计算机图形学投影变换

投影 变 换
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附录C 投影变换
投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影 面上得到二维平面图形。
分类：
❖平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这 些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视 图、轴测图。
❖ 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。
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附录C 投影变换
正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐 标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同 的变形系数。
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附录C 投影变换
正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标 原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相 同的变形系数。
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附录C 投影变换
➢三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都 相交。
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附录C 投影变换
灭点
灭点
灭点
灭点
灭点
(a)一点透视
(b)二点透视
7-20 透视投影
灭点 (c)三点透视
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一、 简单的一点透视投影变换
Ys S
Y
Qw
Qs
P0
Z
O
Qw (Xw, Yw, Zw) Qs (Xs, Ys)
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附录C 投影变换
斜等测投影
投影平面与一坐标轴垂直 投影线与投影平面成45°角
与投影平面垂直的线投影后长度不变 斜二测投影
投影平面与一坐标轴垂直 投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角
该轴轴向变形系数为 ½。即与投影平面垂直 的线投影后长度变为原来的一半。
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Xs Z2
Z1 X
P0 ： 视点 S平面：投影面，屏幕画面 点Qw的透视：P0Qw与平面S的交点
当投影面与某轴垂直时为一点 透视；当投影面平行于某坐标 轴，但与另外两轴不垂直时为 二点透视；否则为三点透视
简单的一点透视投影变换(续)
利用几何关系可得：X s
Z2 Z1 Z2 Zw
Xw
Ys
Z2 Z1 Z2 Zw
产生透视的原因，可用下图来说明：
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附录C 投影变换
图中，AA',BB',CC'为一组高度和间隔都相等，排成一 条直线的电线杆，从视点E去看，发现
∠AEA>∠BEB>∠CEC 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P,让P通过AA‘，
则在画面上看到的各电线杆的投影aa'>bb'>cc' aa'即EA,EA'与画面P的交点的连线; bb'即为EB，EB'与画面P的交点的连线。 cc' 即为EC，EC'与画面P的交点的连线。 ∴近大远小
附录C 投影变换
投影中心与投影平面之间的距离为无限 投影中心与投影平面之间的距离为有限
根据投影 方向与投 影平面的 夹角
根据投影 平面与坐 标轴的夹 角
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附录C 投影变换
一、平面几何投影 投影中心、投影面、投影线：
A' 投影线
投影中心 B'
A 线段
B
A'
投影中心在 无穷远处
投影线
B'
(a) 透视投影
(b) 平行投影
图7-1 线段AB的平面几何投影
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A 线 段 B
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附录C 投影变换
平面几何投影可分为两大类： ➢ 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 ➢ 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的
S
S
S
(a)透视投影
(b)正投影
ze zs xe xs ye ys
1 l cos l sin
所以
zs 0
xyss
xe ye
ze ze
l cos l sin
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附录C 投影变换
矩阵形式为：
1
0 0 0
xs
ys
zs 1 xe
ye
Baidu Nhomakorabea
ze
1
l
0
c os
0
1
l sin
0
0 0
1 0
0 1
斜等侧中：l=1,β=45
附录C 投影变换
正投影视图
①正投影是将立体向xoz面投影得到，投影结果为： x’ = x; y’=0; z’=z 为将点(x y z) 变换为(x’ y’ z’)，只需将点(x y z)作 如下变换即可：
1 0 0 0
Tv
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0 0
1
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三视图
附录C 投影变换
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附录C 投影变换
投影方向 p
投影方向 p
投影平
面法向
投影平面 O
p'
投影平面 O
投影平 面法向
p'
(a)斜等测
(b)斜二测
7-16 斜平行投影
α = ARCTG(2)
OP = OP’
OP = 2OP’
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附录C 投影变换
1． 已知投影方向矢量为（xp,yp,zp） 设形体被投影到XOY平面上 形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys) ∵投影方向矢量为(xp,yp,zp) ∴投影线的参数方程为：
二点透视投影的变换矩阵
经齐次化处理后得：
1 0 0 p
x
y z 10
1
0
0
x
y
z px rz 1
0 0 1 r
0 0 0 1
x' x /( px rz 1)
由y上' 式y可/( 看px出 ：rz 1) 当zx' ->z∞/(时px，在rzX轴1)上1/p处有一个灭点； 当z->∞时，在Z轴上1/r处有一个灭点；
否则，得到的投影为正轴测图。
z z
投影方向 投影平面
y
(a)三视图
7-12
7
正投影
x
投影方向 O
投影平面
y
(b)正轴测
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x
附录C 投影变换
三视图：正视图、侧视图和俯视图
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附录C 投影变换
把三维空间的图形在三个方向上所看到的棱线 分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放 置到同一平面上。
3）最后让图形沿Z轴平移dx=ty , dy=tz; 4）将坐标原点平移至点O
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附录C 投影变换
1、正轴测图:
当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标 轴时，产生的正投影称为正轴测投影。
正轴测投影分类： 正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的
距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。
二点透视投影的变换矩阵
２) 二点透视 在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用
1 0 0 p
M
0 0 0
1 0 0
0 1 0
q
r 1
当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变
换。假定p!=0, r!=0, q=0;
