推移质平衡输沙率公式研究(水利学报)

推移质平衡输沙率公式研究

孟 震，陈 槐，李丹勋，王兴奎

（清华大学，水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，北京 100084）

摘要：以单位时间内单颗粒泥沙的交换次数代替交换时间，基于颗粒受力平衡推导了推移质颗粒的平均运动速度，结合Bagnold 水流功率和Einstein 起动概率的基本概念，推导了一个推移质平衡输沙率公式。该公式的系数在临界起动时较小，但随水流强度的增加而增大，从而协调了诸如Meyer-Peter 、Einstein 、Bagnold 、Yalin 及Engelund 等经典公式难以兼顾低强度和高强度输沙率计算的问题。利用经典文献的推移质输沙率数据进行检验计算，结果表明，与上述五家公式对比，本文公式具有较高的精度。 关 键 词：推移质输沙； 起动条件； 起动概率 中图分类号：TV 142 文献标识码：A

1 引言

根据钱宁对推移质平衡输沙率研究方法的总结[1]，欧美学派的推移质输沙率研究方法主要有4种：① 根据试验数据，增减或优化各种可能性的输沙因子，如Meyer-Peter 公式；② 基于物理学基本概念，辅以力学分析等，如Bagnold 公式；③ 采用概率论和力学相结合，如Einstein 公式；④ 借鉴Einstein 和Bagnold 的某些概念为基础，辅以量纲分析、理论推理及实测资料率定等，如Engelund 和Yalin 公式等。

一般地，可将Meyer-Peter 、Bagnold 、Yalin 及Engelund 四家推移质输沙公式转化同样的无量纲单宽推移质输沙强度Φ与无量纲水流强度Θ和起动条件c Θ之间的函数关系，即：

(,)c f Φ=ΘΘ （1）

这里，2*()s u D ργγΦ=

Θ=-，其中，b g 为推移质单宽输沙率，γ为水流容重，s

γ为泥沙容重，g 为重力加速度，D 为泥沙粒径，ρ为水流密度，*u 为水流摩阻流速，c Θ为泥沙起动条件。

Soulsby 也建立了类似公式，

即)c Φ=Θ-Θ，原作者取=0.05c Θ，根据实测资料率定出K 介于8到12之间，当水流强度Θ较小时，K 值取8为佳，当水流强度Θ较大时，K 值取12为佳[2]。

陆永军也建立了类似Engelund 公式形式的非均匀沙输沙率公式，其公式中系数K 也存在类似的变化规律[3]。本文将要讨论的Meyer-Peter 公式（系数K=8）和Engelund 公式（系数K=11.6）也体现了这种现象[4]。钱宁的研究表明，Meyer-Peter 、Einstein 、Bagnold 、Yalin 及Engelund 等公式在低强度输沙时，输沙强度Φ对水流强度Θ非常敏感，而在高强度输沙时，各家公式又比较分散。其中，Meyer-Peter 公式和Einstein 公式计算高强度输沙时偏小，Bagnold 公式计算高强度输沙时偏大，Yalin 公式计算低强度输沙时偏小，Engelund 公式虽然比较受推崇，但该公式在推导过程中存在一定的缺陷[5]。曲兆松的研究表明，对于我国西南地区床沙部分可动部分不动的推移质输沙计算而言，Einstein 公式计算值与实际值吻合良好，而Meyer-Peter 、Bagnold 、Yalin 及Engelund 公式计算的推移质输沙

收稿日期：2014-9-23； 修订日期：2014-11-23

基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51279081）；国家科技支撑计划资助项目（2012BAB04B01） 作者简介：孟震（1985-），男，河南省宁陵县人，博士研究生，主要从事水力学及河流动力学方面研究。 E-mail ：edison9981@

率明显偏小[6]。受公式结构的影响，上述四家公式中的泥沙起动条件c Θ只能在0.047左右取值，取值偏大，同时也无法计算0.047Θ<条件下的超低输沙率。

对于Meyer-Peter 、Einstein 、Bagnold 、Yalin 及Engelund 等五家推移质公式，除Einstein 公式没有采用泥沙起动条件外，其余四家公式均使用了泥沙起动条件，本文的研究方法是基于Bagnold 水流功率和Einstein 起动概率的基本概念，重新建立一个泥沙输移物理图景进行公式推导，探讨上述五家推移质公式难以兼顾低强度输沙和高强度输沙计算的问题。

2 推移质输沙公式建立

2.1水流功率

根据Bagnold 的水流功率理论[1]，以水下重量计的单宽推移质输沙率b

g '可表示为单位面积床面上推移质的水下重量b W '乘以推移质平均运动速度b u ，再转化为干沙重即得到单宽推移质输沙率b g 的雏形，即：

=s s b b

b b s s g g W u γγγγ

γγ

''=

-- （2）

Yalin 公式和Engelund 公式均是在式（2）的基础上推导得到的[1]，本文亦是如此，公式（2）的

核心问题在于如何推求b W '和b u 的表达式。

根据Einstein 的假定[1]，设1A ，2A 分别是单颗粒泥沙的投影面积系数和体积系数，则单位面积

床面上泥沙颗粒的数目为211

A D ，其水下重量为322

1()s A D A D γγ-。单颗粒泥沙起动是一个随机事件，且

该事件需要在一个交换时间t ∆时间内完成，令该事件在t ∆内发生的概率为p ，于是在时间t ∆内单位

面积床面上将有水下重量为3

22

1()

s A D p A D γγ-的泥沙被冲刷外移，同时被冲刷外移泥沙的位置被相同数量的从上游沉降下来的泥沙取代，保持泥沙冲刷量和淤积量相等，这也就是推移质平衡输沙的过程。

t ∆的物理含义是单颗粒泥沙从床面上被冲刷起所需要的时间[1]

，但是目前还没有明确的数学表

达式可以量化这一物理量，一般取=t ξ∆*=D t u ε∆，这里的ξ和ε为交换时间修正系

数[7]。设单颗粒泥沙起动的随机事件在单位时间内发生了M 次（或称交换次数），即1

=

M t

∆，可以推断：当水流强度趋于起动条件c Θ时，M =0；水流强度Θ越大，交换次数M 越多；可以合理地假定，

在单位时间内单颗粒泥沙的交换次数：

(

1)c

M m Θ

=-Θ (3) 这里，m 为单位时间内床面上单颗粒泥沙交换次数修正系数。

则在单位时间内单位面积床面上的泥沙颗粒被冲刷外移的水下重量b W '为：

3222

11=()(1)()b s s c A D mA W M p Dp A A D γγγγΘ

'-=--Θ (4)

2.2 Einstein 起动概率

Einstein 认为单颗粒泥沙起动这一随机事件所发生的概率p 为在t ∆内水流上举力大于泥沙颗粒水下重力的或然率，在假设水流上举力的分布遵循正常误差定律的基础上，得到了泥沙起动概率p 的计算式[1] ，即：

2

*0

*0

111e B t B p dt ηηΘ---Θ-= (5)