詹秉义版渔业资源评估笔记

渔业资源评估
绪论
2009-2-22
渔业生产的主要捕捞对象是海洋和内陆天然水域中的经济鱼类和其他动物。水域中的这些经济鱼类和其他动物就是通常所谓的渔业资源。渔业资源是发展渔业的物质基础，没有渔业资源就没有渔业。过量增加捕捞强度会使资源衰竭、渔获量下降。对渔业资源遥捕捞开发要适度，合理利用资源，为此必须摸清渔业资源的状况，判断对资源利用是否不足、或已充分利用还是利用过度，这有赖于渔业工作者对渔业资源和渔获量作出预报，对渔业资源作出评估，为渔业决策和渔业管理提供科学依据。
渔业资源评估的涵义和内容
渔业资源评估（Fish Stock Assessment）是研究渔业生物（主要是经济鱼类）种群动态、数量变动的一门学科，属渔业种群生态学，是渔业资源学的核心部分。资源评估包括为确定某一渔业资源的生产率、捕捞对生产的影响、捕捞格局变化（如管理或发展政策的执行）所产生的效果（对资源和渔业）等待所进行的一切科学研究。渔业资源评估就是利用种种方法对渔业资源进行评估和估算。利用数学手段进行数量分析，即在一定的假设前提下，建立简单和抽象的数学模型来描述渔业实际的各种复杂状况。就是在了解和掌握了捕捞对象的年龄、生长、长度、重量、繁殖力及渔获组成等生物学资料的基础上，又获得多年的渔获量和捕捞力量的较完整的渔业统计资料，对鱼类等捕捞对象的生长、死亡等有关参数进行测定和计算，对起生长、死亡和补充的规律进行研究；考察捕捞作用对资源数量和质量的影响；对资源量和渔获量作出估计和预报；寻求合理利用的最佳方案，包括确定合适的或较合适的捕捞强度和起捕规格，如限定渔获量，限定作业船数或作业次数或作业时间，限定网目大小和鱼体长度等等。
二、资源评估的目的
在生长、长度、重量、繁殖力及渔获组成等生物学资料的基础上，又获得多年的渔获量和捕捞力量的较完整的渔业统计资料，就可利用数学的分析方法，对鱼类或渔业生物的生长、死亡等有关参数进行测定和计算，从而对资源状况进行评价和估计，对渔获量和资源量进行预报，确定合理的或较合适的捕捞强度和捕捞方案。如限定渔获量，限定作业船数或作业次数或作业时间，限定网目大小和鱼体长度等等。
三、渔业资源评估研究的发展简况
鱼类生活史研究的开创者—著名的德国鱼类学家耿克的“繁殖论”。禁捕小于最小长度的鱼。耿克及其支持者认为，由于自然分布区的局限性，某一种群在数量上和组成上的波动是以捕捞强度为转移的，也就是说，加强捕捞会导致“捕捞过度

