0 ) +
Pij E Y , d ( j , n - 1) ,
股票价格预测的马尔可夫过程模型为 :
P( t) = P(0) Pt = P(0) P1t .
(9)
因此 ,可在已知初始概率向量 (即特定时段股价所处的区间) 的情况下 ,对任意时段后股价
所处区间的概率分布作出预测. 而且显然股价预测的马尔可夫链具有遍历性 ,也就是说无论股
市初期股票价格所处的区间如何 ,经过足够长的时间后 ,股价最终处于各个区间的概率分布都
Pk = P1k .
(7)
记概率向量 P( t) = ( p1 ( t) , p2 ( t) , …, pn ( t) ) T 为第 t 个时段股价的绝对概率向量 ,其中
pi ( t) 表示第 t 个时段股价处于第 i ( i ∈ E) 区的绝对概率 ,根据全概率公式和 (7) 式知 ,股价第
增刊
目和不理性的投资行为 ,采取科学的投资策略.
1. 马尔可夫过程概述
定义 1 设有随机过程 { X n , n ∈ T} , 其时间集合 T = { 0 ,1 ,2 , …} , 状态空间 E = { 0 ,1 , 2 , …} , 亦即 X n 是时间离散状态离散的. 若对任意的整数 n ∈ T 及任意的 i0 , i1 , …, in+1 ∈ E , 条件概率满足