第五章 特征值估计及对称矩阵的极性-1

三,广义特征值分解算法
3. GEVD的总体最小二乘算法: 步一,对阵A进行SVD: A=U∑VH≈U1∑1V1H , 其中∑1是的主奇异值阵; 步 二 , 把 A-λB 左 乘 U1H 并 右 乘 V1 , 得 ∑ 1λU1HBV1 , 从 而 转 化 成 新 的 矩 阵 束 (∑1 , λU1HBV1)的GEVD问题. 该方法适合于有噪情况下的主特征对的计算. 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8 参见张贤达的《矩阵分析与应用》的第8.8节.
Api=λipiR(pi)=λi.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
推论1:在S上p1和pn分别是R(x)的一个极小点和极 大点,即R(p1)=λ1,R(pn)=λn 推论2 若λ1=…=λk (1≤k≤n).则在||x||2=l上R(x)的所 有极小点为[p1,…,pk]β,||β||2=1. 定理:设x∈L(pr,…,ps) , 1≤r≤s≤n ,则有 ∈ ≤≤≤ minxR(x)=λr,maxxR(x)=λs Courant-Fischer定理:设实对称矩阵A的特征值按升 序排列,则A的第k个特征值λk=minVkmax{xTAx |x∈Vk, || x||2=1},其中Vk是Rn的任意—个k维子空间 ,1<k<n.
2.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
性 质 3 x∈L(x0)( x0≠0) 时 , R(x) 是 一 常 数. 性质4 R(x)的最大值和最小值存在,且能 够在单位球面S={x|x∈Rn,||x||2=1}上达到. 证: S 是闭集,在 S 上 R(x)=xTAx 连续,所 以必有 x1 , x2∈S ,使得 minx∈SR(x)=R(x1) , n maxx∈SR(x)=R(x2) ; 任 取 0≠y∈R , 令 y0=Ν(y) , 则 y0∈S , 根 据 性 质 3 , 有 R(y)=R(y0),从而R(x1)≤R(y)≤R(x2).
三,扰动理论中的特征值估计
3.定理 定理:设A=PDP-1∈Cn×n ,D=diag(λ1,…,λn), 定理 则对单调范数||||和A+Q的任一特征值, 恒有mini|λi-|≤||P-1QP|| 4.定理: 设A=PDP-1∈Cn×n,D=diag(λ1,…,λn), 定理: 定理 对任何单调范数||||,若λ和x (||x ||v=1)满足 ||Ax-λx||v≤ε :那么必有mini|λi-λ|≤ε||P-1||||P|| 其中,||x ||v表示与||||相容的一种向量选取的一般方法是:观察A的n个盖尔圆, 欲使第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些, 就取αi>1(或αi<1).而取其它正数=1. 此时,B=DAD-1的第i个盖尔圆的半径变大 (或小),而B的其余盖尔圆的半径相对变 小(或变大). 但是,这种隔离矩阵特征值的办法还不能 用于任意的具有互异特征值的矩阵.比如 主对角线上有相同元素的矩阵. 如果矩阵A按行(列)严格对角占优,则 detA≠0.
二,特征向量的共轭性
三,广义特征值分解算法
1. 正则矩阵束: A和B都是Hermite阵, 且B正定. 2. 正则矩阵束同时对角化定理:若 λ 1 , λ2,…,λn是正则矩阵束(A, B)的广义 特征值,则 (1) 存 在 广 义 特 征 变 换 阵 X , 使 得 XHBX=I 和 XHAX=∧ , 等 价 地 , XHBX=I和AX=BX∧; (2)所有广义特征值都是实数.
一,特征值的界
6.定义 设A=(aij)∈Cn×n,记Rr=∑s≠r|ars|,r=1,…,n, 定义 如果|arr|>Rr (r=1,…,n),则称矩阵A按行 按行 严格对角占优;如果|arr|≥Rr (r=1,…,n), 严格对角占优 且有l≤ro≤ ≤ ≤n,使得|aroro|>Rro成立,则称矩阵A 按行(弱 对角占优 对角占优. 按行 弱)对角占优 7. 定义 设A∈Cn×n,如果AT按行严格对角占优, T 则称 A 按列严格对角占优 按列严格对角占优;如果 A 按行 ( 弱 ) 对角占优,则称A按列(弱)对角占优 对角占优.
