统计学第七章参数估计
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1. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
说明：
1 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定 的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间 是否包含总体参数的真值
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ )
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ 2 的抽样分布
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来 越接近被估计的总体参数
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
ˆ
7.2 一个总体参数的区间估 计
第 7 章 参数估计
7.1 7.2 7.3 7.4
参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定
学习目标
1. 1、估计量与估计值的概念 2. 2、点估计与区间估计的区别 3. 3、评价估计量优良性的标准 4. 4、一个总体参数的区间估计方法 5. 5、两个总体参数的区间估计方法 6. 6、样本容量的确定方法
点估计和区间估计
点估计 (point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的
估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、最大似然法、最小二乘法 等
区间估计
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间
为
xz2 n或 xz2
s (未)知
n
总体均值的区间估计
(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量
质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
这意味着，
P（ X －1.96≤ ≤ X ＋1.96）=0.95
上式说明，如果抽取100个样本来估计均值，由 100个样本均值所构造的100个区间中，约有95 个区间包含总体的均值。
区间估计的图示
- 2.58x
x
-1.65 x
+1.65x +2.58x
-1.96x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信区间
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间
区间估计
(interval estimate)
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
置信水平
➢ 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含 总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平
2.如果用95%的置信区间得到的某班的学生考试成绩 的置信区间是（60，80）。
不可以说（60，80）这个区间以95%的概率包含 全班学生平均考试成绩的真值。
三、评价估计量的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的 总体参数
P(ˆ )
无偏
A
有偏
B
ˆ
有效性
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真
值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
百度文库
x
/2
1–
/2
x
x =
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
点估计值
置信区间
(95%的置信区间)
重复构造出的20个置信区间
置信区间
(confidence interval)
参数估计在统计方法中的地位
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
7.1 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
估计值
估计量与
参数估计： (estimator & estimated v用al样u本e统) 计量去估计总体的参数。
请参见下图：
总体
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比率、方差
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的统计量
如样本均值，样本比率、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 表示ˆ
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
， X ～N(μ,σ2/n)。
由正态分布的3 原则：
P（－ X≤ P（－2 X≤
P（－3≤X
≤ ＋）=0.6827 ≤ ＋2）=0.9545 ≤ ＋3）=0.9973
实际上，我们可以求出 X 落在总体均值的两侧
任何倍数的标准误差范围内的概率。
例如，
P（－1.96≤ X ≤ ＋1.96）=0.95
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量 101.0 103.0 102.0 107.5 95.0 108.8 123.5 102.0 101.6
95.4 97.8 108.6 102.8 101.5 98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
总体均值的区间估计
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比率 方差
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
一、总体均值的区间估计
(大样本)
假定条件
总体服从正态分布 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2.使用正态分布统计量 z
z = x ~N(0,1) n
(interval estimate)
➢在点估计的基础上，给出总体参数估 计的一个区间范围，该区间由样本统计 量加减抽样误差而得到的
➢根据样本统计量的抽样分布能够对样 本统计量与总体参数的接近程度给出一 个概率度量
区间估计的基本原
理 以总体均值的区间估计为例：
样本均值在重复抽样或无限总体抽样的情况下
为是总体参数未在区间内的比率 3. 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%
相应的 为0.01，0.05，0.10
置信区间
(confidence interval)
说明：
1 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定 的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间 是否包含总体参数的真值
(efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计
量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ )
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ 2 的抽样分布
ˆ
一致性
(consistency)
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来 越接近被估计的总体参数
P(ˆ ) 较大的样本容量
B
较小的样本容量
A
ˆ
7.2 一个总体参数的区间估 计
第 7 章 参数估计
7.1 7.2 7.3 7.4
参数估计的一般问题 一个总体参数的区间估计 两个总体参数的区间估计 样本容量的确定
学习目标
1. 1、估计量与估计值的概念 2. 2、点估计与区间估计的区别 3. 3、评价估计量优良性的标准 4. 4、一个总体参数的区间估计方法 5. 5、两个总体参数的区间估计方法 6. 6、样本容量的确定方法
点估计和区间估计
点估计 (point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
例如：用样本均值直接作为总体均值的估计 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的
估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
3. 点估计的方法有矩估计法、最大似然法、最小二乘法 等
区间估计
总体均值 在1- 置信水平下的置信区间
为
xz2 n或 xz2
s (未)知
n
总体均值的区间估计
(例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量
质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋 重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了 25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从 正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量 的置信区间，置信水平为95%
这意味着，
P（ X －1.96≤ ≤ X ＋1.96）=0.95
上式说明，如果抽取100个样本来估计均值，由 100个样本均值所构造的100个区间中，约有95 个区间包含总体的均值。
区间估计的图示
- 2.58x
x
-1.65 x
+1.65x +2.58x
-1.96x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
99% 的样本
置信区间
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为 置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正 的总体参数，所以给它取名为置信区间
区间估计
(interval estimate)
置信区间
样本统计量 (点估计)
置信下限
置信上限
置信水平
➢ 将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含 总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平
2.如果用95%的置信区间得到的某班的学生考试成绩 的置信区间是（60，80）。
不可以说（60，80）这个区间以95%的概率包含 全班学生平均考试成绩的真值。
三、评价估计量的标准
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的 总体参数
P(ˆ )
无偏
A
有偏
B
ˆ
有效性
(例题分析)
解：已知Ｘ~N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真
值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
置信区间与置信水平
样本均值的抽样分布
百度文库
x
/2
1–
/2
x
x =
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
点估计值
置信区间
(95%的置信区间)
重复构造出的20个置信区间
置信区间
(confidence interval)
参数估计在统计方法中的地位
• 统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
7.1 参数估计的一般问题
一、估计量与估计值 二、点估计与区间估计 三、评价估计量的标准
估计值
估计量与
参数估计： (estimator & estimated v用al样u本e统) 计量去估计总体的参数。
请参见下图：
总体
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比率、方差
估计量与估计值
(estimator & estimated value)
1. 估计量：用于估计总体参数的统计量
如样本均值，样本比率、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 表示ˆ
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值
， X ～N(μ,σ2/n)。
由正态分布的3 原则：
P（－ X≤ P（－2 X≤
P（－3≤X
≤ ＋）=0.6827 ≤ ＋2）=0.9545 ≤ ＋3）=0.9973
实际上，我们可以求出 X 落在总体均值的两侧
任何倍数的标准误差范围内的概率。
例如，
P（－1.96≤ X ≤ ＋1.96）=0.95
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
25袋食品的重量 101.0 103.0 102.0 107.5 95.0 108.8 123.5 102.0 101.6
95.4 97.8 108.6 102.8 101.5 98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
93.3
总体均值的区间估计
一、总体均值的区间估计 二、总体比率的区间估计 三、总体方差的区间估计
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比率 方差
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
一、总体均值的区间估计
(大样本)
假定条件
总体服从正态分布 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2.使用正态分布统计量 z
z = x ~N(0,1) n
(interval estimate)
➢在点估计的基础上，给出总体参数估 计的一个区间范围，该区间由样本统计 量加减抽样误差而得到的
➢根据样本统计量的抽样分布能够对样 本统计量与总体参数的接近程度给出一 个概率度量
区间估计的基本原
理 以总体均值的区间估计为例：
样本均值在重复抽样或无限总体抽样的情况下