推理与证明

数学

M单元推理与证明

M1 合情推理与演绎推理

8．[2020·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()

A．2人B．3人C．4人D．5人

8．B[解析] 假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．

20．[2020·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记

T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋

a k}(2≤k≤n)，

其中max{T k

(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋

－1

a k两个数中最大的数．

(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；

(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，

b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；

(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)

20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，

T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.

(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，

T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．

当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.

因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．

当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.

因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．

所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．

(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的

T5(P)值最小，

T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.

15．、[2020·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．

15．6[解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；

若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b ＝3，c＝1，d＝4.

若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；

若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；

综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.

19．、[2020·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n

－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

＋1

(1)求a1，a2，a3的值；

(2)求数列{a n}的通项公式．

14．[2020·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去

过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

14．A[解析] 由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．

14．[2020·陕西卷] 观察分析下表中的数据：

多面

面数(F)顶点数(V)棱数(E)

体

三棱

569

柱

五棱

6610

锥

立方

6812

体

猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．

14．F＋V－E＝2[解析] 由题中所给的三组数据，可得5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，由此可以猜想出一般凸多面体的顶点数V、面数F及棱数E所满足的等式是F＋V－E＝2.

M2 直接证明与间接证明

4．[2020·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根

B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根

C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根

D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根

4．A [解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A.

M3 数学归纳法

21．、、[2020·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.

(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；

(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1

＞c 1p .

21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．

当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋

1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .

所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．

(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .

①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p 成立．

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．

由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *.

当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k

＝p －1p ＋c p a －p k ＝ 1＋1p ? ??

??c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ? ??

??c a p k －1<0. 由(1)中的结论得? ??

??a k ＋1a k p ＝??????1＋1p ? ????c a p k －1p >1＋p · 1p ? ????c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p ，

所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p 也成立．

综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．

再由a n ＋1a n ＝1＋1p ? ????c a p n －1可得a n ＋1a n

<1， 即a n ＋1

综上所述，a n >a n ＋1>c 1p ，n ∈N *.

方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，

所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ? ??

??1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )

＝c 1p .

①当n ＝1时，由a 1>c 1p >0，即a p 1>c 可知

a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1????

??1＋1p ? ????c a p 1－1c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，

故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p 成立．

②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝

k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，

即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p ，

所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p 均成立．

19．、[2020·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.

(1)求a 1，a 2，a 3的值；

(2)求数列{a n }的通项公式．

22．、[2020·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－

ax x ＋a

(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；

(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2

. 22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2

. (i)当10，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；

若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数． (ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，所以f (x )在(－1，＋∞)是增函数.

(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，0)是增函数；

若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，

所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；

若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数．

(2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．

当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x ＋1)>2x x ＋2

(x >0)． 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)是减函数．

当x ∈(0，3)时，f (x )

(0

. (i)当n ＝1时，由已知23

(ii)假设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2

. 当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝ln(a k ＋1)>ln ? ????2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2

＋2＝2k ＋3， a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ? ????3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2

＋3＝3k ＋3， 即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3

，结论成立． 根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．

21．，，，[2020·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．

(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式；

(2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加

以证明．

21．解：由题设得，g (x )＝x 1＋x

(x ≥0)． (1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x

， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x

1＋x 1＋x 1＋x

＝x 1＋2x ，

g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋nx

. 下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x

，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x 1＋kx

. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x

1＋kx 1＋x 1＋kx

＝x 1＋（k ＋1）x

，即结论成立． 由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．

(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax 1＋x

恒成立． 设φ(x )＝ln(1＋x )－ax 1＋x

(x ≥0)， 则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a （1＋x ）2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，

∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，

∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，

∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax 1＋x

恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0，

∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减，

∴φ(a －1)<φ(0)＝0.

即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0，

故知ln(1＋x )≥ax 1＋x

不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n n ＋1

， 比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．

证明如下：

方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1

x 1＋x

，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1

①当n ＝1时，12

②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1k ＋1

那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2

＋1)＋ln k ＋2k ＋1

＝ln(k ＋2)， 即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．

方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1

x 1＋x

，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1

.

故有ln 2－ln 1>12，

ln 3－ln 2>13，

……

ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1

， 上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1

， 结论得证．

方法三：如图，??0

n

x x ＋1d x 是由曲线y ＝x x ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋n n ＋1

是图中所示各矩形的面积和，

∴12＋23＋…＋n n ＋1>??0

n x x ＋1d x ＝ ??0n ? ????1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)，

结论得证．

22．，，[2020·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．

(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．

(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n

22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1.

再由题设条件知

(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.

从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，

故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．

方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.

可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1.

下面用数学归纳法证明上式．

当n ＝1时，结论显然成立．

假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则 a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1，

这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．

所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．

(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．

令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.

下面用数学归纳法证明命题

a 2n

当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14

论成立．

假设n ＝k 时结论成立，即a 2k

易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而

c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即

1>c >a 2k ＋2>a 2.

再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )

综上，存在 c ＝14使a 2n

方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．

先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ①

当n ＝1时，结论明显成立．

假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1.

易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而

0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.

即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n

当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2

假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k

由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得

a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，

a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)

这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立． 由②得a 2n

即(a 2n ＋1)2

因此a 2n <14. ③

又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.

所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④

综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n

2．[2020·陕西五校联考] 设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC

的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c

.类比这个结论可知：四

面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝()

A.V

S1＋S2＋S3＋S4B.

2V

S1＋S2＋S3＋S4

C.3V

S1＋S2＋S3＋S4D.

4V

S1＋S2＋S3＋S4

2．C[解析] 由类比推理可知，选项C正确．

4．[2020·烟台一模] 对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：

22＝1＋3，32＝1＋3＋5，42＝1＋3＋5＋7，…；

23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，….

根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解中最小的正整数是21，则m＋p＝()

A．9 B．10

C．11 D．12

4．C[解析] 由归纳推理可知，m＝6，p＝5，∴m＋p＝11.

6．[2020·衡水中学调研] 已知椭圆中有如下结论：椭圆x2

a2＋y2 b2＝

1(a＞b＞0)上斜率为1的弦的中点在直线x

a2＋y

b2＝0上．类比上述结论

可推得：双曲线x2

a2－y2

b2＝1(a＞0，b＞0)上斜率为1的弦的中点在直线

________________________________________________上．

6.x

a2－y

b2＝0[解析] 由类比推理可得．

7．[2013·湖南两校联考] 在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB⊥AC，点D是点A在BC边上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A-BCD中，DA⊥平面ABC，点O是点A在平面BCD内的射影，且点O在平面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间的关系为________．

7．S2△ABC＝S△BOC·S△BDC[解析] 如图所示，依题意作出四面

体A-BCD.连接DO，并延长交BC于点E，连接AO，AE，则易知AO⊥DE，BC⊥AO.由DA⊥平面ABC，得DA⊥BC，又DA∩AO＝A，所以BC⊥平面AED，所以DE⊥BC，AE⊥BC.又易知△AED为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO为斜边ED上的高，所以由射

影定理得AE2＝EO·ED.又S△ABC＝1

2BC·AE，S△BOC＝

1

2BC·EO，S

△BDC ＝12

BC·DE ，所以AE ＝2S △ABC BC ，EO ＝2S △BOC BC ，DE ＝2S △BDC BC .由AE 2＝EO·ED ，得S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BDC .

11．[2020·山东日照一中月考] 二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，则S ′＝l ；三维空间中球的二维测度

(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，则V ′＝S .已知四维空间

中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________．

11．2πr 4 [解析] 因为(2πr 4)′＝8πr 3，所以猜想W ＝2πr 4.