”，而“捕捞过度”的特点是鱼类“衰落”，亦即鱼群的年龄组成“趋低”和渔获量下降。如果高龄组很多，那么就被认为是鱼类资源“利用不足”的标志，而如果高龄组数量下降，幼龄鱼占优势，则认为是鱼类资源“捕捞过度”，表明资源已经衰退。
稀疏论或生长论的提出者是丹麦学者彼得逊。彼得逊的结论：鱼群应保持这样的状况，其密度不能妨碍其生长，切饵料只要应用于鱼体增长。捕捞使鱼群稀疏，腾出一部分饵料，借以改善未捕出鱼类的索饵条件，也即捕捞对鱼群有利，而渔业本身有受经济因素的影响。捕捞强度减弱，会造成鱼群密度增大，生长速度减慢，因而是鱼群的生产力下降。彼得逊认为，鱼类资源在很大程度上能适应捕捞。如果捕捞加强，资源就稀疏，个体生长加速，年渔获量就增加。但稀疏有一定限度，如果稀疏过分，资源衰退，渔业就会得不偿失了（交配的机会降低）。
约尔特的波动说。渔获量生物统计分析法。他认为借助生物统计法可以测定鱼的平均寿命，并根据其变化的特点查明：鱼群中个体数的增减，并探求经济因子和其他因子是如何影响鱼类资源的。渔获量的变动是因为出现数量众多的丰产世代，鱼群数量起变动的结果。渔业上出现的丰产世代的影响会持续几年，持续时间越长，世代的数量越多，鱼群中个体的寿命也越长。
苏联学者巴拉诺夫首先用数学分析方法研究了捕捞对种群数量的影响，提出计算产量的数学模型，建立了诸如捕捞效率和捕捞强度等概念，用体长分布求算鱼群的年死亡率，把总死亡率分离成有捕捞引起的死亡和自然死亡等方法。
渔业资源数量变动的一般规律
研究资源数量变动的基本单位
种群：Population;种族：Race;亚种群：Subpopulation;群体：Stock;费鸿年将群体的定义概括为：“由可以充分随机交配的个体群所组成，具有时间或空间的升值隔离以及独立的洄游系统，在遗传离散性上保持着个体群的生态、形态、生理形状的相对稳定，是水产资源研究和管理的基本单元”。
第二节资源数量变动的基本原因及其一般规律
一、资源数量变动的基本原因
鱼类本身的生物学特性以及生活环境因素的制约和认为的捕捞因素。鱼类本身的因素包括繁殖、生长和死亡，环境因素包括水温、盐度、饵料生物，种间关系和敌害生物。数量变动是各种因子综合的结果。
繁殖收到种群亲体的繁殖力、产出卵子的受精率以及鱼卵仔鱼的成活率的制约，鱼卵仔鱼的成活率和环境因素是否适宜很有关系。
生长受到种群的密度、年龄组成和外界环境的饵料和水文条件的影响。
捕捞是影响鱼类数量变

动的主要因素之一，适当的捕捞使种群数量减少的部分，由种群补充部分得到补偿而取得平衡。
种群补充程度和减少强度的对比关系变化的结果。
二、资源数量变动的基本模型
英国著名学者Ressell与水产资源学的诞生。
Ressell提出的资源数量变动基本模型的表达式为：
B2 = B1 + R + G – M – r (1.1)
式中B2 、B1分别表示某一期间始末可利用资源群体的资源生物量，R 、 G 、 M和r分别表示补充量、生长量、自然死亡量和产量。
1/B dB/dt=r(B)+g(B)-M(B)-F(f)±φ （1.2）
上式左边为资源生物量的相对变化率；B为可捕资源群体的生物量，或称可捕资源量；r、g和m分别表示补充率、生长率和瞬时自然死亡率（或称自然死亡系数），通常这些参数都是B及其年龄组成的函数；F为瞬时捕捞死亡率（捕捞死亡系数），是捕捞努力量f的函数，φ是随机变化率，是由于外界环境因素的变化而产生的资源生物量的变化率，其大小与B和f无关。
忽略φ，当资源群体处于平衡状态下可得
F(f)=r(B)+g(B)-M(B) （1.3）
平衡渔获量Y = F(f) B等于由于补充和生长而产生的增加量减去由于自然死亡而产生的损失量，即：
Y = F(f)B = 【r(B)+g(B)-M(B)】B (1.4)
补充群体和剩余群体的数量变动
什么是补充群体和剩余群体？有生物学标准和渔业捕捞利用标准。
一次性补充；分批补充；连续补充。
捕捞是引起资源群体剩余部分数量变动的主要因素，影响程度的大小取决于捕捞的强度（包括捕捞工具的数量、性能和捕捞技术以及捕捞作业时间的长短等）。
捕捞对鱼类资源数量变动和渔获数量与
质量所产生的影响
总渔获量在数量上随着捕捞作业的增加而增加，但并不是和捕捞努力量成比例的，假设捕捞努力量增加一倍，被捕鱼类数增加不到一倍。捕捞愈加强烈，低龄鱼被捕的愈多，而且资源中保留下继续生长为高龄鱼的数量愈来愈少，结果资源就衰退。
2009-2-23
鱼类的生长
体长和体重的关系
体长和体重关系表达式
W_(i )=aL_ib （2.1）
式中L_i表示第i体长组或第i年龄组的组中值或平均体长，W_(i )为L_i相对应的平均体重；a、b两常数为待定参数，a称为生长的条件因子，b为幂指数系数。
logWi=loga+blogLi (2.2)
求 a和b的两种方法，一是作图，一是对（2.2）式进行线性回归分析，用最小二乘法估算这两个参数。在分析时数据要有代表性。
为了使体长和体重相互转换时减少误差，可以用函数回归法代替前述的体重对体长的预报性回归。所谓函数回归是Y对X预报性回归与X对Y预报性回归的折中（设Y和X为样品观测值），函数回归直线在两预报性回归直线之间，其函数回归的回归系

