信号与系统-公式总结 (含要点、题型)

第一章 绪论

1．周期信号的判断：)()(T t x t x += 2T π

ω

=

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

(会判断信号是否为周期信号，并求周期信号的周期) 小题 (选择或者填空) 2、信号的能量 def

2

()E

f t dt +∞

-∞

=?

信号的平均功率 def

2

/2

/2

1lim ()T T T P f t dt T +-→∞=?

（会判断信号是功率信号还是能量信号）小题 3、 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性

先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算

()()()()11221122C e t C e t C r t C r t +?+

（2）时变系统与时不变系统 时不变性：

先时移，再经系统＝先经系统，再时移

()()00e t t r t t -?-

4 对线性时不变系统，响应)()()(t r t r t r zs zi +=，其中)(t r zi 为零输入响应，)(t r zs 为零状态响应。当激励进行放大或者缩小时，零状态响应也相应地放大或者缩小，当初始条件放大或者缩小时，零输入响应也响应地放大或者缩小。需要会利用系统的线性特性分别计算系统的零输入响应和零状态响应。 （会利用系统的线性特性求解系统的零输入响应和零状态响应）简单计算 响应可分解为：零输入响应＋零状态响应, )()()(t r t r t r zs zi +=。

5、

会画()u t 平移以后的()u t 以及经过运算以后的()u t 的波形，比如(2)(3)u t u t +-- 6、

(1))()0()()(t f t t f δδ= (2)2

020101

0012

0,()()(),

t t if

t t t t t t f t dt f t if

t t t δ>

<

会利用单位冲击函数抽样性和积分特性进行简单计算。小题 (3)()(1)()u n u n n δ--=

7、※信号的时域分析与变换

信号的翻转：)()(t f t f -→ 平移：)()(0t t f t f ±→ 展缩：)()(at f t f → 会对信号进行平移、反转、尺度变换的综合运算，并作图。简单计算

第二章 连续时间系统的时域分析

1、连续时间系统的数学模型是微分方程 零输入响应

：（略）

Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式1

()i n

a t

zi i i r t C e

==

∑或 111

1

()i K

n

a t

a t

i zi i i

i i K r t C t

e C e

-==+=

+

∑∑；

Step3 初始条件代入确定系统i C ； 零状态响应

：

时域分析法)(t r zs =)(*)(t h t e 系统响应的分类（理解概念）： 零输入响应和零状态响应 自由响应和受迫响应 暂态响应和稳态响应

（理解响应的概念并会求响应）概念考小题，计算包含在大题中 2、※卷积

1212()()*()

()()t

g t f t f t f f t d τττ-∞

==

-?

1212()()*()

()()n

m g n f n f n f m f n m =-∞

==

-∑

会利用卷积的分配率和交换律求复合系统的单位冲激响应 简单计算 3、)(t f 与奇异函数的卷积

※

)

()(*)()()(*)(00t t f t t t f t f t t f -=-=δδ

4、卷积的延时特性

1212121212121212()()()()()()()()()()

f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则

会利用卷积的性质进行简单运算 小题 5、其他常见的卷积公式

121212

()*()()t t

t

t

e e e u t e u t u t λλλλλλ-=- 12λλ≠

121()*()()t t t e u t e u t te u t λλλ= 12λλ=

简单信号的卷积会进行直接计算 小题

第三章 傅立叶变换

1、周期信号f(t)的傅立叶级数 三角傅里叶级数

011

()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞

∞

===+Ω+Ω∑∑

/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω? /2

/2

2()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω?

