2010数学建模c题 输油管道布置的优化模型

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员(打印并签名) ：1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期年月日

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编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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输油管道布置的优化模型

摘要

本模型遵从“保证工程质量，节约建设费用”的原则，针对共线与非共线两

种不同的管道铺设方案，建立了优化模型并求得最优解，给出最优管道铺设方案

及最小费用。在此基础上，充分考虑城区和郊区有无附加费用的情况，建立了优

化模型解决问题二。再进一步深化模型，考虑了因两厂生产能力不同单位距离铺

设费用不同，再进一步深化模型，得出更符合实际的最佳布置方案及最少费用。

针对问题一：运用非线性规划将问题分为有共用管线和无共用管线两方面考

虑，建立直角坐标系，对于有共用管线的情况，建立二元函数模型，模型一：

kuy b y l x u a y x u y x f +-+-+-+=2222)()()(),(m in ，求解模型一，得到最优解，l b a f 6

32325m in --=，l 为f 的变量，讨论b a ,与l 的关系，并求出最优值和最优值点：()a Q b f ,0,min ==。对于无共用管线，运用三角形性质求出最优值和最优点，分别为22)(l b a f ++=，)0,(b

a al E +。又考虑到共用管线和非共用管线的建设费用不同，建立费用模型：

2)k (1 <<=ku v 。将其代入f 中得到共用管线费用最小值(),

2.0ua ub -最优值点（0，a ）。非共用管线费用最小值为))((22l b a u ++。经过比较，最优

方案为共用管线时的最优解并推广模型，使得两厂的非共用管线在费用不同的情

况下，也能求得最优解。

针对问题二，在第一问的基础上，充分考虑到城区的附加费用，并通过对代

表三家工程咨询公司实力的四项指标量化求出权向量，得出赋予了权值的附加费

用的期望值为21.3341万元。建立非线性规划模型

22222222)8(5))8(5)()15()5(( min n y n n y x y x u V o -+M ++-++-+-+-+=

使用LINGO 得出最优方案的两点位置P(15,7.37),Q(5.4,1.86) 及相关费用为283.34

万元,作出管道最优的铺设图。

针对问题三，在前两问的基础上，继续深化模型的构建，考虑到两家炼油厂

的生产能力和管道铺设费用的不同，进一步建立优化模型，确立非线性规划表达式223222222221*min

)8(5))8(5)()15()5((h y u h u h y x u y x u V o -+M ++-++-+-+-+= 求出最优解的两个动点的最佳位置Q(6.73,0.14),P(15,7.28)及最省的总

费用6727.252*min

=V 万，作出管道最优的铺设图。最后我们考虑到三个炼油厂，再次构建模型，设定数值，求得三个炼油厂的最优方案和最省费用。使得模型更

有实用性和普遍性。

关键词：管道铺设费用 二元函数极值 非线性规划 优化方案

一、问题重述

建立数学模型，科学的设计铺设管线方案，在以下问题的前提下使得建设费用最省：

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两家炼油厂间距离的各种不同情形，提出的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情况。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：

工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 20

为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选

用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6

万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆

迁等附加费用同上。给出管线最佳布置方案及相应的费用。

二、模型假设

1.铺设费用包括材料费、运输费、劳务费用等；

2.管道拐角处的铺设不增加额外费用；

3.铁路线近似为一条直线；

4.两家炼油厂的生产能力在最近一段较长时期内近似不变；

5.该地区市场稳定，在最近一段较长时期内铺设费用近似不变；

三、符号定义

a-------------------------------A 厂到铁路的最短距离；

b-------------------------------B 厂到铁路的最短距离；

l -------------------------------A 、B 两厂到铁路的两条垂线之间的距离；

u ------------------------------非共用管线的铺设费用；

v ------------------------------共用管线的费用与非共用管线费用的比值；

Q ),(y x --------------------------在直角坐标系中的动点；

i V ------------------------------不同铺设管线方案的费用；

j v ------------------------------附加费用的期望值；

P ),15(h --------------------------直线x=15上的动点，h 为该点的纵坐标；

O V ------------------------------------------------城区段的铺设总费用

i d 、j d ----------------------------------------甲级和乙级公司每项指标的实力

i D 、j D ---------------------------------------甲级公司和乙级公司的综合实力

1w ，2w -------------------------甲级和乙级的评估能力的权值；

-----------------------------------------------矩阵A 的权向量。

f ----------------------------------------------建设管线的总费用