数为两预报性回归系数胡几何平均值，其公式为：
B=√((∑?〖(Yi-Y ?)〗^2 )?(∑?〖(Xi-X ?)〗^2 ))
若以Y_i=log?〖W_i 〗,〖 X〗_i=log?〖L_i 〗, Y ?和X ?分别为log?〖W_i 〗和log?〖L_i 〗的平均值，则此直线斜率，即函数回归系数值即为所算的体长、体重关系式的幂指数b;截距由A=Y ?-BX ?式求得，然后取反对数即可估算得条件系数a值。
在用幂函数拟合鱼类等个体的体长与体重关系时，通常其相关性都很好，即使其自由度很大的条件下，一般其线性相关系数r值均在0.95以上，r值在0.99以上者也并不少见。由于函数回归系数和预报性回归系数两者的值仅相差相关数值的倍数（即b_函 〖=b〗_预?|r| ），用此两种方法求算的幂指数b值相当接近。
Richer法：由于许多鱼种的幂指数接近于3，为简化计算，Richer提出，体长与体重关系通过原点，并通过体长体重的联合平均值点，这样就没有必要用回归法估算，只要用很简单的代数式即可估算得条件系数a。
以上就是用幂函数拟合鱼类个体的体长与体重关系。
二、关于幂指数b和条件因子a
绝大多数的幂指数b值都在2.5-3.5之间。
W_(i )=aL_i3 （2.3）
南海北部主要底拖网鱼类的体长与纯重的关系。
由（2.3）式，条件因子a=W/L3。对于一定长度的，体重值与a成正比，因此在饵料基础、水文等环境条件较好，其条件因子a值较大。
肥满度的定义：C=W/L3
三、引用体长与体重的关系式所产生的误差
2009-2-24
四、估计参数a、b的实例
表2-1 北部湾蓝圆鲹体长和体重的实例（费鸿年、张诗全，1990） 单位：mm ,g
样品
序号 1982 1983
体长 体重 体长 体重
1 156 54 158 48
2 166 58 167 52
3 169 60 173 63
4 170 68 175 72
5 174 75 180 77
6 178 82 185 83
7 186 91 187 85
8 205 110 192 92
9 209 114 195 98
10 211 122 200 103
11 215 130 206 110
12 222 140 210 113
13 225 150 215 130
14 228 160 221 145
15 230 170 225 158
16 235 180 229 171
17 236 181 232 175
18 240 220 242 180
19 250 221 247 185
20 260 240 258 220
今年北部湾蓝圆鲹为例估算其体长与体重关系的参数a、b。根据资料，用三种方法进行估算。
（一）回归法 首先根据式2.2用回归法进行估算，得到：1982年参数a=1.0278*10-5,，参数b=3.025，相关系数r=0.9918；1983年参数a=5.5093*10-4，参数b=3.161，相关系数r=0.9934。其自由度f=n-2=18，查相关系数临界值r检验其相关显著性，由表查得当显著水平α=0.01（其置信度为99%）时，r=0.5914；当显著水平α=0.001（其置信度为99.9%）时，r=0.6787。现所求的相关系数r值均大大高于其临界值r，所以体重对体长的相关性极为显著。
由此而得，1982年和1983年的体重与体长关系式如下：
1982年：W_(i )=1.0278×〖10〗^(-5) 〖L_i〗^(3.052)（r=0.9918）