已知三角形式的傅里叶级数，会画三角形式的幅度谱和相位谱。简单计算参看课件例题3-2-2 （a n 是n 的偶函数， b n 是n 的奇函数

01

()

cos()2n n n A f t A n t ?∞

==+Ω+∑

00A a = 22

n n n

A a b =+ arctan n

n n

b a ?=- n n A n n ?是的偶函数，是的奇函数）此处括号内内容删除

2、波形的对称性与谐波特性

1. f(t)为偶函数－－对称纵坐标：b n =0，展开为余弦级数。

2. f(t)为奇函数－－对称原点：a n =0，展开为正弦级数。

3. f(t)为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=0

4. f(t)为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0 已知周期信号的时域特性，会确定傅里叶级数中所包含的分量 小题 3、傅立叶级数的指数形式

以周期矩形脉冲序列为例，得到掌握并理解周期信号的频谱特点：离散性、谐波性、收敛性 小题 4、傅里叶变换的公式（掌握定义公式）小题 正变换：()()j t

F f t e

dt ωω∞

--∞

=

?

逆变换：1

()()2j t f t F e d ωωωπ

∞

-∞

=

?

5 傅立叶变换的性质

性质 时域

频域

※时移

0()f t t ± 0()j t F e ωω±

※时频展缩

()f at 0a ≠ ()f at b ±0a ≠ 1()F a a

ω 1()b j a e F a a

ωω± ※※频移 0()j t f t e ω±

0()F ωωm

※※对称性 ()F t 2()f πω- 时域微分

()n

n d f t dt

()()n j F ωω

频域微分

(

)()n

jt f t -

()n

n

d F d ωω ※卷积定理

12()*()f t f t

12()()F F ωω?

会利用傅里叶变换的性质计算信号的傅里叶变换。简单计算

6、 典型信号的傅里叶变换及频谱图 信号 名称

()f t

波形图

()

()()j F F e ?ωωω= 频谱图 ※※ 矩形 脉冲 [(/2)(/2)]

E u t u t ττ--+

此处原来有误

(

)2

E Sa ωτ

τ

冲激 脉冲

()E t δ

E

※※ 直流 函数

E

2()E πδω

※ 冲激 序列

1()T t δ

11()ωωδω

11

2T πω=

会计算常见信号的傅里叶变换 小题 7、周期信号的傅立叶变换

单位冲击序列的傅里叶变换()T t δ?

8、 抽样定理：

(1)已知信号有限频带为m f ，采样信号频率f 满足2s m f f ≥时，抽样信号通过理想低通滤波器后能完全恢复。其中，2m f 称为奈奎斯特抽样率。 (2)抽样间隔s T 满足条件12s m T f ≤

时，抽样信号能够完全恢复。其中12s m

T f =成为奈奎斯特抽样间隔。 会利用抽样定理确定信号的最低抽样频率或者最大抽样间隔 小题

第四章 拉普拉斯变换

1、 定义

双边拉普拉斯变换()()st F s f t e dt ∞

--∞=

?

拉普拉斯反变换 1

()()2j st j f t F s e ds j σσπ+∞

-∞

=

?

单边拉普拉斯变换0

()()st

F s f t e dt ∞

-=?

单边变换收敛条件：lim ()0t

t f t e

σ-→∞

= 0σσ>称为收敛域。

2、 常见函数的拉普拉斯变换

3、 拉普拉斯的基本性质

※3时域微分

()

df t dt ()(0)sF s f --

2'()(0)(0)s F s sf f ----

4复频域微分 ()tf t

()

dF s ds -

5复频域积分 ()

f t t ()s

F s ds ∞

?

※6时域卷积 12()*()f t f t

12()()F s F s

初值定理

注意

为真分式

终值定理

会根据信号的拉氏变换结果计算信号的初值和终值小题 ※4、 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法

1110

12()()()()m m m m n n b s b s b s b F s a s p s p s p --+++=

---L L 1212()()()n n k k k s p s p s p =+++---L ()()|i i i s p k s p F s ==- (1,2,)i n =L

()1e t u t s α

α-?

