武汉理工大学工程力学B10章

74 74 cos120( 29)sin120 2 2
s 60°
t 60°
43.6(MPa )
s x s y t 60 sin2a t xy cos2a 2

74 sin120(29)cos120 2
t 60°
A
s 60°
46.5(MPa )
二、最大正应力和最小正应力
2 2
2
s x s y s x s y 2 2 s t t a a xy 2 2 2t xy tan2a 0 s x s y
2
2
ta
s3
s2
2a 0
s
x
,t xy
2a 0
s x s y ta sin 2a t xy cos 2a 2
[例7 ] 求圆杆表面 A点的主应力及主平面。已知：P=6.28kN，
m=47.1N· m，d=20mm。 P m
P
m
A
τ
T
N
τ
σ
σ
A
τ σ
τ P A P
t
m
m
σ
σ
A
τ σ
P P a) 解： s A 20(M
t T m3 Wt d
s
y
, t yx
s1 s a
两个驻点
2
ta 0
2
s x s y s x s y 2 s t a xy 2 2
s x s y ,0 圆心： 2
s x s y 2 2 s max s x s y 2 （ 2 ）t xy s min
τxy
sa
a
sx
τyx
ta
sy ds a 令: 0 , 得： s x s y sin 2a 2t xy cos2a 0 da 2t xy 切应力箭头所在象限就是最 tan2a 0 s x s y 大正应力所在象限。
由此得两个驻点:a 0和a 0
a0 ) (a 0 2
20 30° A 300 120 10 80
z
l
90kN
l
20
+
－ 90kN
135kNm
A
+
t
60°
s
x
s
[例5] 已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。 F 120 解：
20 30° A 300 10 80
z
I z 1.46108 ( mm 4 )
* Sz 4.65105 ( mm 3 )
sx
2、二向应力状态（Plane State of Stress）：
二个主应力不为零的应力状态。
s1
s2 3、三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： s2 s3 三个主应力都不为零的应力状态。 s1 s s3 s2
1
§10–2
二向和三向应力状态的实例
sy
txy t yx
a
s x s y s x s y sa cos2a t xy sin 2a 2 2
sa
a
sx
tyx
txy
sx
τxy
sy
sx
τyx
ta sy
sa是a的周期函数 ,周期为.
连续周期函数必有极值
二、最大正应力和最小正应力
s x s y s x s y sa cos2a t xy sin 2a 2 2
s3
s3
s1
低碳钢试件扭转时的屈服现象是材料沿横截面 产生滑移的结果，最后沿横截面断开，这说明低碳 钢扭转破坏是横截面上最大剪应力作用的结果即对 于低碳钢这种塑性材料来说，其抗剪能力小于抗拉 或抗压能力。铸铁试件扭转时，大约沿与轴线成螺 旋线断裂，说明是最大拉应力作用的结果。即对于 铸铁这种材料，其抗拉能力小于抗剪和抗压能力。
sx
t yx
a
n
sy
txy
sx
a
Fra Baidu bibliotek
tyx
txy
n
a
sx
tyx
sy
[例4] 求斜截面上的应力，单位MPa
30
30°
解：
30° 50
x
s x 50 , s y 30 , t xy 20 , a 30
s x s y s x s y s 30 cos2a t xy sin2a 2 2
t
n
由平衡得： Fn 0 ,
s a dA s x dAcos2a t xy dAcosa sina
s y dAsin 2 at yx dAsina cosa 0
s a s x cos 2 a t xy cosa sina s y sin 2a t yx sina cosa
l
l
20
M y s 74(MPa) Iz
t
60°
s
s
x
QSz* t 29(MPa) I zb
* Sz 10 70 115 20 120 160 ∴ s x 74 , s y 0 , t xy 29 , a 60
s x s y s x s y s 60 cos2a t xy sin2a 2 2
5030 5030 cos60 20sin60 2 2
20
sa ta
12.7(MPa)
s x s y 5030 t 30 sin2a t xy cos2a sin60 20cos60 2 2
44.6(MPa )
[例5] 已知：F=180kN，l=1.5m，求A点斜截面上的应力。 F
2 t xy t
tyx
s 1 t ，s 2 0 ，s 3 t
(2)主平面所在方位
s1
y
s3t
2t xy tan2a0 s x s y
2a 0 90
txy
s3
a 0 45
x
tyx
a 0 45
s1t
m m
铸铁扭转破坏
断口分析
s1
一、任意斜截面上的应力 已知：sx、sy、txy 、a 求：sa 、ta
tyx sx
sy sx txy sy
sy
txy
t yx
a
t xy
sa ta
sa ta
sx
tyx
txy
sx
sx
t yx
sy
sy
解：设斜截面面积为dA，
dAcosa
sa
ta
t xy sx
dA
dAsina
t yx sy
sa a ta
在单元体上画出主平面和主应力
s3 s1 s1
a0
s1
x
30 s
3
s3
切应力箭头所在象限就是最 大正应力所在象限。
50
20
s1
a0
x
s3
[例6] 分析受扭构件的应力状态。
m
A C
t yx
m A
解:(1)单元体如图所示
t xy
s x s y 0
t xy
y
(2)主应力
T t Wt
txy
x
s x s y 2 2 s max s x s y 2 （ 2 ）t xy s min

