幂函数(奇偶性)

幂函数2（函数的奇偶性）

一、课前预习

1

2（1）当α>0 （2）当α<0时，幂函数的图像过点 ，在区间（上为 。3．奇偶函数的概念

（1）图像关于原点对称的函数叫做 ，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值互为相反数，即 ；反之，满足f(－x)=－f(x)的函数y=f(x)一定是 。

（2）图像 的函数叫做偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和

f(－x)的值相等，即 ；反之，满足f(－x)= f(x)的函数y=f(x)一定是 。

（3）函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有 。 4．判断函数奇偶性的方法 （1）定义法：函数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个自变量x ，定义域内必须存在－x ，即定义域关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不是奇函数也不是偶函数，若函数的定义域关

于原点对称，再判断f(－x)是否等于±()f x 。

（2）图像法：y=f(x)是奇函数⇔ y=f(x)的图像关于原点对称； y=f(x)是偶函数⇔ y=f(x)的图像关于y 轴对称。 例1：函数2

223

()(1)m

m f x m m x --=--是幂函数，且在（0，+∞）上是减函数，求实数m 的值。

例2：判断下列函数的奇偶性

（1）()f x =

（2）3

()f x x x =+

（3）()|1||1|f x x x =++- （4）2(1)

()1

x x f x x -=-

例3：已知函数()f x ，当x,y ∈R 时，恒有()()()f x y f x f y +=+求证：()f x 是奇函数。

变式训练：设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2）， 求证f （x ）是偶函数．

例4：已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，3

()1f x x x =++求：0x ≤时，()f x 的解析式。

例5：已知函数()f x 是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，判断()f x 在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断。

变式训练：已知函数2

()1x f x x

=

+ （1）判断奇偶性；

（2）指出该函数在（0，1）上的单调性并证明；

（3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在(1,0)-上的增减性。

幂函数（函数的奇偶性）习题

1．下列函数中为幂函数的是（ ）

A ．2

2y x =

B ．2

3y x =+

C ．2

1y x =

D ．2x

y =

2．已知函数12y x =与1

y x

=

的图像的交点坐标为（ ）

A ．(1,1)-

B ．(1,1)-

C ．（0，0）

D ．（1，1）

3．已知幂函数2

23

()()m m f x x m z --=∈为偶函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，则该函数的解析式为（

）

A ．3

()f x x -=

B ．4

()f x x -=

C ．4

()f x x =

D ．2

()f x x =

4．已知函数f （x ）＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3

＋bx 2

＋cx （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数

5．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2

－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 6．函数1

11

1)(22+++-++=

x x

x x x f 是（

）

A ．偶函数

B ．奇函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

7．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，()()()2f x a x bg x ϕ=++在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在 （－∞，0）上有（ ）

A ．最小值－5

B ．最大值－5

C ．最小值－1

D ．最大值－3 8．幂函数()y f x =的图像过点（4，2），则f(8)的值等于 。 9．已知7

5

3

()6f x ax bx cx =+++，且(2)10f -=，则(2)f = 。

10．已知函数2

()3f x ax bx a b =+++为偶函数，其定义域为[1,2]a a -，则()f x = 。 11．若()f x 为奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又(3)0,f -=则xf(x)<0的解集为 。

12．函数2

122)(x

x x f ---=

的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．

13．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1

1)()(-=

+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．

14．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．