线性规划-图与网络分析

无向图
v1
e1
v4 e6
e3
e2 v2
v3
e4
e5
e1 v1 v2 v3 v4 1 0 0 1
e2 1 0 1 0
e3 1 1 0 0
e4 0 1 1 0
e5 0 1 0 1
e6 0 0 1 1
有向图
v1
e1
v4 e6 e7
e3
e2 v2
v3
e4
e5
e1 v1 v2 v3 v4 1 0 0 -1
2+6 8 8 5+4 8 8
4+3
-
0+2 0+5
7 5+1 5+4 6 9 6+2 8
8+1 8
反向追踪，得到最优路线：
v1
v2
v3
v5
v4
v6
v7
思考：若先把 v7 的标号改为永久性标号， 该怎麽继续作下去？
v1 5 6
v2
v3
v4
v5
8
v6
6
v7
9 6+2
v6 v7
{v 5 ， v 7 } { v 5}
无向自环图
v2
v1
v3
V4
v1 v1 v2 v3 v4 0 1 1 1
v2 1 1 1 0
v3 1 1 0 1
v4 1 0 1 0
有向一般图
v1 v2
v5 v3
v4
v1
v2
v3
v4
v5
v1 v2 v3
0 1 0
0 0 1
0 0 1
1 1 0
1 0 0
v4
v5
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
二、树与最小支撑树问题
w
P
ij
应用背景——管道铺设、线路安排、 厂区布局、设备更新等。
最短路算法：
1． D氏标号法（Dijkstra）
（1）求解思路——从始点出发，逐步顺序
地向外探寻，每向外延伸一步都要求是最
短的。
（2）使用条件——网络中所有的弧权均
非负，即 w ij 0 。
（3）选用符号的意义：
①标号 P（固定标号或永久性标号）
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 36 25
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
总权数=1+4+9+3+17+23=57
v1
2 v2 2 v3 4 6 5 v4 4 4 3 v5
练习1：上图表示5个村庄的线路图，每边旁的数 字表示村庄之间线路的长度，现要求沿线路架设 有线广播线，不仅使各村都能听到有线广播，而 且使广播线总长度最短。
1
v7
4
9
15 v3 3
1、先任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边，若在同一个 圈中有几条都是权最大边，则任选其中的一条边去掉。
2、在余下的子图中，重复上述步骤，直至没有圈为止。
v1 23 v6 28 v5 36 25
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 25
树是一类很有用的简单图。
树的定义：一个无圈的连通图称 为树。
v1
v5
v2 v3
v4
连通图
v1
v5
v2 v3
v4
树
Biblioteka Baidu
树有以下显而易见的性质：
1 树中任意两顶点间必有且仅有一条路。
2 在树中去掉任何一条边，则图就不连 通。 3 在树的两个不相邻的顶点间加一条边， 就得到一个圈。
4 含有P个顶点的树有p-1条边。
例：连通图G
5 2 3 6 4 1 2 1
支撑子图1是一个树
2 3 6 4
支撑子图2是一个树
5 3
6 4
支撑子图3是一个树
2 3
4 2
支撑子图4是一个树
1
4 1 2
支撑子图5是一个树
5 3
6
1
由树的定义可知：图G的支撑子图1、2、3、4、 5都是一棵树，称为支撑树。
那么，什么是最小支撑树（最小树）呢？
练习2：某大学准备对其所属的7个学院办公室 计算机联网，这个网络的可能联通的途径如下图， 图中v1,…,v7 表示7个学院办公室，请设计一个网 络能联通7个学院办公室，并使总的线路长度为 最短。
v1
v2
3
1
4 v7
v3 7 2 v4
3
3
10
5
8
v5
v6
4
v1
v2
1 3
v3 7 v7 2 v4
2
v2
第6章
图与网络分析
·
图与网络的基本概念
·
·
最小(生成)树问题
最短路问题
·
最大流问题
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是 欧洲一个城市，普雷格乐河把该城 分成两部分，河中有两个小岛，十 八世纪时，河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如 A ）出发， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？
