材料力学--拉伸与压缩

9kN
A
15kN
B + 6kN C
10kN
D +
4kN
N 9kN
4kN
x
BC段：与AB段同面积，NBC <NAB ， BC < AB ；但[]铜<[]钢； CD段：与BC材料同, N小；面积ACD也小； CD可能大；
故各段均可能为危险截面，都需要校核。
若各段材料相同, 危险截面只有AB、CD段。 对拉、压许用应力不同的 材料，应分别考虑。
A
N A
2、圣维南原理：
法国科学家： Saint-Venant
作用于弹性体某一区域的外力系，可以用与它静力等 效的力系来代替，经过代替，只对原力系作用区域附近有 显著影响，但对较远处，其影响可不计。
N A
公式的应用条件：直杆、杆的截面无 突变、截面到载荷作用点有一定的距离。
b
P
P/2 P/2
例
杆1为钢杆， l1=2m，d=20mm，杆2为8号槽钢。 已知 [] =160MPa ，E=200GPa。 试校核托架强度，并求B点铅垂位移。
1 .2 m
P
B N1 N2
C
①

B
由几何关系得：
P
sin 0.8
1 .6 m
②
cos 0.6
解： 1、内力分析
X 0
A
N1 N 2 cos 0
材料力学
2016年12月21日
§3-1 轴向拉压的概念及实例
一、概念
轴向拉压：外力的合力作用线与直杆的轴线重合时，杆的主要 变形是轴向伸长或缩短，这样的变形称为轴向拉压变形。轴向 拉压杆的横向也将发生相应的变形。
轴向伸长，对应的力称为拉力。
轴向缩短，对应的力称为压力。 受力特点：外力作用线与直杆的轴线重合； 变形特点：杆件沿轴向伸长或缩短,沿横向缩小或扩大。
3 2 1 P
N1max
X 0
N1max W1 P 0
l1
N1max W1 P l1 A1 P
由强度条件: 1max
P A1 [ ] l1
2、第2、3部分
P l1 [ ] A1
N2max
x
P W1 A2 [ ] l2 P W1 W2 A3 [ ] l3
Nl 分析：1、 L ( )i i 1 EA N1l N 2l EA1 EA2
2、B点位移即为AB段变形
3P
②
2P C
A
l1
B
l2
3、各段纵向应变必先求各段变形
求变形必先求内力
例 已知：l1=l2=l=100mm，E=200GPa，P=400kN， A1=800mm2，A2=400mm2 求：① lABC ②B点截面的位移 ③各段纵向应变。
l l l 低碳钢料拉伸时载荷－变形曲线

1 2
3 d
4
1、弹性阶段 e 2、屈服阶段 3、强化阶段 4、颈缩断裂 阶段
b a
c

低碳钢拉伸应力—应变曲线
1、弹性阶段 ob 段

b a
e 弹性极限
比例阶段 oa 段
p 比例极限
= E
弹性常数：E
e
p

o

E tg
4
A
有几何关系可得： 水平位移： BB1 0.86mm
铅垂位移： B1B4 BB6 B5B6 1.56mm
§3-5 材料在拉伸与压缩时的机械性质
分析拉压杆件的强度和变形问题都涉及材料的机械 性能，如危险应力、弹性模量、泊松比。 机械性质—材料在外力作用下表现出来的与变形与破 坏有关的性质，也称为材料的力学性质。 拉伸试验是确定材料机械性能的基本试验。一般在 万能实验机上，对试件缓慢加载，记录作用在试件上的 拉力和试件的伸长量。
B1
解： 4、变形分析
A
例
杆1为钢杆， l1=2m，d=20mm，杆2为8号槽钢。 已知 [] =160MPa ，E=200GPa。 N1 45kN 试校核托架强度，并求B点铅垂位移。
1 .2 m
N 2 75kN
P
C
①
B2