+拉氏变换的基本形式：

会利用部分分式法进行拉普拉斯反变换 大题中用到 3 冲激响应h(t) 的计算

（1）已知电路图，求h(t) （略）

Step1:明确系统输入（激励），系统输出（响应）

Step2:电气元件L 和C ，变成变换域1L Ls C CS

→→

Step3: 系统函数 ()

()()

R s H s E s =

Step4: []1

()()h t L

H s -=

会求解下述三类问题 计算题

（2）已知e(t)和零状态响应()zs r t ，求h(t) 利用卷积定理对系统进行求解

（3）已知微分方程，求h(t)，求系统零输入响应、零状态响应、全响应

（4）已知各分支子系统h i (t),根据系统连接方式确定总系统h(t)，利用卷积的结合律和分配率。 4、系统稳定性判断：此处原来有误，多了因果二字

时域：|()|h t +∞

-∞

<∞?

S 域：系统函数的极点在左半平面系统稳定。 已知H （S ）会判断系统的稳定性 大题中用到

5、系统因果性判断：在t 小于0时，响应为0的系统为因果系统。 会判断系统的因果性 小题

6、已知极零图和(0)H 或者()H ∞的值，会求系统函数以及系统的单位冲击响应，判断系统的稳定性。计算题

第五章 连续时间系统的频域分析

1 无失真传输条件判断

定义：任意波形信号通过线性系统不产生波形失真。 时域条件：0()()r t Ke t t =- 频域条件：0

()j t H j Ke

ωω-= 等价于0()()()H j K t

ω?ωω?=?

?

=-??常数

即系统的幅频特性为一常数，相频特性是一通过原点的直线。 掌握无失真传输系统的时域条件和频域条件。 小题 2 理想滤波器的单位冲击响应及信号通过滤波器的响应 (1) 理想低通滤波器 (2) 理想高通滤波器 (3) 理想带通滤波器

调制和滤波器相结合如作业5-19

会计算三种理想滤波器的单位冲激响应，会计算信号通过滤波器后的响应，参考作业题，课上例题。计算题

第七章 离散时间系统的时域分析

1、00

00

02/2/2/(2/),/N N M M N πωπωπωπωπω==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，

会判断离散时间序列的周期性，并求其周期。小题

2、序列的运算

加、减、乘、序列的平移、累加

会进行序列的简单计算，如左移、右移、累加，同时掌握两类常见序列，单位阶跃序列和单位样值序列。小题

3、离散时间系统的数学模型是差分方程 差分方程的一般形式 前向差分：

00()()N M

i

j

i j a y n i b x n j ==+=+∑∑ 1N

a

=

后向差分：

()()N

M

i

j

i j a y n i b x n j ==-=-∑∑ 0

1a

=

会判断差分方程的阶数 小题 4、 卷积和 ()()()zi zs y n y n y n =+ （1）零输入响应()zi y n ：（略） Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式1

()N

n

zi i i

i y n C a

==

∑或 11

1

1

()K

N

i n

n zi i i i

i i K y n C n

a C a

-==+=

+

∑∑；

Step3 初始条件(0),(1),,(1)zi zi zi y y y N -L 代入()zi y n ，确定系统i C ； （2）零状态响应()zs y n ：初始状态为零时外加激励引起的响应 时域分析法()()*()zs y n x n h n =()()m x m h n m ∞

=-∞

=-∑

5、离散时间信号卷积公式 （1） ()*()()n x n x n δ=

（2） 112

1

2

12

()*()()n n

n n a a a u n a u n u n a a +-=

- （3） ()*()(1)()n n n a u n a u n n a u n =+（此处原来书写有误） 当a=1时，()*()(1)()u n u n n u n =+

（4）12()()*()f n f n f n =，则121122()()*()f n n n f n n f n n --=-- 卷积和的延时特性 能够直接写出常见信号的卷积，会利用卷积的时移特性计算信号的卷积。 小题 6、两个离散时间序列的卷积 图解法对 位相乘法

会计算离散时间序列的卷积。简单计算

7、卷积和的延时特性12()()*()f n f n f n =，则121122()()*()f n n n f n n f n n --=--

两个信号的卷积和，卷积和结果仍为一个信号。该信号的起点等于那两个信号起点之和，终点等于那两个信号的终点之和。 若长度为1N 的序列和长度为 2N 的序列相卷积，则卷积结果的长度为121N N +-（此处原来书写有误）小题

