对角矩阵压缩存储

．对角矩阵

所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零的矩阵为对角矩阵。

其中：带状矩阵所有非0元素都集中在以主对角线为中心的带状区域，半带宽为d时，非0元素有（2d+1）*n-（1+d）*d个（左上角与右下角补上0后，最后必须减掉），如下图怕示：

非零元素仅出现在主对角上(a ii，0≤i≤n-1)，紧邻主对角线上面的那条对角线上(a i，i+1，0≤i≤n-2)和紧邻主对角线下面的那条对角线上(a i+1，i，0≤i≤n-2)。当|i-j|>1时，元素a ij=0。

由此可知，一个k对角线矩阵(k为奇数)A是满足下述条件的矩阵：

若|i-j|>(k-1)／2，则元素a ij=0。

若|i-j|<=(k-1)／2

对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序，将其压缩存储到一个向量中，并且也能找到每个非零元素和向量下标的对应关系。

方法一：按行优先顺序存储

为计算方便，认为每一行都有2d+1个非0元素，若少则0补足存放矩阵的数组sa[ ]有：n（2d+1）个元素数组，元素sa[k]与矩阵元素aij 之间有关系：k=i*（2d+1）+d+（j-i）（第一项i*（2d+1）表示前i行一共有几个元素，d+（j-i）这一项是用来确定第i行中，第j列前有几个元素，以i=j 时，这时j-i=0，这个作为“分水岭”，左右两边的元素分别加上偏移量d.）

本例：d=1

K= 0123 4 567 89 10

11 12 13 14

（a00前以及a14处放一个0是用来表示在矩阵的左上角及右下角补上的0）

推广应用：

第i行,首先确定aij的位置aii的位置为i*(2d+1) ai (i+1) ai i+2 若，则元素a ij=0。A00 a10 a11 a12 a21 a22 a23 公式为A[k]=a(i,j)= i*(2d+1)+j-i 同时|i-j|<=d

方法二：按对角线的顺序存储