相似三角形 提高习题

相似三角形

一、知识回顾：

1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为

两角对应相等两三角形相似). (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三

角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.) (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙

为:三边对应成比例,两个三角形相似.) 直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.

(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性

二、选择题

1．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，若AB=2，BC=3，则CD 的长是（ ）

A ．

83 B ．23 C ．43 D ．532．若3a b

a b b c a c ==

+++=k ，则k 的值为（ ）A ．12 B ．1 C ．—1 D ．1

2

或—1

3．下列结论不正确的是( )

A.所有的矩形都相似

B.所有的正方形都相似

C.所有的等腰直角三角形都相似

D.所有的正八边形都相似

4．如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 交AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N

恰好重合，则AE ：BE 等于（ ） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3

F

图

6

5、（2009年新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）

6、如图6，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC

绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ）

A.5:3

B.3:5

C.4:3

D.3:4

(3题图）

E

D

C

B A

7、如上图，等腰ABC ∆中，底边BC=a ,A ∠=0

36,ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，

设k =

，则DE=( ) A 、2

k a B 、3

k a C 、2a

k

D 、

3

a k

三、填空:

1．若

235a b c ==（abc ≠0）

，则a b c

a b c

++-+=_________．2．△ABC 的三条边之比为2：5：6，与其相似的三角形最大边长为15cm ，则另两边长的和为_______．3．两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm ，25cm ，它们的周长差为63cm ， 则这两个三角形的周长分别是________．

4、 如右图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于

点F ，如果

23BE BC =，那么BF

FD

= ． 5.如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则

AD=______.

6.如图3,正方形ABCD 中,E 是AD 的中点,BM ⊥CE,AB=6,则BM=______.

7.如图5,Rt ΔABC 中,∠ACB=900

,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

8.如图6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,则EF=_________.

12.如图10,正方形ABCD内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA∶AQ=__________.

四、解答题:

1.已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.

求证:ΔAEF∽ΔACB.

2.已知：ΔACB为等腰直角三角形，∠ACB=900延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=1350

求证：ΔEAC∽ΔCBF

3、如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中

点，连结EF.

（1）求证：EF∥BC.

（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.

4、如图，已知ABC

，延长BC到D，使CD=BC取AB的中点F,连接FD交AC于点E。

（1）求AE

AC

的值；（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长。

E

F

A

D

C

B

5．如图，已知D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.

试说明△ABC ∽△DBE

6．如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形．

（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ．

（2）当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数．

7．已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.

8、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：

（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN ∙=∙

B C

E