《现代数字信号处理》-第二章-自适应数字滤波器解析

第三章自适应数字滤波器

3.1 引言

3.2 自适应横向滤波器

3.3 自适应格型滤波器

3.4 最小二乘自适应滤波

3.5 自适应滤波的应用

3.1 引言

（维纳滤波器的特点与不足）自适应数字滤波器和维纳滤波器一样，都是符合某种准则的最佳滤波器。维纳滤波器的参数是固定的，适用于平稳随机信号的最佳滤波，但要设计这种滤波器，必须要求输入信号是平稳的，且具有信号和噪声统计分布规律的先验知识。在实际中，常常无法知道这些先验知识，且统计特性还会变化，因此实现最佳滤波是困难的。

自适应滤波器的特点是：滤波器的参数可以自动地按照某种准则调整到最佳滤波；实现时不需要任何关于信号和噪声的先验统计知识，尤其当输入统计特性变化时，自适应滤波器都能调整自身的参数来满足最佳滤波的需要。常常将这种输入统计特性未知，调整自身的参数到最佳的过程称为“学习过程”。将输入信号统计特性变化时，调整自身的参数到最佳的过程称为“跟踪过程”，因此自适应滤波器具有学习和跟踪的性能。由于自适应滤波器有这些特点，自1967年威德诺(B. Widrow)等人提出自适应滤波

器以来，在短短十几年中，自适应滤波器发展很快，已广泛地用于系统模型识别，通信信道的自适应均衡，雷达与声纳的波束形成，减少或消除心电图中的周期干扰，噪声中信号的检测、跟踪、增强和线性预测等。

本章主要介绍自适应横向滤波器、自适应格型滤波器、最小二乘自适应滤波器以及自适应滤波器的应用举例。

3.2 自适应横向滤波器

自适应滤波器的原理框图如图 3.2.1所示，图中()x n 称为输入信号，()y n 是输出信号，()d n 称为期望信号，或者称为参考信号、训练信号，()e n 是误差信号。其中

()()()e n d n y n =-

自适应滤波器()H z 的系数根据误差信号，通过一定的自适应算法，不断地进行改变，使输出()y n 最接近期望信号

()d n 。这里暂时假定()d n 是可以利用的，实际中，()d n 要根据具体情况进

行选取，能够选到一个合适的信号作为期望信号，是设计自适应滤波器的一项有创意的工作。如果真正的()d n 可以获得，我们将不需要做任何自适应滤波器。

自适应线性组合器和自适应FIR 滤波器是学习自适应信号处理的基础，它们都是非递归型的，相对地说，容易分析和理解，我们首先由此展开对自适应滤波基础理论的讨论。

图3.2.1 自适应滤波器原理图

3.2.1 自适应线性组合器和自适应

FIR

1. 自适应滤波器的矩阵表示式 图3.

2.2表示的是一个有N 个权系数的自适应线性组合器，图中N 个权系数12,,

,N w w w 受误

差信号j e 的自适应控制。对于固定的权系数，输出j y 是输入信号

12,,,j j N j x x x 的线性组合，因此

称它为线性组合器。这里的12,,,j j N j x x x 可以理解为是从N 个不同的信号

源到达的瞬时输入，是一个多输入系统，也可以是同一个信号源的N 个序贯样本，如图 3.2.3 所示。

图3.2.3 自适应FIR 滤波器

因此它是一个单输入系统， 实际上这种单输入系统就是一个FIR 网络结构，或者说是一个自适应横向滤波器。其输出()y n 用滤波器的单位脉冲相应表示成下式：

1

()()()N m y n w m x n m -==-∑ (3.2.1)

j

y j

图 3.2.2 自适应线性组合器

这里()w n 称为滤波器单位脉冲响应，令：1i m =+，记(1)i w w i =-，

(1)i x x n i =-+，n 用j 表示，上式可以写成

1N

j i i j i y w x ==∑ (3.2.2)

这里i w 也称为滤波器加权系数。用上面公式表示其输出，适合于自适应线性组合器，也适合于FIR 滤波器。将上式表示成矩阵形式：

T T

j j

j y ==X W W X (3.2.3) 式中，T T 1212[,,

,],[,,,]N j j j N j w w w x x x ==W X

误差信号表示为

T T

j j j j j j

j e d y d d =-=-=-X W W X (3.2.4) 2. 利用均方误差最小准则求最佳权系数和最小均方误差

误差信号被用来作为权系数的控制信号。下面采用均方误差最小的准则，求最佳权系数。由(3.2.4)式，均方误差为

22[][()]j j j

E e E d y =- 2T T T

[]2[][]j j j j j E d E d E =-+X W W X X W (3.2.5)

令

12[][,,

,]T dx j j j j j j j Nj E d E d x d x d x ==R X (3.2.6)

21121211212

12[]j

j j

j N j j j

j j N j T xx j j N j j

N j j

N j x x x x x x x x x x E E

x x x x x ⎡⎤

⎢

⎥⎢⎥

==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

R X X (3.2.7) 将(3.2.6)、(3.2.7)式代入(3.2.5)式，得到

22T T

[][]2j j dx

xx E e E d =-+R W W R W (3.2.8)