第六章 图与网络分析

例：求从s到t的最小费用最大流 cij ,bij 其中弧旁的数字为
v1
5, 8
4,9
t
2 3,
s
8, 7
2,5
8,4
v2
10,9
v3
4-1 网络最大流的有关概念
（）容量限制0 f vi ,v j C vi ,v j 1 6、可行流：满足下列条 件的流 （ ）中间点平衡 f vi ,v j f v j ,vi 0i s ,t 2 所谓求网络最大流就是 指满足容量限制的条件 和中间点 的平衡条件下，使 到t的流量v f 值最大. s
A 2 S 4 C 4 5 2 B 1 3 E 5 1 7 D 5 T 7
一般来说，就是从给定的网络图中找出任 意两点之间距离最短的一条路。在实际问 题中，权数可以是时间、费用等。 选址问题、管路铺设选线，设备更新、投 资、某些整数规划问题也可以归结为求最 短路的问题。 求最短路有两种算法，一种是从某一点至 其他各点之间最短距离的狄克斯屈拉算法， 另一种是求网络图上任意两点之间最短距 离的矩阵算法。
若其中各边e1 , e2 , ek 互不相同，且任意 i ,t 1和vit 2 t k v
Hale Waihona Puke Baidu
如果链中所有的顶点 0 , v1 , vk 也不相同，这样的链称 v 为路. 对起点和终点重合的路 称作回路. 若在一个图中，如果每 一对顶点之间至少存在 一条链，称 这样的图为连通图 .
完全图，偶图

3 最短路问题
3-1 Dijkstra算法

基本思路：假定 v1 v2 v3 v4 ，是 v1 v4 的 最短路，则 v1 v2 v3 一定是 v2 v4 的最短 路， v2 v3 v4 一定是 v1 v3 的最短路。
v5
v1
v2
v3
v4
步骤：用 dij 表示图中两相邻点i，j的距离，

次，奇点，偶点，孤立点
某一个点vi 相关联的边的数目称为 v i的次.记作dv i 点 次为奇数的点称作奇点 ，次为偶数的点称作偶 点， 次数为0的点称作孤立点 .

链，圈，路，回路，连通图
图中有些点和边的交替 序列， v0 ,e1 ,v1 , ,ek ,vk 均相邻，称为链.
√ √
√
2、树图和图的最小部分树

树图：无圈的连通图。
2-1 树的性质： 1）任何树中必存在次为1的点。 2）具有n个顶点的树的边数恰好是n-1条； 3）任何具有n个点，n-1条边的连通图是树 图。


2-2 图的最小部分树 定理1 图中任意一个点 i ，若j是与i相邻点中距 离最近的，则边[i,j]一定必含在该图的最小部分 树内。 推论 把图的所有点分成V和 V 两个集合，则两 个集合之间连线的最短边一定包含在最小部分树 内。
割和流量

所谓割就是指将容量网络中的发点和收点 分割开，并使s到t的流中断的一组弧的集合。

最大流最小割定理：在网络中s到t的最大流 量等于它的最小割集的容量。
标号法求网络最大流问题步骤
大允许调整值； 为发点，不限调整量， s . s 故 二、列出与已标号点相 邻的所有未标号点
一、从发点s标号0， s ，括号中第一个数字是 使这个点 得到标号的前一个点的 代号，因s是发点，故记为 ，括号 0
图G1 1 , E1和图G2 2 , E2 V V ，如果有V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图；若有 1 V2 , E1 E2，称G1是G2的 V 部分图.
v1
e4
e2
e3
v2
e6
v3 e7
e8
v2
e6
e4
v3
e8
e7
v4
（a）
v5
v4
（b）
v5


例 求该图中从 v1 到
v2
5 2
v7 的最短路.
7
v5
6 3 1 6
v1
2
v4
7 2 4
v7
v3
v6
4 网络最大流
网络最大流的概念 标号法求网络的最大流

4-1 网络最大流的有关概念
1、有向图：图上连线有 规定的指向的图叫有向 图；这个有 方向的连线叫做弧有向图是弧与点的集合 . ，记作DV，A. 称为该弧的容量记作Cij . 3、发点、收点、中间点 ：在网络图中规定一个 起点即发点S， 一个终点即收点 .既非发点又非收点的点 t 叫中间点. 5、流：加在网络图各条 弧上的一组负载叫流对加在弧vi ,v j . 上的负载记作 ij .若网络上所有 ij 0,则称这个流为零流 f f . 4、网络最大流：网络中 从发电到收点之间允许 通过的最大流量 . 2、容量网络：指对网络 上每条弧都给出一个最 大的通过能力，
若i与j不相邻，则 dij ,显然dii 0
（）从s点出发，因Lss 0，则将此值标在 旁的小方框内， 1 s 表示s点已标号. （ ）从s1点出发，找出与 相邻的点中距离最小的 2 s 一个，设为 r，则将Lsr Lss d sr 的值标在r旁的小方框内，表示 已标号. r （）从已标号的点出发， 3 找出与这些点相邻的所 有未标号的 点P，若有Lsp m inLss d sp , Lsr d rp ,则对P点标号，并将 sp L 的值标在P旁的小方框内 . （ ）重复（），直到t点得到标号. 4 3
（）如果某未标号点 有两个以上相邻的标号 3 k 点，为减少迭代 次数，可按（ 2 1 ）（）中所述规则分别算出 k ，取其中最大 一个标记. 三、重复第二步 （）标号中断，t得不到标号，说明该网 1 络中不存在增广链， 给定的流量即为最大流 .已标号点记为V，未标号点记为 V （ ）t得到标号，用反追踪法 2 找出一条从s到t的由标号点组成 的增广链. 四、修改流量，设原图 可行流为f，令 f t 对所有前向弧 f f t 对所有后向弧 f非增广链上的弧
例1 有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参 加A、B、C、D、E、F六个项目的比赛，表6-1中 打√的是各运动员报名参加的比赛项目，问六个项 目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员都不连 续地参加两项比赛。
A B √ √ C D E F
表6-1
甲 乙 丙 丁 戊 己
√ √ √ √
√ √
√
√
√ √ √
中第二个数字 s 表示从上一个标号到这 个标号点流量的最
（）考虑从标号i出发的弧i，j 1 ，如果f ij cij , 不给点j标号； （ ）考虑所有指向标号点的弧h ,i 2 i ，如果f hi 0，对h点不标号 若f ij cij ,则对点j标号.
若f hi 0，则对点h标号，记为i， h ,其中 h m in i f hi ，
第六章 图与网络分析
1、图的基本概念与模型