A C
D
B
数学家 Euler 在 1736 年巧妙地给 出了这个问题的答案，并因此奠定 了图论的基础， Euler 把 A 、 B 、 C 、 D 四块陆地分别收缩成四个顶点， 把桥表示成连接对应顶点之间的边， 问题转化为从任意一点出发，能不 能经过各边一次且仅一次，最后返 回该点。
A
D
C
B
图与网络是专门研究图的理论
3 v5
v1
3
3
v6 v5
2
v3 v4 v2
v1
4 2 4 2 4 3 v5
答案：11，19
v3
v4
三、最短路问题
最短路问题是对一个赋权网络图中指定的两点 Vs和Vt，找到一条路，使得这条路上所有弧的权 值之和最小，称之为最短路P* 。这条路上所有弧 的权值之和称为从Vs到Vt的距离。
W ( P*) min
在任一图G=（V，E）中，当点集V 确定后，树图是G中边数最少的连 通图。
练习题2：如图所示，有一菜园被田埂分割为 6块，现菜园各块均灌溉了水，问至少需要打 通多少田埂才能把所有的水排放掉？
支撑树与最小支撑树
若将树作为图的一个子图来考虑
支撑树：如果图G的支撑子图G’是树，则称G’ 为G的支撑树。 定理：图G有支撑树的充要条件是G是连通图。
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 v3 3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 v3 3 v4
v1 23 v6 28 v5 17
v2
1
v7
4
9 v3 3 v4
v1 23 v6 28 v5 17
v2
1
v7
4
9 v3 3 v4
v1 23 v6
v2
1
8、图的矩阵表示
一个图非常直观，但是不 容易计算，特别不容易在计算 机上进行计算，一个有效的解 决办法是将图表示成矩阵形式。
(1) 、权矩阵
(2)、关联矩阵
(3)、相邻矩阵
v2 v1 8
5 3
v5 1 3 v7 2
4
3 V4
4
2 6 V3 V6
关联矩阵
关联矩阵是一个nxm矩阵。
它揭示了图G中顶点和边之间的 关联关系。
3、环： 多重边： 简单图：不含环和多重边的图
多重图：含有多重边的图
简 单 图 与 多 重 图
e6
e1 v1 e2 v2 e3 v3
e5
e4
v4
4、度：以v为顶点的边的条数称为v的度. 表示为: d(v)。
例：
v1
e1 e2 e6 v2 e3 v6
e5
v4
e4 e8
v3 e7 v5
孤立点 悬挂点 悬挂边
第三步：若网络图中已无T标号点，停止 计算。否则,令 二步。
T (v j0 ) min T (v j )
v j s
,
然后将 v j0 的T 标号改成P 标号 ，转入第
此时，要注意将第二步中的 v1 改为 v j0 。
（5） D氏标号法（Dijkstra）的特点
（获得的附加信息）：
能得到从
v7
4
9 v3 3
v5
17
v4
总权数 =1+4+9+3+17+23=57
方法二：避圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25 17 16 v4 20 v2
1
v7
4
9
15 v3 3
避圈法：开始选一条最小权的边，在以后的每一步中， 总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已 选取的边不构成圈，如果同时有几条都是最小权的边， 则可从中任选一条。
图论中的图是用点和边（弧）来反 映系统中各对象之间相互关联的关系， 它与几何图、工程图是不一样的，图中 点的相对位置、点与点之间连线的长短 曲直，对于反映对象之间的关系并不是 重要的。
一、 图与网络的基本概念
1、无向图：由点和边构成的图，记作G= （V,E）。其中V是点的集合， E是边的集合。
有向图：由点和弧组成，记作 D=（V，A）。 2、关联边和端点：若有边e可表示为e=(vi,vj),则 称边e为顶点 vi或vj的关联边； vi和vj是边e的端 点。
5、路：简单路（边不同）； 初等路（点也不同）. 圈（回路）： 连通图：图G中，若任何两个不同 的点之间，至少存在一条路，则 称图G为连通图。否则，为非连通 图。
v6 v1 v5
v2 v3
v4
连通图与非连通图
