03机械优化设计第三章(哈工大—孙靖民)
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步骤：
1）选定初始点a1，初始步长h=h0，计算y1=f(a1)和y2=f(a1+h) 2）比较y1和y2； a）如果y1>y2，向右前进，加大步长h=2h0，转（3）向前； b）如果y1<y2，向左后退， h=-2h0，将a1和a2,y1和y2的值互 换。转（3）向后探测； c）如果y1=y2，极小点在a1和a1+h之间。 3）产生新的探测点a3=a2+h，y3=f(a3)；
第三章 一维搜索方法
3-1 概述 3-2 搜索区间的确定与区间消去法原理 3-3 一维搜索的试探方法 3-4 一维搜索的插值方法
2020年8月14日9时9分
§3-1 一维搜索的概念
当采用数学规划法寻求多元函数的极值点时，一般要进行 一系列如下格式的迭代计算：
X k1 X k k d k (k 0,1, 2 )
先确定 k 所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理 不断缩小此区间，从而获得 k 的数值近似解。
一维搜索一般分为两大步骤： (1)确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数 极小点在内的单谷区间。 (2)在单谷区间[a,b]内通过缩小区间寻找极小点。
一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对于解决一 维最优化问题具有实际意义，而且也是求解多维最优化 问题的重要支柱。
④ 求得最优步长 (k ) [f (x(k ) )]T S (k )
[S (k ) ]T G(x(k ) )S (k )
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解析解法对于函数关系复杂、求导困难等情况难以 实现。在实际优化设计中，数值解法的应用更为有效， 且适合计算机的运算特点。 数值解法基本思路：
这里是直接利用函数 而不需要把它化成步长因
子 。的函数 。不过，此时需要计算
点
处的梯度
和海赛矩阵 。
解析解法的缺点——需要进行求导计算。
对于函数关系复杂、求导困难或无法求导的情况，使
用解析法将是非常不便的。
因此，在优化设计中，求解最佳步长因子 主要采用数值 解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近 似值。
' ( *) 0 求 *
一维搜索方法数值解法分类
试探法 插值法
一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对 于解决一维最优化本身具有实际意义，而且也 是解多维最优化问题的重要支柱。
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f ( xk1) f ( xk k sk ) (k )
1. 解析法： 步骤: ① f(X(k) + αS(k) ) 沿S(k) 方向在x(k) 点进行 泰勒展开； ② 取二次近似：
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4）比较函数值y2和y3： a）如果y2>y3 ，加大步长h=2h，a1=a2,a2=a3,转（3）继 续探测； b）如果y2<y3，则初始区间得到： a=min[a1,a3],b=max[a1,a3]，函数最小值所在区间为 [a,b]。
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数值解法的基本思路是：首先确定 所在的搜索区间， 然后根据区间消去法原理不断缩小此区间，从而获得 的数值近似解。
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一维搜索是优化搜索方法的基础。
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一维搜索方法解析法高等数学已学过， 即利用一维函数的极值条件：
单谷区间
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说明：单谷区间内，函数可以有不可微点，也 可以是不连续函数；
f (x)
0 α1
f (x)
α
α3
0
α1
α3
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外推方法
基本思想：对 f (x)任选一个初始点 a1 及初始步长 h ，
通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这 三点的函数值大小，确定是否为“高—低—高”形态。
右图表示沿 的正向试探。
每走一步都将区间的始点、 中间点沿试探方向移动一
y1
y2→y1 y3→y2
步（进行换名）。经过三
步最后确定搜索 1,3
是仅以步长因子为变量的一元函数，而不是
以设计点 x 为变量的多元函数 f (x) 。
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为了直接利用
的函数式求解最佳步长因子 。可把
或它的简写形式 到二阶项，即
进行泰勒展开，取
将上式对 进行微分并令其等于零，给出 极值点 应满足的条件
从而求得
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f x(k) S(k) f (x(k)) [f (x(k))]T S(k) 1 2[S(k)]T G(x(k))S(k) 2
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③ 对α求导，令其为零。
d f ( x(k ) S (k ) ) 0 d
[f (x(k ) )]T S (k ) [S (k ) ]T G(x(k ) )S (k ) 0
当方向 d k 给定，求最佳步长 k 就是求一元函数
f x k1 f xk kd k k
的极值问题。这一过程被称为一维搜索。
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求多元函数极值点，需要进行一系列的一维搜索。 可见一维搜索是优化搜索方法的基础。
求解一元函数 ( ) 的极小点 * ，可采用解析解 法，即利用一元函数的极值条件 '( *) 0 求 * 在用函数 ( ) 的导数求 * 时，所用的函数( )
从
开始，以初始步长 向前试探。
如果函数值上升，则步长变号，即改变试探方向。
如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。
区间的始点、中间点依次沿试探方向移动一步。
此过程一直进行到函数值再次上升时为止，即可找到搜索区
间的终点。Biblioteka Baidu
最后得到的三点即为搜索区间的始点、中间三点和终点，形 成函数值的“高－低－高”趋势。
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§3-2 搜索区间的确定与区间消去法原理
1、确定搜索区间的外推法
在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极小点）的 函数称为单谷函数，其区间称为单谷区间。
函数值：“大—小—大” 图形：“高—低—高” 单谷区间中一定能求得一个极小点。
