数据结构实验五矩阵的压缩存储与运算

第五章矩阵的压缩存储与运算【实验目的】1. 熟练掌握稀疏矩阵的两种存储结构(三元组表和十字链表)的实现；2. 掌握稀疏矩阵的加法、转置、乘法等基本运算；3. 加深对线性表的顺序存储和链式结构的理解。

第一节知识准备矩阵是由两个关系（行关系和列关系）组成的二维数组，因此对每一个关系上都可以用线性表进行处理；考虑到两个关系的先后，在存储上就有按行优先和按列优先两种存储方式，所谓按行优先，是指将矩阵的每一行看成一个元素进行存储；所谓按列优先，是指将矩阵的每一列看成一个元素进行存储；这是矩阵在计算机中用一个连续存储区域存放的一般情形，对特殊矩阵还有特殊的存储方式。

一、特殊矩阵的压缩存储1. 对称矩阵和上、下三角阵若n阶矩阵A中的元素满足= （0≤i，j≤n-1 ）则称为n阶对称矩阵。

对n阶对称矩阵，我们只需要存储下三角元素就可以了。

事实上对上三角矩阵（下三角部分为零）和下三角矩阵（上三角部分为零），都可以用一维数组ma[0.. ]来存储A的下三角元素（对上三角矩阵做转置存储），称ma为矩阵A 的压缩存储结构，现在我们来分析以下，A和ma之间的元素对应放置关系。

问题已经转化为：已知二维矩阵A[i，j]，如图5-1，我们将A用一个一维数组ma[k]来存储，它们之间存在着如图5-2所示的一一对应关系。

任意一组下标(i,j)都可在ma中的位置k中找到元素m[k]= ；这里：k=i(i+1)/2+j (i≥j)图5-1 下三角矩阵a00 a10 a11 a20 … an-1,0 … an-1,n-1k= 0 1 2 3 …n(n-1)/2 …n(n+1)/2-1图5-2下三角矩阵的压缩存储反之，对所有的k=0,1，2,…,n(n+1)/2-1，都能确定ma[k]中的元素在矩阵A中的位置（i,j）。

这里，i=d-1，（d是使sum= > k的最小整数），j= 。

2. 三对角矩阵在三对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线为中心的带内状区域中，除了主对角线上和直接在对角线上、下方对角线上的元素之外，所有其它的元素皆为零，见图5-3。

图5-3 三对角矩阵A与下三角矩阵的存储一样，我们也可以用一个一维数组ma[0..3n-2]来存放三对角矩阵A，其对应关系见图5-4。

a00 a01 a10 a11 a12 … an-1,n-2 an-1,n-1k= 0 1 2 3 4 …3n-3 3n-2图5-4下三角矩阵的压缩存储A中的一对下标(i,j)与ma中的下标k之间有如下的关系：公式中采用了C语言的符号，int()表示取整，‘%’表示求余。

二、稀疏矩阵在m×n的矩阵中，有t个非零元。

令δ=,称δ矩阵的稀疏因子，常认为δ≤0.05时称为稀疏矩阵。

稀疏矩阵在工程中有着大量的应用，不少工程问题都可以转化为对稀疏矩阵的计算问题。

如何进行稀疏矩阵的压缩存储呢？为节省存储空间，应只存储非零元素。

除了存储非零元的值之外，还必须记下所在行和列的位置（i,j），即一个三元组（i,j, ）唯一确定了矩阵A的一个非零元素。

1. 三元组顺序表以顺序存储结构来表示三元组表，则可称稀疏矩阵的一种压缩存储方式。

//稀疏矩阵的三元组顺序表存储表示。

#define MaxSize 10 //用户自定义typedef int Datatype; //用户自定义typedef struct{ //定义三元组int i； //非零元的行下标int j; //非零元的列下标Datatype v; //非零元的数据值}TriTupleNode;typedef struct{TriTupleNode data[MaxSize]; //非零元的三元组表int m,n,t; //矩阵行，列及三元组表长度}TriTupleTable;2. 十字链表当矩阵的非零元个数和位置在操作过程中变化较大时，就不宜采用顺序存储结构来表示三元组的线性表，采用纵横交叉的十字链表就比较好。

在十字链表中，每个非零元可用一个含五个域的结点表示，其中i, j和e三个域分别表示该非零元所在的行、列和非零元的值，向右域right用以链接同一行中下一个非零元。

