吉林大学出版社高职高专《高等数学》第03章

x 1
教材P53
36
二、复合函数的求导法则
定理 如果函数 y f (u) 在点 u 可导，函数
u g(x) 在点 x 可导，则复合函数 y f [g(x)]在点
x
也可导，且{ f [g(x)]}

f
(u)g(x)
或
dy dx

dy du

du dx
．
注意: 符号 [ f ((x))] 表示复合函数 f ((x)) 对自变量 x
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
19
四、导数的几何意义
几何意义：
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
y f (x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率,即

f ( x0 ) tan , (为倾角)o
lim
x 0
y

lim[
x 0
f
( x0
)x

x]

0
函数 f ( x)在点 x0连续 . 22
注意: 该定理的逆定理不成立. ★ 如果函数在某点不连续，那么函数在
该点肯定不可导。 ★ 对于分段函数在分段点处的可导性一
定要用导数的定义来判断。
23
24
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
15
三、求导数举例
由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f′(x)，可以分为以下三个步骤：
(1)求增量：Δ y=f(x+Δ x)－f(x)；
下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数．
16
【例1】求函数y C（C为常数）的导数． 解（1）求增量：y C－C 0；
（2）算比值：y 0； x
f (x0 ) ＝ f (x ) |xx0 ． 导数在工程技术中常叫做变化率，y 表示函
x
数 y f (x) 在区间[x0 , x0 x]上的平均变化率，而 f (x0 ) 表示函数 y f (x) 在点 x0 处的变化率，它反 映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度．
13
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
f(
x0
)

lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
14
左导数和右导数统称为单侧导数． 若函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内可导，且在左端 点存在右导数 ,右端点存在左导数,即 f(a) 及 f(b) 都存在，就说 f (x) 在闭区间[a,b] 上可导． 函数 f (x) 在点 x0 的可导的充要条件是函数 f (x) 在点 x0 的右导数和左导数都存在且相等，即 f(x0 ) ＝ f(x0 ) ．
2. f (x0 ) a
f(x0 ) f(x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 一些简单的求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
2
(14)
(arc
c
ot
x)


1
1 x
2
32
例 求 y sec x 的导数 .
解 y (sec x) ( 1 )
cos x

(cos cos 2
x) x

sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
33
(x3)' 3x2
一般地，有：(x ) ' x 1
18
例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 2 cos(x h)
h0
2
lim cos(x h)
h0
30
基本初等函数的求导公式 教材P53
31
熟练掌握14个基本公式
(1) (C) 0（ C 为常数）（2）(x ) x1（ 为任意实数）
（3） (a x ) a x ln a （4） (e x ) e x
（5） (loga
x)

1 x ln
a
（7） (sin x) cosx
导数值 f (x) ，这样确定的新函数称之为函数
y f (x) 的导函数，记作
f
( x)
，
y
，
dy dx
，或
df (x) dx
，即
f (x
y
)
＝
lim
x0
x
＝ lim x0
f (x x) x
f (x)
.
12
函数 y f (x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) ，就是导 函数 f (x ) 在点 x x0 处的函数值，即
（6）
(ln
x)

1 x
（8） (cosx) sin x
(9） (tan x) sec2 x
（10） (cot x) csc2 x ．
(11) (arcsin x)
1 1 x2
(12)
(arccos x)
1 1 x2
(13)
(arc
tanx)

1
1 x
x0
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
1
y
y0


f
(x ( x0 )

x0 ).
T
x
20
【例4】求过曲线 y 3x2上点(2,12)的切线和法线方程。 【解】f '(x) (3x2 ) ' 6x k =f '(2) 12 切线：y 12 12(x 2)， 整理得：12x y 12 0. 法线：y 12 1 (x 2)，
= x3 3x2x 3x(x)2 (x)3 x3
f '(x) lim y lim fx
lim 3x2x 3x(x)2 (x)3
x0
x
lim (3x2 3xx (x)2 ) 3x2 x0
如果极限 lim y 不存在， 就说函数 y f (x) 在点
x0 x
x0 处不可导． 若函数 y f (x) 在开区间 I 内每一点都可导，
则称函数 y f (x) 在开区间 I 内可导．
11
若函数 y f (x) 在开区间 I 内可导，则对应
于 I 中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的
看左右导数是否存在且相等.
27
课堂练习 教材 P51 习题3-1 3、4、5、
28
第二节 函数的求导法则
一、导数的四则运算 二、复合函数的求导法则 三、隐函数的求导法则 四、反函数的求导法则 五、参数方程所确定的函数的导数
29
一、导数的四则运算
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
（3）取极限：y lim f (x x) f (x) = lim y 0
x0
x
x0 x
故C 0，这就是说常数的导数等于零．
f '(x) C lim y 0.
x0 x
17
【例2】求幂函数 y f (x) x3的导数。
【解】y f (x x) f (x) (x x)3 x3
第三章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 相关变化率 第五节 函数的微分
1
导数与微分
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s

1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
4
2.切线问题
M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点 N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋 转而趋于极限位置M， 直线MT就称为曲线C 在点M处的切线．
12 整理得：x 12 y 146 0.
21
五、可导与连续的关系
定理 如果函数 f (x) 在 x0 处可导，则函数
f (x) 在 x0 处连续．
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 )
y x

f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
y
x x0
x x0
y f (x)
N
T
C MM

o
x0
xx
6
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化 率
1 ( x3 4cos x sin1) x (3 x2 4sin x ) 2x
y
x 1

1 2
(1 4cos1 sin1)
(3 4sin1)
7 7 sin1 2 cos1 22
35
【例1】求 y 3x 3 x 2 5的导数. 【例2】 求 y x 2 sinx 的导数. 【例3】 求 y x lnx 6x 2 co s x 的导数. 【例4】 求 y x 1的导数 .
单侧导数
如果极限
lim f (x0 x) f (x0 ) 及 lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
x0
x
存在，则极限值分别称为函数 f (x) 在点 x0 处的左导数 和右导数，记作 f(x0 ) 及 f(x0 ) ，即
， ． f(x0
)

都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
2
第一节 导数的概念
一、导数概念的两个引例 二、导数的定义 三、求导数举例 四、导数的几何意义 五、函数可导性与连续性的关系
3
一、导数概念的两个引例(略讲)
1. 变速直线运动的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s t
f (t0 )
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
10
5
极限位置即
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
例. 求证
证:
(tan
x)


sin cos
x x

(sin
x)cos x sin cos 2 x
x (cos x)

cos 2 x sin2 x cos 2 x
sec2 x
(csc
x)


1 sin
x


(sin sin 2
x) x

cos x sin 2 x
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题

7
二、导数的定义
8
dy 或 df(x )
dx x x0
dx x x0
即
f
'(x0 )

lim
x0
y x

lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
其它形式
9
运动质点的位置函数 s f (t)
求导数，而符号 f ((x))表示复合函数 f ((x)) 对 中间变量 u (x) 求导数
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
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例. 已知 y x ( x3 4cos x sin1) ,
解: y ( x ) ( x3 4cos x sin1)
x ( x3 4cos x sin1)