第五章 特征值估计及极性
知识要点: 知识要点: 特征值的估计 特征值的估计; 广义特征值问题 广义特征值问题; 特征值的极小极大原理 特征值的极小极大原理; 特征值和奇异值的扰动; 特征值和奇异值的扰动; 广义特征值分析的应用. 广义特征值分析的应用.
§5.1特征值的估计 特征值的估计
一,特征值的界 : 1.定理 设A=(aij)∈Rn×n ,若 λ 表示A的任一 定理 特征值,则|Im(λ)|≤M[0.5n(n-1)]0.5 ,其中 M=max{0.5|aij-aji|} . 2.推论 实对称矩阵的特征值都是实数. 推论 证 当A为实对称矩阵时,M=0.由定理可 得Im(λ)=0.即λ为实数. 3.引理 设B∈Cn×n,单位列向量y∈Cn,则 引理 ||y||B2 ≤ ||B||m∞=nmax|bij|
Courant-Fischer定理的证明 的证明
构造Rn的子空间Wk=L(pk,…,pn) ,则 dimWk=n-k+1.由于Vk+Wk Rn,所以 n≥dim(Vk+Wk)=dim(Vk)+dim(Wk)dim(Vk∩Wk)=n+1-dim(Vk∩Wk)dim(Vk∩Wk) ≥1,故存在x0=[pk,…,pn]β∈Vk∩Wk,||β||2=1 满足||x0||2=1使得xTAx=βT∧β ≥λk,即 max{xTAx |x∈Vk, || x||2=1}≥λk 令Vk=L(p1,…,pk) ,取x =[pk,…,pn]γ∈Vk满 足||x||2=l,则有xTAx≤λk,即 max{xTAx|x∈Vk, || x||2=1}≤λk
三,扰动理论中的特征值估计
1.定理 设A=PDP-1∈Cn×n ,D=diag(λ1,…,λn), 定理: 定理 Q∈Cn×n,且A+Q的特征值1,…, n,则对任一j, 存在着λi使得|λi-j|≤||PQP-1||∞ .如果λi是一 个重数为m的特征值,且圆盘Si ={z||z-λi|≤ ||P-1QP||∞ }和圆盘 Sk={z||z-λk|≤||P-1QP||∞ } ≤ (λi≠λk)不相交,则Si正好包含着A+Q的m个特征 值. 2.定义 Cn×n上的一个矩阵范数||||,如果对任一对 定义: 定义 角矩阵D=diag(λ1,…,λn)满足||D||=maxi|λi|,则称它 是单调 绝对 单调(或绝对 单调 绝对)的.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
实对称矩阵A的特征值(都是实数)按其大小升 序排列:λ1≤λ2≤…≤λn,对应的标准正交特征 向量系设为P=[p1,…,pn],则有
定理:设A为实对称矩阵,则minx∈SR(x)=λ1
,maxx∈SR(x)=λn 证:任取x∈S,则x=Pc, ||c||=1, Ax=APc=P∧c R(x)=xTAx=cT∧cλ1≤R(x)≤λn,
一,特征值的界
4. 定理 设A∈Cn×n,则A的任一特征值λ 满足 |λ|≤||A||m∞, |Re(λ)|≤0.5||A+AH||m∞, |Im(λ)|≤ 0.5||A-AH||m∞.(该虚部模上界更优) 5. 推论 Hermite矩阵的特征值都是实数,反 Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数. 证 由4.知,当A为Hermite阵时,Im(λ)=0,即λ 为实数;当A为反Hermite阵时,Re(λ)=0,即 λ为零或纯虚数.
§5.2 广义特征值问题
定义 称Ax=λBx的特征值问题为矩阵 相 定义: 矩阵A相 矩阵 对于矩阵B的广义特征值问题 的广义特征值问题,称数λ为矩 对于矩阵 的广义特征值问题 矩 相对于矩阵B的特征值 阵A相对于矩阵 的特征值 相对于矩阵 的特征值;而与λ相对应 的非零解x称之为属于λ的特征向量 属于 的特征向量. 广义特征值由det(A-λB)=0的根给出. 一,广义特征值问题的等价形式 1. 等价形式1:B可逆时B-1Ax=λx,等价地化 为非对称阵B-1A的普通特征值问题. 2. 等价形式2:B正定时B =GGT使得Sy=λy, 其中y=GTx, 对称阵S=G-1AG-T.等价地转 化为对称矩阵S的普通特征值问题
二,特征值的包含区域
由两个或两个以上的盖尔圆构成的连通 部分,可能在其中的一个盖尔圆中有两 个或两个以上的特征值,而在另外的一 个或几个盖尔圆中没有特征值. 若将Ri改作ri=∑j≠i(|aij|αi/αj) ,则两个盖尔 定理仍然成立,其中αi都是正数. 适当选取这些正数,可以获得只含A的一 个特征值的孤立盖尔圆.