B B6
B1
解： 4、变形分析
1 .6 m

②
N1l1 0.86mm B5 BC杆： l1 BB1 EA1 N 2 l2 0.73mm AB杆： l2 BB2 EA2 B
将工作应力限制在极限应力内，还不足以保证结构或 构件的安全。 ⑴主观设定的条件与客观实际之间存在着差距 a 力学分析的可能误差 包括载荷估计；分析、简化和计算误差；尺寸制造误差等。 b 材料强度指标的误差 包括实验误差，材料的固有分散性误差等。
c 不可预知的其他误差 制造损伤，工作与实验条件不同等。
2、屈服阶段 bc段 屈服现象

材料暂时失去抵抗变形的能力。
s: 屈服极限或屈服强度
b a c
s
e
p
o1o2:弹性应变e oo1 :塑性应变p
总应变
=e+p
滑移线
o
o1 o2

滑移线
3、强化阶段 cd段
材料又恢复了抵抗变形的能力。 要使它继续变形，必须增加应力。

k
b
d
b 强度极限
max = N / A []
2 截面设计 选定材料，已知构件所承受的载荷时，设计 满足强度要求的截面面积和尺寸。
A N / [ ]
3 确定许用载荷
已知构件的几何尺寸，许用应力，计算 结构或构件所能允许承受的最大载荷。
N A [ ]
例 图示杆中AB段为钢制， BC和CD为铜制。 AB段：轴力最大，AB大
b 不大于 h
h
P/A
h
b 结论 分布规 律相同 h<b
P
结论
P/2 P/2
圣维南原理成立
P/A
§3-3 拉压杆的强度计算
一、安全系数和许用应力
构件正常工作,要求:
＜ u
工作应力：构件在可能受到的 最大工作载荷作用下的应力。 (由力学分析计算得到) 失效应力：材料可以承受 的强度指标。(通过材料力 学性能的实验得到)
⑵构件需要有必要的强度储备 a 工作期间可能有意外的超载情况 b 不利的工作条件（温度变化，腐蚀等）
安全系数
[]=
u
n
(n＞1)
安全系数
许用应力
许用应力
构件安全工作时，允许达到的最大应力。
二、强度条件
max≤ []
或
max= N / A ≤ []
三、强度设计的三类问题
1 强度校核 对初步设计的构件，校核是否满足 强度条件。
冷作硬化 预应力钢筋
ac
s
e
b p 冷拉时效
o
P
o1
e
o2

4、颈缩断裂阶段
de段
颈缩现象

d
e
b ac
s
e
b p
？
e点为什么 下降？
o

5、塑性指标
l
A
A1 l1
延伸率 截面收 缩率
一、低碳钢拉伸时的机械性质
试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。 拉伸试件：标准试件
d0—圆试件直径 l0—试件的有效长度，标距 标距长度： l0=10d0 或5d0
A0—板试件的初始面积， A0=b×h
l0 / A0 11.3 or 5.65
P A
P
消除尺寸效应:
P
B N1 N2
C
①

