5.3向量的数量积、向量积及混合积

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5.3 向量的数量积、向量积及混合积

一、相关问题

1.人在路面上用绳子拉一个物体,绳子上的力F 与路面成的角为θ,物体产生的位移为S ,求力F 对物体做的功.

解:力F 所做的功W 等于F 在位移方向上的分力大小与移动距离的乘积,即

W=cos θF S .

2.一个力F 作用在棒的一端P,使棒绕其支点O 转动,求力F 关于支点O 的力矩的大小.

解:力矩M 的大小为:sin (,).OA OA =∠M F F 方向为垂直力F 和向量OP 所在的平面。

二、相关知识

1.向量数量积的定义;

答:两个向量a 和b 的数量积为a 与b 的模和它们夹角的余弦的乘积,即

cos (,).⋅∠a b =a b a b

2.向量积的定义;

答:两个向量a 与b 的向量积是一个向量,它的模为sin (,),∠a b a b 方向与,a b 都垂直,并且按,,⨯a b a b 这一顺序组成右手系.

3.向量数量积的运算性质有哪些? 答:(1)交换律:⋅=⋅a b b a ;数量积的运算与方向无关。 (2)关于数因子的结合律:()()λλ⋅=⋅a b a b (3)分配律:()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c (4)0,⋅≥a a 等号成立当且仅当=0a .

4.向量积的运算性质有哪些? 答:(1)反交换律:⨯=-⨯a b b a ;数量积的运算与方向有关。 (2)关于数因子的结合律:()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b (3)右分配律:()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c (4)左分配律:()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c

三、练习题

1.设证明βα

,为任意向量,证明βαβα

+≤+;

证明:作,,OA AB ==αβ则OB =+αβ,根据三角形三边之间的关系有:

OB OA AB ≤+,即+≤+αβαβ.

2.已知点(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C ,求(1)BAC ∠,(2)Pr AC j AB ; 解:

(0,1,0),(1,0,0)AB AC =-=-,0(1)(1)0000AB AC ∴⋅=⨯-+-⨯+⨯=.

cos AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠,cos 0AB AC BAC AB AC

⋅∴∠=

=⋅,

∴2

BAC π

∠=

, Pr 0AC AB AC j AB AC

⋅=

=.

3.试证明三个向量γβα

,,共面的充分必要条件是0),,(=γβα ;

证明:取单位坐标系{O;123,,e e e },设123123123(,,),(,,),(,,)x x x y y y z z z ===αβγ, 则32

331

12

1223311

23311

2

()(

)()i i i x

x x

x x x z y y y y y y ==⨯+⨯+⨯⋅∑e e e e e e e α,β,γ =1

23

233

1

1

2

3

1

2123123123233

1

12

1

2

3

()()()x x x x x x x x x z z z y y y y y y y y y z z z ++⋅=⋅e ,e ,e e e e . α,β,γ共面等价于存在不全为0的实数123,,k k k 使得123k k k α+β+γ=0,即方程组112233112233112233

00k x k x k x k y k y k y k z k z k z ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩有非零解,这就等价于12

3

12312

3

0x x x y y y z z z =,即(α,β,γ)=0. 4.设6

)ˆ,ˆ(,3,4π===b a b a ,求以b a 2+和b a 3-为边的平行四边形的面积。

解:由向量积的运算性质可知:

b

a b a b a b

b b a a b a a b a b a

⨯-=⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯+⨯=-⨯+5323232)3()2( 再由向量积的几何意义可得所求平行四边形的面积为:

.3021345)ˆ,ˆsin(5)(5)3()2(=⨯⨯⨯=•=⨯-=-⨯+=b a

b a b a b a b a S 四、思考题

1. 向量的数量积与向量积的物理意义是什么?

答:向量的数量积和向量积的物理意义分别是:力所做的功W 用力F 与位移S 的数量积表示,即W=F ⋅S ,而作用在棒端点P ,使其绕支点O 转动的力F 的力矩OP =⨯M F . 2.向量的数量积、向量积以及混合积的几何意义是什么?

答:a ,b 数量积的几何意义:a 的模与b 在a 方向的投影的乘积.

a ,

b 向量积的几何意义:a,b 的向量积的模等于以a,b 为邻边的平行四边形的面积.(a,b 不共线)

a ,

b ,

c 的混合积的几何意义:a,b,c 的混合积的绝对值为a,b,c 为相邻棱的平行六面体的体积.(a,b,c 不共面). 3.试用向量证明不等式 2

32221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤

++

其中321321,,,,,b b b a a a 为任意实数,并指出等号成立的条件。

证:在直角坐标系{O;,,i j k }中,取123(,,)a a a =a ,123(,,)b b b =b ,

则=

=⋅a b a b =112233a b a b a b ++,

cos (,)⋅=∠≤a b a b a b a b

∴2

32

22

12

32

22

1332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤++ .

4.设k j i k j i

-+=+-=βα ,2,求同时垂直于βα ,的单位向量e

解:由向量积的定义可知:所求的同时垂直于βα

,的单位向量e

为:

β

αβ

α ⨯⨯=e ,其中111112--=⨯k

j i βαk j 33+=,

2399=+=⨯βα

,所以 )33(2

31

k j e +=.

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