多项式拟合matlab之方法

实验题目

使用Haar小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩

指导老师：李爱国

学生：陈立朝

学号：16208009004

专业：应用数学

西安科技大学计算机科学与技术学院

西安科技大学计算机科学与技术学院

1 实验报告

一、实验题目：

使用Haar 小波和傅里叶变换方法滤波及数据压缩

二、实验目的

1.掌握离散数据的Haar 小波变换和傅里叶变换的定义，基本原理和方法.

2.使用C++实现数据的Haar 小波变换和离散傅里叶变换.

3.掌握数据滤波的基本原理和方法.

4.掌握使用Haar 小波变换和离散傅里叶变换应用于数据压缩的基本原理和方法，并且对两种数据压缩进行评价.

三、实验步骤

1 算法原理

1.1 Haar 小波变换

（1）平均，细节及压缩原理

设{x1，x2}是一组两个元素组成的信号，定义平均与细节为2/)(21x x a +=，2/)(21x x d -=。则可以将{a ，d}作为原信号的一种表示，且信号可由{a ，d}恢复，1x a d =+，2x a d =-。

（2）尺度函数和小波方程 在小波分析中，引入记号)()(]1,0[t X t =φ，其中，)(]1,0[t X 表示区间[0，1]上的特征函数。定义

,()(2),0,1,...,21j j j k t t k k φφ=-=-

称)(t φ为Haar 尺度函数。由上式可知，)(,t k j φ都可以由)(0,0t φ伸缩和平移得到。

小波分析中，对于信号有不同分辨率的表示，当用较低分辨率来表示原始信号时，会丢失细节信息，需要找到一个函数来描述这种信息，该函数称之为小波函数。基本的小波函数定义如下：

[0,1/2)[1/2,1)1,01/2()()()1,1/210,t t X t X t t ψ≤<⎧⎫⎪⎪=-=-≤<⎨⎬⎪⎪⎩⎭其他

则)()12()2()(t t t t ψφφψ。--=称为Haar 小波。）（）（t t t 1,00,1)(φφφ+=称为两尺度方程，）

（）（t t t 1,00,1)(φφφ-=称为小波方程。 （3）Haar 小波变换计算方法

设),,(221n X X X 是一个长度为n 2(n>1)的离散信号序列，记为),,,(12,1,0,-n n n n a a a ，该序列可以用如下的带有尺度函数来表示：

,0,0,21,21()()...()

n n n n n n f t a t a t φφ--=++

一次小波分解的结果：

11111,01,01,01,01,211,211,211,21()()...()()...()n n n n n n n n n n n n f t a t a t d t d t φφψψ----------------=+++++对上式积分，由尺度函数的正交性，可得⎰--=1

0,1,1)()(k n k n a dt t t f φ。令k=0

，得到1,0,0,1()/n n n a a a -=+ 一般的，有

11,,2,21()/0,1,...21n n k n k n k a a a k --+=+=-

同理，有

11,,2,21()/0,1,...21n n k n k n k d a a k --+=-=-

2.傅里叶变换

（1）一维连续函数的傅里叶变换定义

设f(t)为连续的时间信号，则定义⎰+∞∞--=

dt e t f u F zut j 2)()(为f(t)的傅里叶变换，其反变换为⎰+∞

∞-=du e t F u f zut j 2)()(。 （2）一维离散傅里叶变换

对连续的时间信号f(t)等间隔采样，得到离散序列f(n)。假设采样N 次，则序列表示为{(0),(1),...,(1)}f f f N -。令n 为离散变量，u 为离散频率变量，则一维离散傅里叶变换及其反变换定义：

1

2/01()(),0,1,...,1N j un N n F u f n e u N N π--===-∑

12/0()(),0,1,...,1

N j un N u f n F u e n N π-===-∑

傅里叶变换的数学性质中，最重要的一点是：一个在时域或空域上看起来很复杂的信号（比如声音或图像）通常在频域上只集中在很小一块区域内，而很大一部分数值都接近于零。

即一个在空域中看起来占满全空间的信号，从频域中很可能只占用了极小一块区域，而大部分频率是被为零的。这就得到一个极为实用的结论：一个看起来信息量很大的信号，其实可以只用极少的数据就可加以描述。只要对它先做傅里叶变换，然后只记录那些不接近零的频域信息就可以达到数据压缩的目的。

（3）快速傅里叶变换FFT 原理

FFT 的基本思想：将大点数的DFT 分解为若干个小点数DFT 的组合，从而减少运算量。

令N znk j k n N e W /2,-=，则F(u)可改写为∑-==10,)(1)(N N k n N W n f N k F 。令N=2M ，其中M 为一正整数。带入式中，得到

21,201()()2M n k M n F k f n W M -==∑

11,,200111()(2)(21)2M M n k n k k M M M n n F k f n W f n W W M

M --==⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑∑

1,01()(2)M n k e M n F k f n W M -==∑，1,01()(21)M n k o M n F k f n W M -==+∑

则有 21()()()2k e o M F k F k F k W ⎡⎤=+⎣⎦，21()()()2k e o M F k M F k F k W ⎡⎤+=-⎣⎦

上述推导说明：对一个长度为N 的序列进行傅里叶变换可以通过将其划分为2个N/2的序列进行傅里叶变换，对于N/2的傅里叶变换，可划分为两个N/4的变换，这一过程不断迭代，知道两点的序列为止，可计算出该序列的傅里叶变换。

（4）时间抽取的基2FFT 蝶形算法

对于（3）中的计算方法，可以采用蝶形运算符号来表示。本实验中采用的算法是时间抽取的基2FFT 算法实现快速傅里叶变换。

3. 数据压缩的评价准则

（1）数据压缩比

设原始信号f(n)的数据量大小为S ，经过数据压缩后，信号的数据量变为M ，一般情况下M

()/S M S η=-

由上式可知，数据压缩得越小，其数据压缩比越大。

（2）数据失真度

对于压缩后的数据，可以采用反变换等方式还原信号。设原信号为f(n)，还原信号为f1(n)，则我们定义还原信号与原始信号的差异为数据失真度。显然，数据恢复越接近原始信号，数据失真度越小。

4.算法步骤

（1）Haar 小波方法步骤