B
查表：
P
A2 1024mm
1 .6 m
②
解： 2、应力分析
A
N1 4 45103 143MPa BC杆： 1 2 20 A1 N 2 75103 73.2 MPa AB杆： 2 1024 A2
3、强度分析
Y 0
P N 2 sin 0
得： N1 45kN （拉）
N 2 75kN（压）
例
杆1为钢杆， l1=2m，d=20mm，杆2为8号槽钢。 已知 [] =160MPa ，E=200GPa。 N1 45kN 试校核托架强度，并求B点铅垂位移。
1 .2 m
N 2 75kN
①
解：1、内力分析，作内力图 N2=2P N1=－P 2、变形计算 N1l1 Pl L1 E1 A1 EA1 400 103 100 10 3 200 109 800 10 6 0.25 103 m A
N
3P
②
2P C
l1
B
l2
2P
x P
N 2l2 2 Pl 2 400 103 100 10 3 3 L2 1 10 m 9 6 200 10 400 10 E2 A2 EA2
A
①
C
30 o
对于木杆2
B P
N2 []2 A2
3P [ ] 2 A2=7×106×10000×10-6
∴ P2 40.4×103 N= 40.4 kN 3)保证结构安全，杆1、2均需满足 强度要求
② N1 N2
30 o
B
Pmax min (P1, P2)
=40.4 kN
P
例 已知材料容重为，许用应力为[] 试选择各段杆的截面面积 A1、A2、A3。 l3 l2 解：1、第1部分
?
结构满足强度条件
例
杆1为钢杆， l1=2m，d=20mm，杆2为8号槽钢。 已知 [] =160MPa ，E=200GPa。 N1 45kN 试校核托架强度，并求B点铅垂位移。
1 .2 m
N 2 75kN
P
B
C
①
B2
1 .6 m
②
N1l1 0.86mm BC杆： l1 BB1 EA1 N 2 l2 0.73mm AB杆： l2 BB2 EA2 B3 B4
1
W2 l 2 A 2
W1 l 1 A1
2
P
同理
N1max W1 P
§3-4 轴向拉压杆的变形计算
一、纵向变形、虎克定律 L
P P L+L P P 纵向变形
L
PL L A PL L EA
NL N=P L EA
E—弹性模量
该式表述了弹性范围内杆件轴 力与纵向变形之间的线性关系，称 为胡克定律(Hooke’s law) 单位：N/m2，Pa
② N1 N2
30 o
B P
Y 0
N1 sin 30o P 0
（拉）
解得： N1 2 P
N2 3P （压）
2)由强度条件确定许用载荷: 对于钢杆1 N1 []1 A1
B
P
2P []1 A1 =160×106×600×10-6
∴ P1 48×103N= 48 kN
例
已知杆1为钢杆， l1=2m，A1=600mm2，[]1 =160MPa 杆2为木杆， A2=10000 mm2， []2=7MPa； 试确定结构许用载荷Pmax。
E
E
三、横向变形 泊松比
横向应变：

h h
或

b b

——泊松比
例 已知：l1=l2=l=100mm，E=200GPa，P=400kN， A1=800mm2，A2=400mm2 求：① lABC ②B点截面的位移
2
③各段纵向应变。
①
§3-2 横截面上的应力
1、拉压杆横截面上的应力 变形特点： P P 变形前两条直线ab，cd， 变形后仍保持为直线。 P 平面假定： 变形前的平面，变形后 仍是平面。 横截面应力： 横截面上的应力均匀分 布，即各点的正应力都相等。
a' a c c'
Pwenku.baidu.comP
b' b d d'
N
N dA A
例 已知：l1=l2=l=100mm，E=200GPa，P=400kN， A1=800mm2，A2=400mm2 求：① lABC ②B点截面的位移 ③各段纵向应变。
①
LABC L1 L2 0.25 103 1103 0.75 103 m 0.75mm
AB<[]拉 BC<[]压
例
已知杆1为钢杆， l1=2m，A1=600mm2，[]1 =160MPa 杆2为木杆， A2=10000 mm2， []2=7MPa； 试确定结构许用载荷Pmax。
A
①
C
30 o
解： 1、列平衡方程求各杆内力：
X 0
N 2 N1 cos30o 0
3、B截面位移
3P B
②
2P C
uB l1 0.25 10 m 0.25mm
3
A
l1
l2
即B截面左移0.25mm
4、各段应变 l1 0.25 AB 250 L1 100
BC
l2 1.0 1000 L2 100
不能
思考：1、C截面位移？ 右移0.75mm。 l ABC 2、可否求AC段总应变？ l1 l2
EA—抗拉压刚度
A3
A2 P2
A1 P1
NL L ( )i i 1 EA
n
P3
P
N ( x )dx L l EA( x )
二、正应变 应力—应变关系
l
b P P h h-h
P P l+l
l Nl N l EA l EA E
b-b