一,特征值的界
8.定理 设A=(aij)∈Cn×n,令Mr=|arr|+∑s>r|ars|, 定理 mr=|arr|-∑s≤r|ars| ,若A按行严格对角占优,则 0<∏r=1,…,nmr≤|detA|=∏r=1,…,n|λr(A)|≤∏r=1,…,n Mr , 且当ars=0(s>r)时,式中等号成立. 模最小 特征值的上界min(|λ(A)|)≤(∏rMr)1/n 9.定理 设A=(aij)∈Cn×n,则|detA|≤[∏s(∑r|ars|2)] 0.5 . 定理 10.定理 设A=(aij)∈Cn×n的特征值为λ1,…,λn,则 定理 ∑r| λr|2 ≤||A||F2 ,式中等号成立的充要条件是 A为正规矩阵.
1. 在等价的普通特征值问题Sy=λy中,特征 向量系y1,…, yn是完备的标准正交的. 令 xj=G - Tyj , j=1, 2, …, n , 则 有 xiTBxj=xiTGGTxj=(GTxi)T(GTxj )=yiTyj=δij,向 量系x1,…,xn称为按B标准正交化向量系. 标准正交化向量系. 按 标准正交化向量系 2. 按B标准正交化向量系 标准正交化向量系的性质: 标准正交化向量系 性质1 xj≠0 (j=1, 2, …, n) (j=1,…,n); 性质2 x1,…, xn线性无关.
§5.3 对称矩阵特征值的极性
1. 一,实对称矩阵的Rayleigh商的极性 定义:设A是n阶实对称矩阵,x∈Rn.称 R(x)=(xTAx)/(xTx) , x≠0 为 矩 阵 A 的 Rayleigh商. Rayleigh商的性质: 性质1 R(x)是x的连续函数. 性质2 R(x)是x的零次齐次函数.即,对 任意的实数λ≠0,有R(λx)=R(x)=λ0R(x)
隔离矩阵A= 例: 隔离矩阵
的特征值.
A的3个盖尔圆为G1: |z-20|≤5.8,G2: |z-10|≤5,G3: |z-10j|≤3.G1与G2相交;而G3孤立,其中恰好有A的一 个特征值,记作λ3 (见左图).选取D=diag(1,1,2), 则B=DAD-1的三个盖尔圆为G1': |z-20|≤5.4,G2': |z10|≤4.5,G3': |z-10j|≤6.易见,这是3个孤立的盖尔圆, 每个盖尔圆中恰好有B的(也是A的)一个特征值(见右 图).
正则矩阵束的GEVD算法 算法 正则矩阵束的
等 价 性 : XHBX=I 和 AX=BX∧XHAX= XHBX∧=∧ ; 反 之 , XHBX=I 和 XHAX=∧ XHAX=XHBX∧AX=BX∧. 步 一 , 对 正 定 Hermite 阵 B 进 行 EVD : B=UBH∧BUB;令Y=UB∧B-0.5 ,则YHBY=I和 A=YHAY是Hermite阵; 步 二 , 计 算 A=YHAY , 对 它 进 行 EVD : A=UAH∧AUA; 步三,令X=YUAH=UB∧B-0.5UAH ,则XHBX=I和 XHAX=∧=∧A且广义特征值阵∧是实阵.
二,特征值的包含区域
1. 定义 设A=(aij)∈Cn×n,称区域Gi:|z-aii|≤Ri 为矩阵 A 的第 i 个盖尔圆 第 个盖尔圆,其中 Ri=∑j≠i|aij| 称为盖尔圆Gi的半径(i=l,…,n) . 盖尔圆 2. 定理 矩阵 A=(aij)∈Cn×n 的一切特征值都 在它的n个盖尔圆的并集之内. 3.定理 由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通 定理 部分中任取一个,如果它是由k个盖尔圆 构成的,则在这个连通部分中有且仅有A 的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数.特 征但相同时也重复计数)..