1983年：W_(i )=5.5093×〖10〗^(-6) 〖L_i〗^(3.161)（r=0.9934）
（二）函数回归法 将表2-1的体长和体重资料用函数回归的方法进行处理计算，则可估算得其函数回归系数即为幂指数b:
1982年：b_函 〖=b〗_预?|r| =3.025/0.9918=3.077
截距A=（lnW ?）-b_函(lnL ?)
= 118.71-3.077×5.3277
= -11.6167
a=ln-1A=9.0144×10-6
W_(i )=9.0144×〖10〗^(-6) 〖L_i〗^(3.077)
1983年：b=3.161/0.9934=3.182
A=4.6846-3.182×5.3132
=-12.2219
a=ln-1A=4.92135×10-6
W_(i )=4.92135×〖10〗^(-6) 〖L_i〗^(3.182)
(三) Richer法 此法是假设b=3，并使拟合曲线通过原点和体长、体重联合平均值的简易方法。先算出这一群鱼的平均体长和平均体重，带入公式2.2，即可估算出参数a值。
1983年：平均体长=204.85mm; 平均体重=118.3g,将平均体长和平均体重带入公式2.2得
Log 118.3=log a+3log204.85
则 log a=-4.8613 a=1.3762×10-5
由此可得，1983年北部湾蓝圆鲹体长与体重关系为：
W_(i )=1.3762×〖10〗^(-5) 〖L_i〗^3
1982年同上。
2009-2-25
生长方程
做有目的的选择性的典型取样，以保证从最低年龄到最高年龄组均有一定数量的观测样品。
一、Von Bertalanffy生长方程
在渔业研究中，在建立渔业资源评估模型中，一般均应用Von Bertalanffy生长方程来拟合并描述鱼类的生长规律。因为该方程能阐明鱼类的体长和体重随年龄而变化的规律，可以简单地纳入渔获量方程中并应用到渔业资源评估模型（Bertalanffy-Holt所建立的单位补充量渔获量模型）中，可用最少参数的数据就很容易拟合生长方程。
l_t=l_∞ (1-e^(-K(t-t_0)) ) (2.4)
式2.4为以体长表示的Von Bertalanffy生长方程。体长的增长速度是体长的函数，体长是年龄的函数。


图2-1 体长增长速度和体长的关系
因〖 W〗_t=al_t^3,
W_t=W_∞ (1-e^(-K(t-t_0)) ) (2.5)
式2.5是以重量表示的Von Bertalanffy生长方程渔业资源研究研究中常用此方程。
式中l_∞、W_∞、t_0、K均为Von Bertalanffy生长方程的参数，也称生长参数，其含义分别为：
l_t、W_t-----分别表示生物体在t龄时的体长和体重值;
l_∞、W_∞-----分别表示生物体的渐进体长和渐进体重，也称极限体长、极限体重或最大体长、最大体重；
t_0表示理论上体长和体重等于零的年龄，是一个假定的理论常数。t_0值通常是一个负数，这可以从鱼类生命第一年生长速度相对快以及取样时网目选择性性关系而得到解释；
K-----为生长曲线的平均曲率，表示趋近渐进值的相对速度。
2009-2-26
二、指数生长方程
Ricker(1975)认为：“生长如果是指数的，可以如同死亡率一样的方式处理。”他还认为：“实际上，在鱼的任何很长的生命周期内不是常为指数生

长，但把生长分成短的时距，任何生长曲线可以作为指数生长来对待。”
单位补充量渔获获量模型模型。
设在短时间间隔?t=t_2-t_1时，则可以用下列指数方程来表示其增重率，也称瞬时增长率，以符号G表示其定义是表示某瞬时t时的体重的相对增长率，其表达式为：
G_t=1/W_t ?(dW_t)/dt
则(dW_t)/dt=G_t? dt，即 d(lnW_t )=G_t? dt
解此微分方程得：
lnW_2- lnW_1=G_1 (t_2-t_1 )=G_1??t （2.6）
所以在t_2 到t_1的时间间隔内，其瞬时生长率为：
G_1=（lnW_2- lnW_1）/?t
W_2=W_1 e^(G_1??t)
W_(i+1)=W_i e^(G_i??t) （2.7）
此时G_i的含义是当?t时间间隔内，体重由W_1增长到W_2 时的平均体重增长率，也称第i时间的瞬时生长率。
在应用Ricker资源评估模型时，均以t时间间隔作为单位时间研究其生长、死亡和资源量、渔获量情况，然后再汇总综合。因此均以?t=1进行计算分析。因?t=1，式2.7则改写为:
W_(i+1)/W_i =e^(G_i ) (2.8)
式2.8可计算在任一?t时间内的瞬时生长率G_i。其相对生长率则可由下式求算，设相对生长率为h,则
h=(W_(i+1)-W_i)/W_i =W_(i+1)/W_i -1=e^(G_i )-1 （2.8）
或 e^(G_i )= h+1 （2.9）
例题（见29页）。
三、逻辑斯谛生长方程
逻辑斯谛生长方程是：
dN/dt=rN((K-N)/K) (3.0)
可以将此方程引用来描述鱼类的体长生长。
四、Gompertz生长方程
该方程对于鱼类是一个较好的生长模型。Ricker（1975）认为：Gompertz曲线通常可以很好地描述年龄、重量资料，经常包括早年增长。该生长方程式如下：
L_t=L_∞ e^(〖-ge〗^(-rt) ) (3.1)
式中g、r为常数，L_∞为极限体长，L_t为t龄时的体长。此方程为体长生长方程。
2009-2-27
第三节、生长参数的估算
鱼类的生长方程及其生长参数为计算渔业资源群体的数量变动和确定其资源最适渔获量提供参数，可以用作分析不同生态群体或资源群体的指标之一。这里重点阐述Von Bertalanffy生长方程。
一、Von Bertalanffy生长参数的估算
1.定差图法 此法为几何作图法，也称Walford生长变换法
在坐标的横轴上，从第t龄的体长为基准，依次画出第（t+1）龄的体长，即在横坐标上取1，2，3，4，……….，n龄 的体长，然后在坐标的纵轴上依次取2，3，4，……….，n+1龄的体长值所构成的一系列的点连接起来，这些点大体上排列成直线状，此直线与通过原点斜度为45度的直线相交点所对应的垂直或水平长度，即为极限体长L_∞（即当lt+1=lt时，L_∞处在45度角的直线上），各点所连的直线斜率即为e^(-K)，取其自然对数的负值即可估算得生长参数K值。
利用这一方法还可以用画定差图的方法来修改对体长测定原误差，即将离开直线的点划归直线上，求出正确的生长。