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1）选定初始点a1，初始步长h=h0，计算y1=f(a1)和y2=f(a1+h) 2）比较y1和y2； a）如果y1>y2，向右前进，加大步长h=2h0，转（3）向前； b）如果y1<y2，向左后退， h=-2h0，将a1和a2,y1和y2的值互 换。转（3）向后探测； c）如果y1=y2，极小点在a1和a1+h之间。 3）产生新的探测点a3=a2+h，y3=f(a3)；
第三章 一维搜索方法
3-1 概述 3-2 搜索区间的确定与区间消去法原理 3-3 一维搜索的试探方法 3-4 一维搜索的插值方法
2020年8月14日9时9分
§3-1 一维搜索的概念
当采用数学规划法寻求多元函数的极值点时，一般要进行 一系列如下格式的迭代计算：
X k1 X k k d k (k 0,1, 2 )
先确定 k 所在的搜索区间，然后根据区间消去法原理 不断缩小此区间，从而获得 k 的数值近似解。
一维搜索一般分为两大步骤： (1)确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数 极小点在内的单谷区间。 (2)在单谷区间[a,b]内通过缩小区间寻找极小点。
一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对于解决一 维最优化问题具有实际意义，而且也是求解多维最优化 问题的重要支柱。
④ 求得最优步长 (k ) [f (x(k ) )]T S (k )
[S (k ) ]T G(x(k ) )S (k )
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解析解法对于函数关系复杂、求导困难等情况难以 实现。在实际优化设计中，数值解法的应用更为有效， 且适合计算机的运算特点。 数值解法基本思路：
这里是直接利用函数 而不需要把它化成步长因
子 。的函数 。不过，此时需要计算
点
处的梯度
和海赛矩阵 。
解析解法的缺点——需要进行求导计算。
对于函数关系复杂、求导困难或无法求导的情况，使
用解析法将是非常不便的。
因此，在优化设计中，求解最佳步长因子 主要采用数值 解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最佳步长因子的近 似值。
' ( *) 0 求 *
一维搜索方法数值解法分类
试探法 插值法
一维搜索也称直线搜索。这种方法不仅对 于解决一维最优化本身具有实际意义，而且也 是解多维最优化问题的重要支柱。
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f ( xk1) f ( xk k sk ) (k )
1. 解析法： 步骤: ① f(X(k) + αS(k) ) 沿S(k) 方向在x(k) 点进行 泰勒展开； ② 取二次近似：
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4）比较函数值y2和y3： a）如果y2>y3 ，加大步长h=2h，a1=a2,a2=a3,转（3）继 续探测； b）如果y2<y3，则初始区间得到： a=min[a1,a3],b=max[a1,a3]，函数最小值所在区间为 [a,b]。
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数值解法的基本思路是：首先确定 所在的搜索区间， 然后根据区间消去法原理不断缩小此区间，从而获得 的数值近似解。
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一维搜索是优化搜索方法的基础。
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一维搜索方法解析法高等数学已学过， 即利用一维函数的极值条件：
单谷区间
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说明：单谷区间内，函数可以有不可微点，也 可以是不连续函数；
f (x)
0 α1
f (x)
α
α3
0
α1
α3
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外推方法
基本思想：对 f (x)任选一个初始点 a1 及初始步长 h ，
通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这 三点的函数值大小，确定是否为“高—低—高”形态。
右图表示沿 的正向试探。
每走一步都将区间的始点、 中间点沿试探方向移动一
y1
y2→y1 y3→y2
步（进行换名）。经过三
步最后确定搜索 1,3
是仅以步长因子为变量的一元函数，而不是
以设计点 x 为变量的多元函数 f (x) 。
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为了直接利用
的函数式求解最佳步长因子 。可把
或它的简写形式 到二阶项，即
进行泰勒展开，取
将上式对 进行微分并令其等于零，给出 极值点 应满足的条件
从而求得
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f x(k) S(k) f (x(k)) [f (x(k))]T S(k) 1 2[S(k)]T G(x(k))S(k) 2
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③ 对α求导，令其为零。
d f ( x(k ) S (k ) ) 0 d
[f (x(k ) )]T S (k ) [S (k ) ]T G(x(k ) )S (k ) 0
当方向 d k 给定，求最佳步长 k 就是求一元函数
f x k1 f xk kd k k
的极值问题。这一过程被称为一维搜索。
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求多元函数极值点，需要进行一系列的一维搜索。 可见一维搜索是优化搜索方法的基础。
求解一元函数 ( ) 的极小点 * ，可采用解析解 法，即利用一元函数的极值条件 '( *) 0 求 * 在用函数 ( ) 的导数求 * 时，所用的函数( )
从
开始，以初始步长 向前试探。
如果函数值上升，则步长变号，即改变试探方向。
如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。
区间的始点、中间点依次沿试探方向移动一步。
此过程一直进行到函数值再次上升时为止，即可找到搜索区
间的终点。Biblioteka Baidu
最后得到的三点即为搜索区间的始点、中间三点和终点，形 成函数值的“高－低－高”趋势。
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§3-2 搜索区间的确定与区间消去法原理
1、确定搜索区间的外推法
在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极小点）的 函数称为单谷函数，其区间称为单谷区间。
函数值：“大—小—大” 图形：“高—低—高” 单谷区间中一定能求得一个极小点。
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