向下域down用以链接同一列中下一个非零元。

同一行中的非零元通过right域链接成一个线性链表，每个非零元既是某个行链表中的一个结点，又是某个列链表中的一个结点，整个矩阵构成了一个十字交叉的链表，故称这样的存储结构为十字链表，如图5-5所示。

图5-5 稀疏矩阵M的十字链表typedef int Datatype; //用户自定义typedef struct OLNode{int i,j; //该非零元的行和列下标Datatype v;Struct OLNode *right,*down //该非零元所在行表和列表的后继链域}OLNode;*OLink;typedef struct {OLink *rhead,*cheadint mu,nu,tu;}CrossList;第二节用三元组表实现稀疏矩阵的基本操作【问题描述】用三元组表实现稀疏矩阵的按列转置。

【数据描述】typedef int Datatype; //用户自定义typedef struct{ //定义三元组int i,j; // 非零元素的行下标和列下标Datatype v;}TriTupleNode;typedef struct{ //定义三元组表TriTupleNode data[MaxSize];int m,n,t; //矩阵行，列及三元组表长度}TriTupleTable;【算法描述】按照列序来进行转置。

为了找到每一列中所有的非零元素，需要对其三元组表从第一行起整个扫描一遍。

Status TransposeSMatrix(TriTupleTable a, TriTupleTable &b){b.m=a.n;b.n=a.m;b.t=a.t;if(b.t){q=0;for(col=1;col<=a.n;++col)for(p=0;p<=a..t;++p)if(a.data[p].j==col){b.data[q].i=a.data[p].j;b.data[q].j=a.data[p].i;b.data[q].v=a.data[p].v;++q;}}return OK;}【C源程序】#include <stdio.h>#include <string.h>#define Ok 1#define Maxsize 10 //用户自定义三元组最大长度typedef struct{ /*定义三元组表*/int i，j;int v;}TriTupleNode;typedef struct{ /*定义三元组表*/TriTupleNode data[Maxsize];int m;int n;int t; /*矩阵行，列及三元组表长度*/}TriTupleTable;void InitTriTupleNode (TriTupleTable *a){ /*输入三元组表*/ int i,j,k,val,maxrow,maxcol;char contiue;maxrow=0;maxcol=0;i=j=0;k=0;while(i!=-1&&j!=-1){ /*rol=-1&&col=-1结束输入*/printf("input row \n");scanf("%d",&i);printf("input col \n");scanf("%d",&j);printf("input value\n");scanf("%d",&val);a->data[k].i=i;a->data[k].j=j;a->data[k].v=val;if (maxrow<i) maxrow=i;if (maxcol<j) maxcol=j;}a->m=maxrow;a->n=maxcol;a->t=k-1;}void showMatrix(TriTupleTable *a){ /*输出稀疏矩阵*/ int p,q;int t=0;for(p=1;p<=a->m;p++){for(q=1;q<=a->n;q++){ if (a->data[t].i==p&&a->data[t].j==q){printf("%d ",a->data[t].v);t++;}else printf("0 ");}printf("\n" );}}TransposeSMatrix(TriTupleTable *a,TriTupleTable *b){int q,col,p;b->m=a->n;b->n=a->m;b->t=a->t;if(b->t){q=0;for(col=1;col<=a->n;++col)for(p=0;p<a->t;++p)if(a->data[p].j==col){ b->data[q].i=a->data[p].j;b->data[q].j=a->data[p].i;b->data[q].v=a->data[p].v;++q;}}void main( void){TriTupleTable *a,*b;InitTriTupleNode(a);showMatrix(a); /*转置前*/TransposeSMatrix(a,b);showMatrix(b); /*转置后*/}【测试数据】输入：输出：1 2 0 0 1 4 04 3 0 7 2 3 00 0 0 8 0 0 00 7 8【说明】分析算法,主要的工作是在p和col的两重循环中完成，算法的时间复杂度为O(n*t)。

如果非零元素个数t 和m*n同数量级时，算法的时间复杂度变为O(m*n2)。

【实验题】1. 稀疏矩阵按行序进行转置。

2. 两个稀疏矩阵的相加运算。

第三节十字链表表示稀疏矩阵的基本操作【问题描述】两个相同行数和列数的稀疏矩阵用十字链表实现加法运算【数据描述】typedef struct ele {/* 十字链表结点类型*/int row, col;double val;struct ele *right, *down;}eleNode;【算法描述】(1) 若q->j>v->j，则需要在C矩阵的链表中插入一个值为bij的结点,，修改v=v->right。