研究生非线性作业

结构非线性有限元分析

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1、求下图所示单元的刚度矩阵，设μ0=。 解：⑴求[]B

a y y m j i =-=

b ，0=-=j m i x x

c ，0b =-=i m j y y ，a x x c m i j =-=

a y y j i m -=-=

b ，a x x

c i j m -=-=，三角形面积22

a =∆

从而[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---------=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡∆

=11010101011000000

11000

00021a b c b c c b c b c c b b B m m

j

m j m j i

i i j

i ⑵求[]D

当μ0=时，平面应力问题与平面变形问题的[]D 相等，得[]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=5.000010001E D

⑶求[]S

[][][]⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣⎡----==5.05.001010105.05.0000000

1a

　E B D S ⑷求[]e K

[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡----=∆=5.05.005.05.00101000010001110101010

100100001

2 Et t S B K T

e =⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡------------5.15.01

5.05.005.05.105.05.01101000

5.05.005.05.00

5.05.005.05.00010001

2Et

2、设有均质、等厚的三角形单元ijm ，受到沿y 方向的重力载荷y q 的作用。求均布体力移置到各结点的载荷。

解：设此三角形单元ijm 的厚度为t ，三角形ijm 的面积为A ，重度为γ，则

At q y =γ {}⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧-=γρ0V 单元的节点为：

{}

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧-⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡=⎰⎰γ0d d N 00N N 00

N N 00N t F y x m j

m j

i i A e

v

根据形函数的性质有：3

A

d d N y x A

i =

⎰⎰ 得：

{}

[][][]T y T y T T

e

V 101010q 3

1101010tA At q 31101010tA 3103A 0

03A 3

A 0

03A 3

A 003A t F -=-=-=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣

⎡=γγ

上式表明，受自重荷载情形的等效节点力为单元重量的3

1

。

3、在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正的牛顿迭代法或BFGS 法，简述两种方法的处理过程。

⑴ 修正的牛顿迭代法。考虑单变量为x 的非线性方程0)(=Φx 具有一阶导数，在xn 点作一阶泰勒级数展开，它在xn 点的线性近似为：

)()()()(n n n x x dx

d x x -Φ

+Φ=Φ

因此，非线性方程0)(=Φx ，在xn 点近似为线性方程：0)()()(=-Φ

+Φn n n x x dx d x

由上式求得n 步的修正项：

n n n dx

d x X )/(

)(1Φ

Φ-∆+，11++∆+=n n n X x X 在几何非线性的有限元法中，结构的刚度矩阵与其几何位置有关，平衡方程由变形后的位形描述，因此，结构的刚度矩阵是几何变形的函数。设变形为δ，结构

的平衡方程式：0)(=-R K δδ

其为一个非线性方程组，记非线性方程0)()(=-=ΦR k δδ

用Newton -Raphson 方法求0)(=Φδ的根时，迭代公式分别为11++∆+=n n n δδδ 其中1+∆n δ满足下式：N N n Tn K R K δδδ)(1-=∆+。

式中Tn K 称为切线刚度矩阵，表达式为：Tn K =n d d ))

((

δ

δΦ 在每一个迭代步中，通过求解切线刚度矩阵Tn K ，进而用1+n δ进行迭代求解。Newton -Raphson 方法求解过程中，每次都计算Tn K ，计算速度较慢。有时直接采用第一次迭代计算得到的切线刚度0T K 作为Tn K 来加速计算，即：

01)/(

)(dx

d x x n n Φ

Φ-∆+，称为修正的Newton -Raphson 方法。但这个方法收敛速度可能会减慢。修正的牛顿迭代法在迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。性能有所改进。

⑵BFGS 法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成刚度阵，但也不保持不变，而是用某种方法对刚度阵（确切地说是对它的逆）进行修改，从而求解。它在有限元分析遇到的许多问题中，具有相当好的收敛性，尤其在复杂材料的非线性分析和动态分析中推荐采用BFGS 法。 4、简述非线性问题求解方法及其简要过程。

在非线性问题求解中考虑小变形范围内的材料非线性弹性问题。由于是小变形，有限元中的平衡方程和几何关系与线弹性问题相同。非线性弹性材料的本构方程是非线性的，写成如下一般形式：0),(f =εσ。在平衡方程中，若以节点位移表示，则方程为非线性。写成刚度矩阵的形式后，应是R K =δδ)(,此式为非线性方程，可以用迭代法求解。用迭代法求解主要有以下几种方法：

⑴割线刚度法

材料的应力应变关系能够表示如下：εεσ)(D =，考虑到小变形时δεB =，则上式可以写成：δδσB D )(=，定义非线性刚度矩阵)(δK 如下：