例题：按鲥鱼鳃盖骨上出现的年龄，求得其各龄的平均体长（cm）为：l1=23，l2=43，l3=59，l4=71，l5=85(三谷文夫，1959)。
结合线性回归或解线性方程法画的定差图那将是比较精确的。
如果你有某鱼种的各年龄的实测体重资料，同样也可以用定差图法估算Von Bertalanffy体重生长方程的生长参数极限体重W_∞和K值。但绘图时要注意横坐标的数值应是各年龄体重的1/3次方，纵坐标的相应数值应是高一龄体重的1/3次方，定差上所求的两直线相交点是极限体重的1/3次方，然后将此数值再作3次方即得极限体重，这是对匀速生长的鱼类而言的。若为非匀速生长鱼类，只要将1/3次方改为1/6次方即可。其体重生长参数K值求算和求生长生长参数K的方法相同。
2.用高一龄体长对低一龄体长的线性回归法 对l_t=l_∞ (1-e^(-K(t-t_0)) )进行推导可得：
l_(t+1)=l_∞ （1-e^(-K) ）+e^(-K) l_t (3.2)
上式即为高一龄体长对低一龄体长之间的函数关系。此方程为一元线性方程，l_(t+1) 〖相当于Y，l〗_t相当于X，l_∞ （1-e^(-K) ）相当于截距A，e^(-K)相当欲斜率B，即：
Y= A+ BX (3.3)
若有若干个连续年龄组的实例体长值，就可以将上式看作线性回归方程，即高一龄体长对低一龄体长的线性回归方程。
A〖=l〗_∞ （1-e^(-K) ）=l_∞ （1- B）
B=e^(-K)
由此即可求得该鱼种的极限体长l_∞= A/（1- B）
生长参数K=-lnB
同理，若有各年龄的实测体重值同样可用线性回归法估算体重生长参数。只需将（3.2）式中的l_(t+1)改为〖w_(t+1)〗^(1/3), l_∞改为〖w_∞〗^(1/3), l_t改为〖w_t〗^(1/3),可得：
〖w_(t+1)〗^(1/3)=〖w_∞〗^(1/3) （1-e^(-K) ）+e^(-K) 〖w_t〗^(1/3) （3.4）
回归系数：
A=〖w_∞〗^(1/3) （1-e^(-K) ）
B=e^(-K)
w_∞= A/（1- B）3; K=-lnB