smax
smin
a0
smin
smax
s x s y s x s y sa cos2a t xy sin 2a 2 2
s x s y ta sin 2a t xy cos 2a 2
s x s y s x s y sa cos2a t xy sin 2a 2 2
2
tan2a 0 2t xy
s2smin
s1smax
s x s y
即：主应力就是最大或最小的正应力。
[例5] 求主应力大小和主平面方位，并在单元体上画出主平面 和主应力。单位MPa 解： s x 50 , s y 30 , t xy 20
30
s x s y 2 2 s max s x s y 2 （ 2 ）t xy s min
（2）应力分量
sx
sy sz
t xy t yz t zx t yx t zy t xz
sy
一点有六个独立的应力分量
tyzt
yx
sx
sz
tzx tzy txy
sy
txz
sz
sx
三、主平面、主应力： y sy sx
（1）主平面(Principal Plane)： 切应力为零的截面。
任意一点都可以找到三个相互垂直的主平面。
s
pD 4
D 2
4
D
s
s
s
l
s
l
s
l
s
l
l
s
p
s
s l 2 p Dl
pD s 2
p
s
pD 4 pD 2
s
l σ'' σ'' σ' l σ'' σ' σ''
s ''
p
s' s '' s'' s ''
s 1 s
s2 s
l
pD 2
s'
pD 4
[例4] 如图所示为承受内压的圆球形容器。容器所承受的 内压力为 p，容器直径D，壁厚。
F
p
s
半球上内压力的合力： 容器截面上的内力：
D 2 F p 4 N s D
s s s s
pD ∴ s 4
[例5] 画出图中各点的应力单元体。
5030 5030 2 （ ） 202 2 2 54.7 1044.7 34.7 ∴ s 1 54.7 MPa
50
x
20
2t xy tan2a 0 s x s y
220 5030
tan2a 0 0.5
s 2 0
s 3 34.7 MPa
2a 0 26.56 a 0 13.28 76.72 a0
P1 1 2 3 4 5 P2 q
Q
M
s M
Q
t
P1
1
P2
q
2 3 4 5
1 2
3 4 5
s
t max
t
s
s
1
s
s
1
P1
1
P2
q
1
2 3 4 5
s
1 2
3 4 5
s
t
t max
t
s
2
s
t
P1
1
P2
q
1
2 3 4 5
s
1 2
3 4 5
s
t
t max
t
3
t
P1
1
P2
q
1
2 3 4 5
s
1 2
3 4 5
s x s y 2 半径： t xy 2
2
三、主平面和主应力
令 ta =0 ， 可得主平面的方位：
s1 smax
s2 smin
a0
s x s y sin 2a t xy cos2a 由 ta 2 s x s y sin 2a t xy cos 2a 0 得
由tyx=txy和三角变换，得：
s x s y s x s y sa cos2a t xy sin 2a 2 2
同理：
txy
sa ta sy
s x s y ta sin 2a t xy cos 2a 2
正负号规定： (1)正应力拉为正； 2切应力绕研究对象顺时针转为正； 3a逆时针为正。
[例1]画出图中的A点的应力单元体。
P
dx
P
dx
s
A
s
[例2] 画出图中A点的应力单元体。
A m m
t t
t
t t
t
[例3] 如图所示为承受内压的薄壁容器。容器所承受的内 压力为 p，容器直径D，壁厚。
( D

20)
p
l
用横截面将容器截开， 受力如图所示,根据平衡方程
s D p
（2）主应力(Principal Stress ）：
s s zz
z
主面上的正应力。
xx
主应力排列规定：按代数值大小， s2
s 1s 2 s 3
s1
A A A
s3
四、应力状态分类
1、单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sx
s2 s1
ta
2
s x s y sin 2a t xy cos2a 2
2
2
s x s y s x s y cos2a t xy sin 2a s a 2 2
s x s y s x s y 2 2 s t t a a xy 2 2
sy
txz
sz
sx
二、一点处应力状态的表示方法： （1）单元体
sy
tyzt
单元体——构件内点的代
表物，是包围被研究点的无限小 s x 的几何体，常用的是正六面体。 单元体各面上应力均布；相 互平行的面上应力相等。 应力单元体是一点受力状态的完整表示。
yx
sz
tzx tzy txy
sy
txz
sz
sx
第十章 应力状态和强度理论
§10–1 应力状态的概念
§10–2 二向和三向应力状态的实例 §10–3 平面应力状态 §10–4 空间应力状态 §10–5 广义胡克定律 §10–6 强度理论
§10–1 应力状态的概念 一、问题的提出 P
A
P
p
A
A
m l
F
A A
sy
tyzt
yx
sx
A
sz
tzx tzy txy
s
t max
t
t
s
4
s
t
P1
1
P2
q
1
2 3 4 5
s
1 2
3 4 5
s
t max
t
s
5
s
5
s
§10–3
平面应力状态
平面应力状态: 单元体有一对平面上的应力为零。 y
sx
tyx
sy
sy
txy
sx
x
tyx
sx
txy
z
sx
tyx
sy
txy
sy
一、任意斜截面上的应力
二、最大正应力和最小正应力 三、主平面和主应力