贵州大学《复变函数与积分变换》课程标准

大学

《复变函数与积分变换》课程标准

一、课程教学的目标和任务

总体目标

《复变函数与积分变换》是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。

熟练掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论等有较深入的理解，并能用来解决简单的实际问题。

1、知识目标

使学生能掌握复数及复变函数的相关概念，在此基础上利用复变函数的性质和有关定理，开展复变函数的微积分计算，并将复变函数进行级数表示，解决共形映射的相关问题，并能够在复变函数的基础上开展傅里叶变换和拉普拉斯变换。

2、能力目标

培养学生在掌握复变函数与积分变换的基础概念、基本定理和基本公式与方法的基础上，利用复变函数与积分变换这一种有力工具，在流体力学、自动控制等工程技术领域进行相关的分析计算，来解决工程实践问题。

3、素质养成目标

通过教学与练习，在使学生理论知识得到巩固和升华的同时，培养学生严谨的科学态

度，发现和解决问题的能力，培养学生团队协作精神以及沟通交流、自我学习的能力。二、课程容和要求

根据课程目标和涵盖的工作任务要求，确定课程容和要求，对课程容和要求作如下安排。

三、课程实施和建议

1．教学方法和手段

根据本课程的教学目标要求和课程特点以及有关学情，选择适合于本课程的最

优化教学法。综合考虑教学效果和教学可操作性等因素，本课程选用任务教学法。

2. 评价方式

课程考核成绩以百分制计算，由平时成绩与期末成绩构成，平时成绩占课程总成绩的70%，期末成绩占总成绩的30%，两者合计即为课程学习成绩，60分为及格。平时成绩考核方式和要求：

（1）平时考勤（20%）

旷课1次扣1分；请假3次扣1分；迟到或者早退3次扣1分。

（2）平时作业（30%）

每次作业质量按如下等级计分：A+:100分，A:95分，A-:90分，B：85分，B-：80分，C：75分，C-：70分,D(未交)：0分。

平时作业分数=（作业总分÷作业次数）×平时作业所占比例。

作业次数6次以上，平均两周一次。

（3）阶段测验（20%）

阶段测验2次，每次成绩按百分制计。

阶段测验分数=（测验总分÷测验次数）×阶段测验所占比例。

（4）期末考试（30%）

方式和要求：

考核方式：笔试，闭卷。

考试时间：120分钟。

期末考试针学期所学的知识，基本覆盖该学期所学容。

3. 教学资源基本要求

教材

红，松法．《复变函数与积分变换》．：高等教育，2013.11（第四版）

4、单元设计

第一章复数与复变函数

【知识及能力目标】

1、熟练掌握复数的模与辐角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。

2、理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。

3、充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。

4、了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面。

【重点难点】

重点：复变函数及其极限与连续。

难点：无穷远点及无穷远点邻域。

【主要容】

1.1 复数

1.2 复数的三角表示

1.3 平面点集的一般概念

1.4 无穷大与复球面

1.5 复变函数

第二章解析函数

【知识及能力目标】

1、理解复变函数的导数的概念，掌握解析函数的定义及其简单性质，熟练掌握解析函数的等价刻划定理特别是柯西-黎曼条件。

2、熟练掌握指数函数的定义与主要性质，掌握三角函数的定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质。

3、掌握幂函数与指数函数的变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面的方法求根式函数和对数函数的单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点的多值函数的支点从而使其能分出单值解析分支的方法，会由已知单值解析分支的初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数。

【重点难点】

重点：解析函数的定义，解析函数的充要条件及C—R条件、指数函数与指数函数的定义及其主要性质。

难点：奇点的概念。

【主要容】

2.1 解析函数的概念

2.2 解析函数和调和函数的关系

2.3 初等函数

第三章复变函数的积分

【知识及能力目标】

1、理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。

2、掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。

3、熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、维尔定理、摩勒拉定理。

4、掌握调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。

【重点难点】

重点：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式。

难点：计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。

【主要容】

3.1 复积分的概念

3.2 柯西积分定理

3.3 柯西积分公式

3.4 解析函数的高阶导数

第四章解析函数的级数表示

【知识及能力目标】

1、理解复数项级数敛散性的定义，掌握其收敛性的两个刻划定理，掌握复级数的绝对收敛性及绝对收敛复级数的性质，掌握关于复变函数项级数的柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数项级数的性质，了解复变函数项级数的闭一致收敛性，熟练掌握关于解析函数项级数的维尔斯特拉斯定理。

2、掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数的敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法，掌握幂级数和函数的解析性。

3、掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况，掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数。

4、掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式，掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论。

【重点难点】

重点：幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；将函数在一点展成幂级数的方法；解析函数的唯一性定理。

难点：利用已知的基本初等函数的展式将函数在指定点展成泰勒级数；将函数展成洛朗级数的方法。

【主要容】

4.1 复数项级数

4.2 复变函数项级数

4.3 泰勒级数