上式适用于匀速生长的鱼类，若是非匀速生长的鱼类，则上式中的3换成b即可。
例如上述鲥鱼的例子，用高一龄体长对低一龄体长的线性回归法，可估算得回归系数A=29.4，B=0.701，其相关系数r=0.9998,回归方程如下：
l_(t+1)= A+ BX=29.4+0.701l_t
其生长参数K=-lnB= K=-ln0.701=0.355
l_∞=29.4/（1-0.701）=98(cm)
3.Gulland法
〖由式 l〗_(t+1)=l_∞ （1-e^(-K) ）+e^(-K) l_t
可得：
〖 l〗_(t+1)-l_t=l_∞ （1-e^(-K) ）+e^(-K) l_t 〖-l〗_t
?l_t=l_∞ （1-e^(-K) ）+l_t （e^(-K)-1）
令K=e^(-K)，则：
?l_t=l_∞ （1-K）+l_t （K-1）
将?l_t看作因变量Y，l_t看作自变量X，l_∞ （1-K）看作截距A，（K-1）看作斜率，即可。Gulland法就是用高一龄体长对低一龄体长差?l_t对低一龄体长l_t的回归。
4.Bayley 法 Bayley提出利用各年龄组的体长和体重资料，单独估算生长参数l_∞和k的方法。
G=bk l_∞?1/l_t -bk (3.5)
上式即为Bayley 所导出的体重增长

率对1/l_t 的线性回归方程，其回归系数A=-bk，B= bk l_∞。当G=0时，即可把k和l_∞分别估算出来。
5.代数法
〖 l〗_(t+1)=A+Bl_t
基本公式
6.估算t0 将Von Bertalanffy生长方程进行处理可得：
t_0=1/k ln?〖((l_∞-l_t)/l_∞ )+t〗 (3.6)
由（3.6）式可知，如果已知各年龄的平均体长，并已估算出k和l_∞值，可用上式估算每一年龄的t_0值。
因此，要分布特点t_0人，最好是用年龄小，但又全面补充的年龄组进行估算。然后取各龄所求t_0的平均值。
t_0=(∑_(n=1)^k?(t_0 )_n )/k (3.7)
上式中t_0为各龄组分别代入式（3.6）所计算的估算值，k为年龄组数。
估算t0的线性回归法：将Von Bertalanffy生长方程进行处理可得：
ln(l_∞-l_t )=ln?〖l_∞+kt_0 〗-kt (3.8)
上式为ln(l_∞-l_t )对t的回归方程，ln(l_∞-l_t )相当于纵坐标，t相当于横坐标。A=ln?〖l_∞+kt_0 〗，B=-k。若已知各年龄的体长值，并已求得极限体长，则可用回归法估算出A和B，即可求得t0
估算t0的解联立方程法的代数法：
ln(l_∞-l_t )=ln?〖l_∞+kt_0 〗-kt
A=ln?〖l_∞+kt_0 〗，B=-k
若掌握了各年龄组的体重资料，也可用上述同样的方法分布特点体重生长参数t_0等值。
种群生长常受到种群密度、环境温度、饵料和性成熟等影响。
2009-2-28
二、逻辑斯谛生长参数的估算
估算逻辑斯谛生长参数有几何作图法和直线回归法。
几何作图法是和估算Von Bertalanffy生长参数方法相似的定差图法。
估算参数的回归法所用的回归方程由基本方程推导而来，其式如下：
1/l_(t+1) =1/l_∞ (1-e^(-r) )+e^(-r)/l_t (3.9)
（3.9）即为1/l_(t+1) 对1/l_t 的线性回归方程。其回归常数A为1/l_∞ (1-e^(-r) )，回归系数B为e^(-r)。则
l_∞=(1-B)/A
r=-ln?B
至此逻辑斯谛的体长生长参数r和l_∞即可估算得。至于生长参数a则可通过不同年龄的l_t值和已求得的r和l_∞值代入原始式分别求得各年龄组的a值，然后取平均获得。通常用线性回归法进行估算，将原始式变换后可得：
ln?〖(l_∞/l_t -1)=a-〗 rt (4.0)
该方程是ln?(l_∞/l_t -1)对年龄t的线性负相关回归方程，其回归系数为r，回归常数即为所求的参数a值。因参数r和l_∞已由式(3.9)
求得，又已知各年龄体长值l_t，因此按式(4.0)用回归法估算也很方便。
三、Gompertz生长参数的估算
对Gompertz生长方程整理后可得：
ln?〖(ln?〖l_∞/l_t 〗 )=ln?〖g-rt〗 〗 (4.1)
（4.1）式ln?(ln?〖l_∞/l_t 〗 )对年龄t的线性回归方程，如果我们已掌握各年龄组的平均体长资料。
2009-2-29
四、用试值法估算生长参数
所谓的试值法（借住电子计算机）就是用不同的l_∞值代入由各类生长方程变换后的线性回归方程，进行回归分析，经反复

