5.3向量的数量积、向量积及混合积
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5.3 向量的数量积、向量积及混合积
一、相关问题
1.人在路面上用绳子拉一个物体,绳子上的力F 与路面成的角为θ,物体产生的位移为S ,求力F 对物体做的功.
解:力F 所做的功W 等于F 在位移方向上的分力大小与移动距离的乘积,即
W=cos θF S .
2.一个力F 作用在棒的一端P,使棒绕其支点O 转动,求力F 关于支点O 的力矩的大小.
解:力矩M 的大小为:sin (,).OA OA =∠M F F 方向为垂直力F 和向量OP 所在的平面。
二、相关知识
1.向量数量积的定义;
答:两个向量a 和b 的数量积为a 与b 的模和它们夹角的余弦的乘积,即
cos (,).⋅∠a b =a b a b
2.向量积的定义;
答:两个向量a 与b 的向量积是一个向量,它的模为sin (,),∠a b a b 方向与,a b 都垂直,并且按,,⨯a b a b 这一顺序组成右手系.
3.向量数量积的运算性质有哪些? 答:(1)交换律:⋅=⋅a b b a ;数量积的运算与方向无关。 (2)关于数因子的结合律:()()λλ⋅=⋅a b a b (3)分配律:()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c (4)0,⋅≥a a 等号成立当且仅当=0a .
4.向量积的运算性质有哪些? 答:(1)反交换律:⨯=-⨯a b b a ;数量积的运算与方向有关。 (2)关于数因子的结合律:()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b (3)右分配律:()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c (4)左分配律:()⨯+=⨯+⨯a b c a b a c
三、练习题
1.设证明βα
,为任意向量,证明βαβα
+≤+;
证明:作,,OA AB ==αβ则OB =+αβ,根据三角形三边之间的关系有:
OB OA AB ≤+,即+≤+αβαβ.
2.已知点(1,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C ,求(1)BAC ∠,(2)Pr AC j AB ; 解:
(0,1,0),(1,0,0)AB AC =-=-,0(1)(1)0000AB AC ∴⋅=⨯-+-⨯+⨯=.
cos AB AC AB AC BAC ⋅=⋅∠,cos 0AB AC BAC AB AC
⋅∴∠=
=⋅,
∴2
BAC π
∠=
, Pr 0AC AB AC j AB AC
⋅=
=.
3.试证明三个向量γβα
,,共面的充分必要条件是0),,(=γβα ;
证明:取单位坐标系{O;123,,e e e },设123123123(,,),(,,),(,,)x x x y y y z z z ===αβγ, 则32
331
12
1223311
23311
2
()(
)()i i i x
x x
x x x z y y y y y y ==⨯+⨯+⨯⋅∑e e e e e e e α,β,γ =1
23
233
1
1
2
3
1
2123123123233
1
12
1
2
3
()()()x x x x x x x x x z z z y y y y y y y y y z z z ++⋅=⋅e ,e ,e e e e . α,β,γ共面等价于存在不全为0的实数123,,k k k 使得123k k k α+β+γ=0,即方程组112233112233112233
00k x k x k x k y k y k y k z k z k z ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解,这就等价于12
3
12312
3
0x x x y y y z z z =,即(α,β,γ)=0. 4.设6
)ˆ,ˆ(,3,4π===b a b a ,求以b a 2+和b a 3-为边的平行四边形的面积。
解:由向量积的运算性质可知:
b
a b a b a b
b b a a b a a b a b a
⨯-=⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯+⨯=-⨯+5323232)3()2( 再由向量积的几何意义可得所求平行四边形的面积为:
.3021345)ˆ,ˆsin(5)(5)3()2(=⨯⨯⨯=•=⨯-=-⨯+=b a
b a b a b a b a S 四、思考题
1. 向量的数量积与向量积的物理意义是什么?
答:向量的数量积和向量积的物理意义分别是:力所做的功W 用力F 与位移S 的数量积表示,即W=F ⋅S ,而作用在棒端点P ,使其绕支点O 转动的力F 的力矩OP =⨯M F . 2.向量的数量积、向量积以及混合积的几何意义是什么?
答:a ,b 数量积的几何意义:a 的模与b 在a 方向的投影的乘积.
a ,
b 向量积的几何意义:a,b 的向量积的模等于以a,b 为邻边的平行四边形的面积.(a,b 不共线)
a ,
b ,
c 的混合积的几何意义:a,b,c 的混合积的绝对值为a,b,c 为相邻棱的平行六面体的体积.(a,b,c 不共面). 3.试用向量证明不等式 2
32221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤
++
其中321321,,,,,b b b a a a 为任意实数,并指出等号成立的条件。
证:在直角坐标系{O;,,i j k }中,取123(,,)a a a =a ,123(,,)b b b =b ,
则=
=⋅a b a b =112233a b a b a b ++,
cos (,)⋅=∠≤a b a b a b a b
,
∴2
32
22
12
32
22
1332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++≤++ .
4.设k j i k j i
-+=+-=βα ,2,求同时垂直于βα ,的单位向量e
。
解:由向量积的定义可知:所求的同时垂直于βα
,的单位向量e
为:
β
αβ
α ⨯⨯=e ,其中111112--=⨯k
j i βαk j 33+=,
2399=+=⨯βα
,所以 )33(2
31
k j e +=.