傅里叶变换及其性质PPT课件

真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能
将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基
本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
内， 因而，常常将ω=0~ 2 这段频率范围称为矩形脉冲信

号的频带宽度。记为
B

2
(rad
或
/ s)
Bf
1 (Hz)

14
第2章 连续时间傅里叶变换
2.1 引 言
LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通 过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。
2
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数
2.2.1 指数形式的傅里叶级数
满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式
的傅里叶级数:

f (t) Fne jnt
Fn
E 10
o

＝2 T
2
(b)
图 2.2-6 不同T
(a) T=5τ ; (b) T=10 τ
4

4

13
第2章 连续时间傅里叶变换 周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期
矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传
输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失
＝2T
2

T
t
o
4

(a)
f(t) E
o τ
Fn
E 10
T
t
o
2
τ
(b)
图 2.3-5 不同τ
(a) τ =T/5; (b) τ =T/10


12
第2章 连续时间傅里叶变换
f(t) E
－τ2 o
τ 2
T
2T
t
Fn E 5
o
＝2T
2
(a)
f(t) E
－τ2o
τ 2
T
t
n
15
第2章 连续时间傅里叶变换 因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16))，有
16
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换
2.4.1 傅里叶变换
17
第2章 连续时间傅里叶变换
对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷
小量dω，而离散频率nΩ变成连续频率ω。在这种极限情况下，
第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频 率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有 非Ω的谐波分量。
第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随nΩ 的变化有起伏变化，但总的趋势是随着nΩ 的增大而逐渐减11小。
第2章 连续时间傅里叶变换
f(t) E
－τ 2 o
τ 2
Fn
E 5
可积， 即要求

f (t) dt
19
第2章 连续时间傅里叶变换
2.4.2
由非周期信号的傅里叶变换可知:
f (t) 1 F( j)e jtd
2
频谱函数F(jω )一般是复函数，可记为
F ( j ) F ( )e j ( )
习 惯 上 将 F(ω)~ω 的关 系 曲线称 为 非周期 信 号的幅 度 频 谱 (F(ω)并不是幅度!)，而将φ (ω)~ω 曲线称为相位频谱，它们都
n
Fn

1 T
T
f (t)e jntdt, n z
3
第2章 连续时间傅里叶变换
f
(t)

E
0
E
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
－T
来自百度文库
－
T 2
－τ
o 2
τ 2
T 2
T
图 2.2-1 周期矩形脉冲信号
2T t
4
第2章 连续时间傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
第2章 连续时间傅里叶变换
2.1 引言 2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 2.3 周期信号的频谱 2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 2.5 傅里叶变换的性质 2.6 周期信号的傅里叶变换 2.7 连续信号的抽样定理 2.8 连续系统的频域分析
1
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2.2
f
(t)

E
0
当t
2
当 T t , t T
2
22 2
f (t)
E
－T
－
T 2
－τ
o 2
τ 2
T 2
T
图 2.2-2 周期矩形脉冲信号
2T t
5
第2章 连续时间傅里叶变换 为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。
6
第2章 连续时间傅里叶变换
2.2.3 周期信号的频谱 周期信号的复振幅 Fn 一般为nΩ的复函数，因而描述其
特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称 为相位频谱。振幅频谱以ω 为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱 线图；相位频谱以ω 为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。
若信号的复振幅 为FnnΩ的实函数，其复振幅Fn与变量(nΩ)
的关系也可以用一个图绘出。
7
第2章 连续时间傅里叶变换
取样函数定义为
Sa(x) sin x x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时， Sa(kπ)=0。
据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
Fn

E
T
Sa
n
2

8
第2章 连续时间傅里叶变换
是ω 的连续函数。
20
第2章 连续时间傅里叶变换
2.3.3 周期信号的功率
周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而 周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1Ω 电阻 上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信
号f(t)， 无论它是电压信号还是电流信号，其平均功率均为
P 1 T
T
2 T
f 2(t)dt
2

f (t) Fne jnt
Fn趋于无穷小量，但
Fn
T
可2望Fn趋于有限值，且为一

个连续函数，通常记为F(jω)，即
18
第2章 连续时间傅里叶变换
f (t) lim Fn e jnt 1 F ( j )e jtd
T n
2
非周期信号的傅里叶变换可简记为
一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对
Sa(x) 1
－3 －2
－ o

2 3
x
图 2.2-3 Sa(x)函数的波形 9
第2章 连续时间傅里叶变换
Fn
E
T
2 4

o 3

图 2.3-4 周期矩形脉冲信号的频谱 10
第2章 连续时间傅里叶变换 由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特 点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱 线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。