图：用点表示对象，用边表示这些对象的联系。则 图可以定义为点和边的集合。记作
G , E V
与点的位置、线的长度和斜率无关，只与图中点的个数与 哪些点之间有联线有关。

网络图：给图中的点和边赋以具体的含义和权数， 这样的图叫网络图。记作N

2-3

破圈法
从网络图N中任取一回路，去掉这个回路中 权数最大的一条边，得到N2，如此继续下 去，一直到剩下的子图中不再含有回路为 止，该子图就是N的最小部分树。

例如图6-6，SABCDET代表村镇，它们之间的 连线表明各村镇间现有道路交通情况，连线旁的 数字代表道路的长度，现要求沿图中道路架设电 线，要使上述村镇全部通上电，应如何架设使总 的线路长度最短。
4-1 网络最大流的有关概念
7、饱和弧、非饱和弧、 零流弧、非零流弧：若 给一个可行流 f f ij ，我们把网络中使 ij cij的弧称为饱和弧；使ij cij f f 的弧称为非饱和弧；使ij 0的弧称为零流弧；使ij 0的弧 f f 称为非零流弧. 8、前向弧、后向弧：我 们定义链的方向为从 s到vt，则弧的 v 方向与链的方向一致的 叫前向弧，记作 ；与链方向相反的 叫做后向弧，记作 . 9、增广链：设f是一个可行流， 是从vs到vt的一条链，若 满足下列条件，称为增 广链. 在弧vi , v j 上， f ij cij ,即 上每一弧是非饱和弧； 0 在弧vi ,v j _ 上， f ij cij ,即 上每一弧室非零弧 0 .
一个简单图中若任意两 点之间均有边相连，称 这样的图为 完全图. 如果图的顶点能分成两 个互不相交的非空集合 1和V2，使 V 在同一集合中任意两个 顶点均不相邻，称这样 的图为偶图. 如果偶图的顶点集合 1、V2 之间的每一对不同顶点 V 都有一 条边相连，称这样的图 为完全偶图.

子图，部分图
端点、关联边、相邻 若有边e可表示为e vi ,v j , 称vi 和v j 是边e的端点，
反之称边e为点vi 和v j的关联边
若点vi、v j与同一条边关联，称点 i 和v j 相邻； v 若边ei 和e j 具有公共的端点，称边 i 和e j 相邻. e

环，多重边，简单图
如果边e的两个端点相重，称该 边为环. 如果两个点之间的边多 于一条，称为具有多重 . 边 对无环、无多重边的图 成为简单图 .
标号法求网络最大流问题步骤
求s到t的最大流
v1
8（ 8）
5(4) 9（4）
v3
5） 5（
2(
s
5） 7（
0)
6（1）
t
8） 10（
v2
9（9）
v4
（4，3）
（ 3， 3）
（5 ，3 ）
（3，0）
（1，1）
（ 1， 1）
5， （ 1）
1） 2， （
（2，2）
5、最小费用最大流问题解题步骤
1、从零流f 0 开始，f 0 是可行流，也是相应的 流量为零时的费用最小 ； 2、对可行流f k 构造加权网络w（f k），方法是 bij ,若f ij cij 正向弧：w , 若f ij cij bij ,若f ij 0 逆向弧：w , 若f ij 0 3、在加权网络图 （f k）中寻找费用最小的增 w 广链，即求s t 的最短路.并将该增广链上的流量 调整到允许的最大值， 得到 一个新的流量f k （ f k） 1 调整值 m in[m in cij f ij( k 1 ) , m in( f ij( k 1 ) )] （ f ijk 1 , k 1 f ij f ij , k 1 f ij ,其他 4、重复第2、步，直到在网络 （f k m）中找不到增广链 f k m 3 w . 即为最小费用最大流 .
2-3

避圈法
（1）从图中任选一点 vi ，让 vi V，图中其余点均包含 在 V 中； （2）从V与 V 的连线中找出最小边，这条边一定包含在 最小部分树内，不妨设最小边为 v，v j ，将 v，v j 加粗 i i 以标记是最小部分树内的边； （3）令 V vi V ， \ vi V V （4）重复步骤2、3两步，一直到图中所有点均包含在V 中为止。