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东北大学《非线性振动》学习总结

第一章非线性振动的定性分析方法

1.1 稳定性理论的基本概念

特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定

李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。

定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态稳定。

对于复杂的非线性系统，可以以近似的线性系统代替

可以根据一次近似方程的稳定性，判断原方程的稳定性：（1）若一次方程的所有本征实部均为负，则原方程的零解渐进稳定（2）若一次近似方程至少有一本征实部为正，则原方程的零解不稳定（3）若一次近似方程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原方程的零解的稳定性

1.2相平面、相轨迹和奇点

与系统的运动状态一一对应的像平面上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。像

平面内能使方程右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。

保守系统的相轨迹有以下特点：

（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平行线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，

S2，S3，为奇点，因为他们满足几点的定义；（4）在势能取极小值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个小领域内都有E大于等于V（x）。这种类型的奇点是稳定的，称为中心。（5）在势能取极大值的点x= S2处，设E小于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。通过鞍点的相轨迹称为分割线。在势能曲线的拐点x= S3，奇点为退化的鞍点，对应于不稳定的平衡态

保守系统的势能在平衡状态处有非孤立极小值，则平衡状态不稳定。

线性系统存在等时性。

分段线性系统是一类特殊的非线性振动系统，其恢复力f（x）为x的分段线性函数。

f（x）=Fsgn x 这类最简单的分段线性恢复力常见于自动控制系统，称为邦邦控制。

具有线性恢复力的保守系统的相轨迹为椭圆族。对于更复杂的分段线性系统，其相轨迹可由直线、抛物线和椭圆线拼接形成。

定理：如果区域f（x s，μ）>0位于曲线f（x s，μ）=0的上方，则平衡位置稳定，奇点为中心。如果f（x s，μ）=0的下方，则平衡位置不稳定，起点为鞍点。

曲线是那个dμ/d x s为零或取不定值所对应的点μ=μ1，μ2，μ3，都具有临界性质，因为当μ经过这些点时，奇点的个数和类型都发生突变，因此μ1，μ2，μ3，就是相轨迹的分叉点。若f（x，μ）为线性函数，则不存在分叉点，所以分叉现象只发生于非线性系统。

1.2.5相轨迹的作图法

等倾线法：另方程右边等于常数C，得到（x，y）两平面内以C为参数的曲线族，称为相轨迹的等倾线族。

列纳法：只用于线性恢复力的特殊情形

1.2.6耗散系统的自由振动

1、粘性阻尼

运动过程伴随能量耗散的机械系统称为耗散系统，如带有粘性阻尼活干摩擦的系统。

图a相轨迹是朝原点趋紧的螺线，它围绕奇点（远点）转动却始终达不到奇点的位置，这类奇点称为稳定焦点。系统的运动为衰减振动。

图b相轨迹尚未完成绕奇点转动一周既接近奇点，这类奇点称为稳定节点，系统的运动为衰减的非往复运动。

耗散系统的c必须为正数，若c为负值，则意味着系统的总机械能不仅没有耗散，相反，不断从外界取得能量。这种特殊情况称为负阻尼。负阻尼系统的平衡状态不稳定，相轨迹为不断向外扩展的螺线或射线。这类奇点称为不稳定焦点或不稳定结点

2、干摩擦

相轨迹线为由半径递减的半圆组成的螺线，x轴上区间（-F，F）内的每个点都是奇点而构成干摩擦的死区。

1.3奇点的分类

1.3.1平面动力学系统

设动力学系统的状态方程的普遍形式为

含两个状态变量的动力学系统成为平面动力学系统，或简称平面系统。右边不含时间t而称为平面自治系统。

其中为状态变量，选择适当的T可是变换后的J称为若当标准型，矩阵J与A有相同的本征值

1.3.2线性系统的奇点类型

分别对以下不同情形讨论矩阵J的本征值与奇点的关系：

1、J有不同的本征值λ1，λ2

相轨迹为指数曲线族。α<0即λ1，λ2异号时，奇点为鞍点，α>0即λ1，λ2同号时，奇点为结点。结点的稳定性可以利用式来判断，λ1，λ2同为负号时为

稳定节点，λ1，λ2同为正号时为不稳定节点。

2、J有二重实本征值λ1=λ2

若λ1=0，则相轨迹与u2轴重合，。若λ1≠0，当t→∞时u2/u1无限增大，du2/du1→∞，及所有的相轨迹都趋向于u2轴相切，奇点为结点。结点的稳定性用式

来判断，λ1>0时不稳定，λ1<0时稳定。

3、J有共轭负本征值λ1，2=α±iβ

相轨迹为围绕奇点的螺线，奇点为焦点。焦点的稳定性用式判断

α<0时为稳定焦点，α>0时为不稳定焦点。对于α=0的特殊情形，相轨迹转化为椭圆奇点为中心。

1.3.3奇点的分类准则

线性变换后的变量与变换前的变量x为线性同构，他们的奇点的类型完全相同。

起点的不同类型由参数p和Δ完全确定：

Δ>0：λ1，2 为不等实根；若p>0,则λ1，λ2同号，奇点为节点，p<0稳定，p>0不稳定。若q<0，则λ1，λ2异号，奇点为鞍点。若q=0.，即A为奇异情形，则λ1，2出现零根，相轨迹为平行直线族。奇点为退化情形

Δ=0：λ1，2为重根。奇点为结点。P<0稳定,P>0不稳定

Δ<0：λ1，2为共轭复根。若p=0，奇点为中心，p≠0，奇点为焦点，p<0稳定，P>0不稳定。

1.4极限环

1.4.1瑞利方程和范德波尔方程

极限环：其运动微分方程的解在相平面上所确定的相轨迹是一条孤立的封闭曲线