计算筛选，以选择出最佳的l_∞值和相应的其他生长参数值。如用以往的方法估算l_∞时，无法知道所选用的l_∞值是否为最佳值，以致影响其他参数的估计。
试值法的具体步骤是：已知各年龄的体长值，选取一定区间的长度值作为l_∞的选择范围。这一区间的下限可选择样品中的最大体长值（l_max）代入变换后的回归方程式，然后选取一定大小的步长，这样先将l_t、t和l_∞值代入该回归方程，得到第一个相关系数r_1; l_t和t值不变，令l_∞=l_max+步长，再代入回归方程，得到第二个相关系数r_2。这样一直变换l_∞，直到选出最大的r值为止，最后所得到的l_max所对应的 l_∞值即为最佳l_∞值。其别处两个对应的参数也因此求得。
用最小二乘法来估算生长参数。
第四节、生长速度、加速度和生长拐点
鱼类的生长速度的含义，也称为生长率。
一、按Von Bertalanffy生长模型
对Von Bertalanffy生长方程求导，即可求得其体长生长速度和加速度随年龄t变化曲线的方程。其体长生长速度的表达式如下：
(dl_t)?(dt=kl_∞ ) e^(-k(t-t_0 ) )
其体长生长加速度的表达式如下：
(d^2 l_t)?(dt^2=-k^2 l_∞ ) e^(-k(t-t_0 ) )
Von Bertalanffy体长生长曲线没有拐点。
等速生长鱼类的Von Bertalanffy生长曲线的拐点的年龄为：
t_tp=ln?3/k+t_0
异速生长的鱼类的体重生长拐点年龄为：
t_tp=ln?b/k+t_0
2009-3-1
二、按逻辑斯谛生长模型
其体长生长速度的表达式为：
(dl_t)/dt=(rl_∞ e^(a-rt))/(1+e^(a-rt) )^2
其体长生长加速度的表达式为：
(d^2 l_t)/(dt^2 )=(rl_∞ e^(a-rt))/(1+e^(a-rt) )^3 (1+e^(a-rt) )
令(d^2 l_t)?(dt^2 )=0，即可求得其体长生长拐点。因
〖e^(a-rt)〗_(t p)=0,
则体长生长拐点年龄为：
t_(t_p )=a/r
求得拐点体长
l_tp=0.5l_∞
体重生长拐点年龄为：
t_(t_p )=(a+ln?b)/r
若为等速生长的鱼类，即b=3，则其拐点体重为：
w_tp=0.422w_∞
三、按Gompertz生长模型
其体长生长速度的表达式为：
(dl_t)/dt=l_∞ g^(re^(-rt) )?e^(-ge^(-rt) )
其体长生长加速度的表达式为：
(d^2 l_t)/(dt^2 )=l_∞ gr^2 e^(-rt)?e^(-ge^(-rt) )?（ge^(-rt)-1）
令(d^2 l_t)?(dt^2 )=0，即可求得其体长生长拐点。
t_(t_p )=ln?g/r
其体重生长速度的表达式为：
(dw_t)/dt=w_∞ b gre^(-rt)?e^(-bge^(-rt) )
其体重生长加速度的表达式为：
(d^2 w_t)/(dt^2 )=w_∞ b gr^2 e^(-rt)?e^(〖-bg〗^(-rt) ) (b ge^(-rt)-1)

令(d^2 w_t)/(dt^2 )=0，即可求得其体长生长拐点。
t_(t_p )=((ln?〖bg)〗)/r
其拐点体长：
l_tp=0.3679l_∞
其拐点体重：
w_tp=0.3679w_∞
无论是等速生长还是异速生长的鱼类，生长曲线的拐点体重均为
w_tp=0.3679w_∞
第五节、体长-年龄换算
可借鉴自己以往对该资源群体或其他学者对该资源群体所作的年龄鉴

定研究得出的结论，即按其各年龄的平均体长和体长分布标准差，通过体长-年龄换算的方法，将体长组成换算为年龄组成。
一、鱼类各年龄的体长组成的概率分布