第八章 Z 变换

1. Z 变换定义（掌握定义公式）小题 正变换： 双边：()()n

n X z x n z ∞

-=-∞

=

∑ 单边：0

()()n

n X z x n z

∞

-==

∑

2. Z 变换收敛域ROC ：满足

() n n x n z ∞

-=-∞

<∞∑

的所有z 值

3、收敛域与序列之间的对应关系

★ ROC 内不包含任何极点（以极点为边界）；

★ 右边序列的ROC 为 1z R > 的圆外；右边序列的收敛域大于大的极点的模 ★ 左边序列的ROC 为 1z R < 的圆内；左边序列的收敛域小于小的极点的模

★ 双边序列的ROC 为 12R z R << 的圆环。双边序列的收敛域大于小的极点的模，小于大的极点的模，在一个环内。 小题

★ 有限长序列的ROC 为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ∞）；

会根据收敛域判断信号是左边序列还是右边序列，也会根据序列得到信号的收敛域 小题 4、. 典型信号的Z 变换

(1) ()(),x n n δ=()1X z =，0z ≥

(2) ()(),x n u n =(),11

z

X z z z =

>- (3) ()()n

x n a u n =,(),z X z z a z a

=

>- (4) ()

(1)n n a u n z a

z z a u n z a

z a ?>???---<-??

变换的基本形式 会计算常见信号的Z 变换 小题 5、单边Z 变换性质

会利用位移特性对差分方程进行Z 变换 计算题用到 会利用初值定理和终值定理计算序列的初值和终值 小题 6、Z 反变换

⑴幂级数展开法（长除法）

※⑵部分分式展开法 ()()()N z F z D z =1110

1

110

M M M M N N N N b z b z b z b a z a z a z a ----++++=++++L L 单极点时，将()F z z 展开为部分分式 ()F z z =0N i

i i

A z p =-∑

根据收敛域给出反变换

A ： if z R >，则()f n 为因果序列（右边序列），即1

()()N

n

i i

i f n A p u n ==

∑

B ： if z R <，则()f n 为非因果序列（左边序列），即1

()(1)N

n

i i

i f n A p u n ==---∑

会利用部分分式展开法进行反Z 变换 计算题用到 7、变换域分析法求系统响应

Step1: 差分方程两边Z 变换（注意初始状态为零）； 左移位性质

特性名称 时间序列 Z 变换

※位移性

()()f n m u n +

1

0()()m m

i i z F z x i z --=??-????∑

()()f n m u n m --

()m z F z - ※时间反转

()f n - 1()F z -

尺度变换 ()n a f n ()z F a

※卷积定理

12()*()f n f n

12()()F z F z

初值定理

终值定理

条件：极点在单位圆内或者在z=1

处

()()()

1

11Z x n z X z x --=+-????

已知[]()()()Z x n u n X z =，则[]1

0 ()()()()m m

k k Z x n m u n z X z x k z --=??

+=-????

∑

例：()()()10Z x n zX z zx +=-????

()()()()22

201Z x n z X z z x zx +=--????

右移位性质（重点掌握）

已知[]()()()Z x n u n X z =，则[]1

()()()()m

k k m Z x n m u n z

X z x k z ---=-??-=+????

∑

例：()()()111Z x n z X z x --=+-???? ()()()()21212Z x n z X z z x x ---=+-+-????

Step2: 求系统转移函数()

()()

zs Y z H z X z =

Step3: 求()x n 的Z 变换()X z Step4: ()()()zs Y z X z H z = Step5: []1

()()zs zs Y n Z

Y z -=

已知差分方程和初始条件，会求系统函数，会判断系统的稳定性，会求系统的零输入、零状态、全响应，会指出自由响应和受迫响应。 计算题

对于因果系统，系统函数的极点在单位圆内，系统稳定。

复习的时候将知识点对应到作业题以及雨课堂里的例题上，通过题目的练习来掌握知识点，这样才能以不变应万变。

考试题型 填空，每空2分共20分，选择每题2分共20分，简单计算每题5分共25分，计算题3题，10+10+15=35分。