将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
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3）最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 4) 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 5）将坐标原点平移至点O
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附录C 投影变换
侧投影视图
先将立体向YOZ面作正投影（X坐标取为0）；
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附录C 投影变换
2）使水平投影面绕Z轴旋转90，使与正投影面处于同 一平面；
讨论(续)：
(3) 类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可 分别写为：
1 0 0 0 1 0 0 0
Ty
0 0
1 0
0 1
g
0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 g 0 0 0 0
Tx
0 0
1 0
0 1
0 0 0 0
1 0
0 1
0 0
0 0 0 1 0 0 0 1
② 将该投影向左角移动dx=tx,dy=tz; ③ 将x轴反向与U轴保持一致； ④ 将坐标原点平移到点(a,b)。
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三视图
附录C 投影变换
俯投影视图
1）将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
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三视图
附录C 投影变换
2）使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同 一平面；
1 0 0 0 1 0 0 0
X s
Ys
Zs
1 X w
Yw
Zw
1
0 0
0
1 0 0
0 1 0
0 1
Z2 1
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 1
Xw
Yw
0
1
Zw Z2
Xw
1 Zw
Z2
Yw 1 Zw
Z2
0 1
回忆前面对齐次坐标变换矩阵的讨论，知若 g ＝ -1/ Z2，则主灭 点在 Z 轴上 Z＝ 1/g 处
投影平面 O
y
z
z
z
O
O
O
x
x
x
y
y
y
(a)等轴测
(b)正二测
(c)正三测
图7-14 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
分析：对于正二测图OA、OB、OC有两个相等，但与另一个不等
附录C 投影变换
一、斜投影 斜投影图，即斜轴测图，是将三维形体向一
个单一的投影面作平行投影，但投影方向不 垂直于投影面所得到的平面图形。（通常选 择投影面平行于某个主轴） 常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图。
则矩阵式为：
1 0 0 0
xs
ys
zs 1 x
y
z
1
0 S 0
x
p
1 S yp
0
0 0
1 0
0 1
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附录C 投影变换
2 ． 设 （ xe,ye,ze ） 为 任 一 点 ， （ xs,ys ） 为 （xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影
设立方体上一点 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影
z
a2
a1 b2
b1 c1
x
9
c2 y
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附录C 投影变换
1、正平行投影（三视图）
工程制图中常用到的三视图，是由空间一物体向三 个面互分相别垂称直为的：投正影投面影作面正V（投Z影OVX得)，到侧的投。Z影这面三W个投影 （YOZ），水平投影面H（XOY）。
X
Y
10
O
Y
U
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Yw
若令用户坐标系(屏幕坐标)的原点在O，则 Z1＝ 0，
上式可简化为：
Xs
Z2 Z2 Zw
Xw
Xw 1 Zw
Z2
讨论：
Ys
Z2 Z1 Z2 Zw
Yw
Yw 1 Zw
Z2
(1) 若 Z2 , 为平行投影， Xs ＝ Xw , Ys ＝ Yw, 结论显然正确
讨论(续)： (2) 上述变换可写为
xs ys
x y
xp yp
t t
z
s
z
zp
t
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附录C 投影变换
因为 所以
xs ys
t zi zp
zs 在Z 0的平面上 zs 0
xs
y
s
x y
xp zp yp zp
zi zi
若令
S xp
xp zp
S yp
yp zp
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附录C 投影变换
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附录C 投影变换
➢不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点， 这个点称为灭点(Vanishing Point)。
➢坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主 灭点。
➢一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正 交，与另外两个坐标轴平行。
➢两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相 交，与另一个坐标轴平行。
(c)斜投影
图7-2 平面几何投影分为透视投影和平行投影
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附录C 投影变换
平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
投影方向
投影平 面法向
投影方向
投影平面
投影平面
(a)正投影
(b)斜投影
7-11 平行投影
投影平 面法向
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附录C 投影变换
一、正投影
正投影又可分为：三视图和正轴测。 当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图；
P' (lcosα,lsinα,0),投影方向为PP',PP'与投影面 的夹角为β, α为投影与x轴的夹角，则投影方 向矢量为(lcosα,lsinα,-1)
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附录C 投影变换
现考虑任一点（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 （xs,ys）
∵投影方向与投影线PP’平行
斜二侧中：l=1/2,
β=arctgα=63.4
正平行投影：l=0, β=90
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附录C 投影变换
透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，我们观 察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。
如：我们站在笔直的大街上，向远处看去，会感到街 上具有相同高度的路灯柱子，显得近处的高，远处的 矮，越远越矮。这些路灯柱子，即使它们之间的距离 相等，但是视觉产生的效果则是近处的间隔显得大， 远处的间隔显得小，越远越密。观察道路的宽度，也 会感到越远越窄，最后汇聚于一点。这些现象，称之 为透视现象。
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附录C 投影变换
若连a,b,c及a',b',c'各点，它们的连线汇聚于 一点。
然而，实际上，A,B,C与A，B，C的连线是两 条互相平行的直线，这说明空间不平行于画面 (投影面）的一切平行线的透视投影，即a,b,c与 a',b',c'的连线，必交于一点，这点我们称之 为灭点。
正等测图(等轴测)
分析：对于正等测图OA=OB=OC
z
z
z
C 投影平面
O
B
A
y
x
投影平面 O
y
x
投影平面 O
y
x
z
z
z
x
O
O
O
x
x
y
y
y
(a)等轴测
(b)正二测
(c)正三测
图7-14 正轴测投影面及一个立方体的正轴测投影图
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x
z
正二测图
投影平面 O
y
x
z
投影平面
C
O
B
A
y
x
z