贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学(理)试题
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第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知圆 ，斜率为 的直线 过定点 且与圆 相切，则 的方程为_________.
14．设 为等比数列 的前 项和， ，则 _________．
15．现有如下命题：①若 的展开式中含有常数项，且 的最小值为 ；② ；③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 个小球，其中红球有 个，白球有 个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量 表示取出白球的次数，则 ；④若定义在R上的函数 满足 ，则 的最小正周期为 ；
（1）求曲线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 、曲线 在第一象限交于 、 两点，且 ，点 的坐标为 ，求 的面积．
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若 ， ， ，试比较 ， 的大小.
参考答案
1．C
【解析】
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的焦点到渐近线的距离是( )
A．1B． C． D．2
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
5．把函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）
评卷人
得分
四、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足： ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，求 取得最大值时 的值．
18．如图，正方形 的边长为 ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 是 的中点， ，求二面角 的余弦值.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 ．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出 ，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．
19． 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于 我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮．
（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有 的把握认为男生的身高对 指数有影响．
11．已知函数 在区间 内有唯一零点，则 的最大值为( )
A． B． C． D．
12．已知双曲线 的左、右顶点分别为 .点 为双曲线的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 、 两点,连接 交 轴于点 ,连接 交 于点 ,且 ,则双曲线 的离心率为( ）
A． B．2C．3D．5
身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
体重较重
合计
（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169
158
173
体重
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求 （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；
21．已知在 上任意一点 处的切线 为 ，若过右焦点 的直线 交椭圆 于 两点，已知在点 处切线相交于 .
（Ⅰ）求 点的轨迹方程；
（Ⅱ）①若过点 且与直线 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 于 两点，证明 为定值.
②四边形 的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.
22．平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
则正确论断有______________.（填写序号）
评卷人
得分
三、双空题
16．金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的 个顶点， 个面的中心，此外在立方体的对角线的 处也有 个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有 个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为 ，则正四面体 的棱长为__________；正四面体 的外接球的体积是__________．
参考数据：
Βιβλιοθήκη Baidu， ， ， ，
参考公式： ， ， ， ， ．
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.811
6.635
7.879
20．已知函数 （ ， ）.
（1）若 ，且 在 内有且只有一个零点，求 的值；
（2）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
绝密★启用前
贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
9．4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的方法种类为( )
A． B． C． D．
10．设正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为直线 上一点， 为平面 内一点，则 ， 两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
6．已知函数 若ƒ(-a)+ƒ(a)≤2ƒ(1)，则实数a的取值范围是
A．[-1，0)B．[0，1]C．[-1,1]D．[-2,2]
7．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设 为锐角 内角 ， ， 的对边，且满足 ，若 ，则 的面积的最大值为（）
A． B． C． D．
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知圆 ，斜率为 的直线 过定点 且与圆 相切，则 的方程为_________.
14．设 为等比数列 的前 项和， ，则 _________．
15．现有如下命题：①若 的展开式中含有常数项，且 的最小值为 ；② ；③若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 个小球，其中红球有 个，白球有 个，每次取一个，取后放回，连续取三次，设随机变量 表示取出白球的次数，则 ；④若定义在R上的函数 满足 ，则 的最小正周期为 ；
（1）求曲线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 、曲线 在第一象限交于 、 两点，且 ，点 的坐标为 ，求 的面积．
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若 ， ， ，试比较 ， 的大小.
参考答案
1．C
【解析】
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，已知复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
3．双曲线 的焦点到渐近线的距离是( )
A．1B． C． D．2
4．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
5．把函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）
评卷人
得分
四、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足： ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列 的前 项和为 ，求 取得最大值时 的值．
18．如图，正方形 的边长为 ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（Ⅰ）证明：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 是 的中点， ，求二面角 的余弦值.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
体重（kg）
57
58
53
61
66
57
50
66
残差
②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为 ．小明重新根据最小二乘法的思想与公式，已算出 ，请在小明所算的基础上求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程．
19． 指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．对于高中男体育特长生而言，当 数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于 我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮．
（Ⅰ）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与 指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有 的把握认为男生的身高对 指数有影响．
11．已知函数 在区间 内有唯一零点，则 的最大值为( )
A． B． C． D．
12．已知双曲线 的左、右顶点分别为 .点 为双曲线的左焦点，过点 作垂直于 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 于 、 两点,连接 交 轴于点 ,连接 交 于点 ,且 ,则双曲线 的离心率为( ）
A． B．2C．3D．5
身高较矮
身高较高
合计
体重较轻
体重较重
合计
（Ⅱ）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高
166
167
160
173
178
169
158
173
体重
57
58
53
61
66
57
50
66
根据最小二乘法的思想与公式求得线性回归方程为 ．利用已经求得的线性回归方程，请完善下列残差表，并求 （解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值）（保留两位有效数字）；
21．已知在 上任意一点 处的切线 为 ，若过右焦点 的直线 交椭圆 于 两点，已知在点 处切线相交于 .
（Ⅰ）求 点的轨迹方程；
（Ⅱ）①若过点 且与直线 垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆 于 两点，证明 为定值.
②四边形 的面积是否有最小值，若有请求出最小值；若没有请说明理由.
22．平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
则正确论断有______________.（填写序号）
评卷人
得分
三、双空题
16．金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的 个顶点， 个面的中心，此外在立方体的对角线的 处也有 个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有 个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为 ，则正四面体 的棱长为__________；正四面体 的外接球的体积是__________．
参考数据：
Βιβλιοθήκη Baidu， ， ， ，
参考公式： ， ， ， ， ．
0.10
0.05
0.01
0.005
2.706
3.811
6.635
7.879
20．已知函数 （ ， ）.
（1）若 ，且 在 内有且只有一个零点，求 的值；
（2）若 ，且 有三个不同零点，问是否存在实数 使得这三个零点成等差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
绝密★启用前
贵州省遵义市南白中学2020届高三第六次联考数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
9．4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的方法种类为( )
A． B． C． D．
10．设正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为直线 上一点， 为平面 内一点，则 ， 两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
6．已知函数 若ƒ(-a)+ƒ(a)≤2ƒ(1)，则实数a的取值范围是
A．[-1，0)B．[0，1]C．[-1,1]D．[-2,2]
7．在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．设 为锐角 内角 ， ， 的对边，且满足 ，若 ，则 的面积的最大值为（）
A． B． C． D．