6、子图： 生成子图（支撑子图）： 导出子图：
7、
（1）权——指边或弧的有关数量指标。根据实 际背景可赋予不同含义，如距离、时间、 费用、容量等。 （2）赋权图—图G中点、边(弧) 以及边（弧）上的 权的总体，称为赋权图。 （3）网络——指定了起点、终点和中间点的连通 的 赋权图 。包括无向网络、有向网络、混合 网络。
e8= (v4， v4),称为环；
v6是孤立点，
v5为悬挂点，e7为悬挂边， 顶点v3的度为4，顶点v2的度为3， 顶点V4的度为4。
奇点、偶点：度为奇数的顶点 称为奇点；相应的，度为偶数 的顶点为偶点。
定理1：在一个图中，所有顶点 度的和等于边的两倍。 定理2：在任意一个图中，奇点 的个数必为偶数。
——从始点到该标号点的最短路权。 ②标号 T（临时性标号）
——从始点到该标号点的最短路权上界。
（4） 计算步骤及例：
第一步：始点标上固定标号 p(v1 ) 0 ,其余各 点标临时性标号 T(vj)=, j1; 第二步：考虑满足条件 vj ① (v1 , v j ) A 的所有点 ； ② v j 具有T 标号，即 v j s ， s 为T 标号点集。 T (v j ), p(v1 ) l1 j ，并 修改 v j 的T标号为 min 将结果仍记为T(vj)
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 25
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 16 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 16 v4
15 v3 3
练习题1：下图中1表示某生产队的水源地， 其它图形表示水稻田，用堤埂分割为很多小 块。为了用水灌溉，需要挖开一些堤埂。问 最少挖开多少堤埂，才能使水浇灌到每小块 稻田。
1 2 4
5 6 3 10
7
8 9 12 11
将水源地及每小块稻田各用一个点 来表示，边表示它们之间有堤埂相 连，那么连接这些点的树图的边数 即为至少要挖开的堤埂数。
8
8+1
8
8
反向追踪，得到相同的最优路线。 在得到从起点到终点的最短路长的同时，还 能得到什麽附加信息
？
练习1：求从点1到其它各点的最短路。(标号步 骤法)
2
2
2 5 1
7
1
3
3
5
5 3
最小支撑树（最小树）：
已知赋权无向图G=(V,E,W)的支撑树为 T=(V,E')(E'∈E),一棵支撑树所有边上权 的总和，称为支撑树的权。具有最小权 的支撑树T*，称为最小树。 即：
W (T *) min
w
T
ij
求最小树的方法有破圈法和避圈法。
方法一：破圈法
v1 23 v6 28 v5 步骤： 36 25 17 16 v4 20 v2
路线和最短路长。
v1 （起点）到各点的最短
例 : 用狄克斯拉算步骤法求解下图所 示最短路问题 。
v2 4 5 v4 7 5 5 7 v5 6 v7 9 v6 4 v8
4 v1
6
4 v3
1
例 : 用狄克斯拉列表法求解下图所 示最短路问题（无向图）。
v2 2 6 4 v4 1 v3 3 1 v6 v5
2 v1
4
4
1 v7
5
2
步骤 考察点 T标号点集 v1 0
标 v2
号（ 表P标号） v3 v4 v5 v6 v7
1
2 3 4 5 6
v1
v2 v3 v4 v6 v5
{v2，…，v7}
{v3，…，v7} {v4，…，v7} {v5，v6，v7} {v5，v7} {v7}
2
5 2+2 4
2+4 6 4+1 5
v1 23 v6 28 v5 36 25
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 36 25
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 36 25
20
v2
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3 3
v1 23 v6 28 v5 36 25
e2 -1 0 1 0
e3 1 -1 0 0
e4 0 -1 1 0
e5 0 -1 0 1
e6 0 0 1 -1
e7 0 0 -1 1
注意：对于有向图存在-1 元素； 而对于无向图不存在-1。
相邻矩阵
用一个nxn的矩阵表示图G中 顶点之间的邻接关系：如果两个顶 点之间有边直接相连时，记为1， 否则为0。