2射影几何学解析

K
xw
t



yw zw

1
这是忽略畸变的线性成像模型
xc

yc

zc


R 0T3
1
xw
t 1

yw xw

1
P K[R t]
f s u0
K 0 r f
v0



t11, , t(n1)1,
,
t1( n 1)
t ( n 1)( n 1)
xxx10n




P'
T
P
❖ T 的行列式非零, 则它是一个非退化的
射影变换, 否则是个退化的射影变换.
例如: L，L' 是两条射影直线, 让 Pi 与 Pi'
对应, 其中 Pi 与 Pi' 的连线都交于一点, 则 这个映射是一个 1 维射影变换. (透视或 中心射影)
L’
O
B
P3’
P2’
A
P1’
P0 P1
P2
P3 L
❖ 照相机的成像过程是一个从3维空间到2
1.rank([v] ) 2 2.[v] v 0, vT [v] 0 3. yT [v] y 0
两点、两线的叉积
l p1 p2 p l1l2
共线点的交比（Cross-ratio）
❖ 直线坐标系：
p1, p2 p up1 vp2 pˆ (u, v)T
线性摄像机成像模型
图像像素坐标系
图像物理坐标系
摄像机坐标系
世界坐标系
u fu
v



0
1 0
fu cot fv / sin
0
u0 x
v0


y

1 1
x f

y
1

1 zc

0
0
0 f 0
摄像机矩阵元素的几何意义
p1T
P K[R t] : [H
p4 ] : [ p1
p2
p3
p4
]
:

p
2T

p3T
➢主平面：p3T
➢轴平面:p1T,p2T
➢主轴:det(H)h3
➢主点:Hh3
鱼眼镜头
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
全向摄像机
射影几何学简介
0 0 1
0 0 0
xc

yc

zc
1

最终得到： 图像像素坐标系
世界坐标系
u ffu ffu cot u0
zc
v



0
ffv / sin v0 R
1 0 0 1
空间无穷远平面 (0,0,0,1)T
P1 R1 p P2 R2 l
P3 R3
无穷远点的像
叉积（×）
v ( x, y, t)T
0 t y
[v]


t
0
x
y x 0
x1 x2 [ x1] x2 x2 x1 性质：
射影空间
对 n 维欧氏空间加入无穷远元素, 并对有限
元素和无穷远元素不加区分, 则它们共同构成 了 n 维射影空间.
平面无穷远点p (x, y,0)T , x, y至少有一个非零 平面无穷远直线l (0,0,1)T 空间无穷远点P (x, y, z,0)T , x, y, z至少有一个非零
交比不依赖 于参数化的 选择。
调和共轭
p3 p1 1 p2 , p4 p1 2 p2
( p1,
p2 ;
p3 ,
p4 )

1 2
若( p1, p2; p3 , p4 ) 1，则称p1, p2与p3 , p4成调和共轭。
射影变换
记
S
n
,
S
' n
是两个由点组成的射影空间,
摄像机矩阵元素的几何意义
P K[R t] : [H
❖ 光心： C~ RTt
PC 0
p1T
p4 ] : [ p1
p2
p3
p4
]
:

p
2T

p3T
C



H 1 1
p4

❖ 世界坐标系的坐标原点：其图像点为p4 ❖ 世界坐标系的坐标轴方向的消失点：p1，p2，p3
pˆ1 (1,0)T , pˆ 2 (0,1)T
(
p1,
p2 ;
p3 ,
p4
)

det( pˆ1, det( pˆ 2 ,
pˆ 3 ) pˆ 3 )
:
det( pˆ1, det( pˆ 2 ,
pˆ 4 ) pˆ 4 )
det( pˆ1, pˆ 3 )det( pˆ 2 , pˆ 4 ) det( pˆ1, pˆ 4 )det( pˆ 2 , pˆ 3 )
主要内容
一． 叉积(×) 二． 交比、调和共轭 三． 射影变换 四． 二次曲线及其对偶 五． 对极关系 六． 圆环点 七． 绝对二次曲线
为什么要学习射影几何？
❖ 照相机的成像过程是一个(退化的)射影 变换(透视或中心射影)的过程：
物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。
几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持
T 是由
Sn 到
S
' n
的映射. 如果 T 保持:
(i) 点和直线的结合关系. 比如: 点在直线上;
直线通过点; 等等.
(ii) 共线的四个点的交比.
则T 被叫作 n 维射影变换.
❖ 点用齐次坐标表示, 则射影变换可用一个 (n+1)×(n+1) 的矩阵表示:
x1'


xn'

x0'
不变的性质的学科。
➢Euclid（约公元前330-275）,《原本》，研究在欧 氏变换(旋转和平移)下保持不变的性质（欧氏性质） 的几何，是欧氏几何。比如长度、角度、平行性等
都是欧氏性质。
➢Pappus(约公元3世纪)，提出交比等概念，射
影几何萌芽
➢Desargues(1591-1661), 引入无穷远元素，透视定 理，交比、调和不变，极点、极线，创立射影几何。
0 0 1
焦距 focus length 主点 principal point 尺度因子 scale factor 倾斜因子 skew faቤተ መጻሕፍቲ ባይዱtor
估计内参数Ｋ(5DOF)：Camera Calibration
估计外参数R, t(6DOF): Pose Estimation; Pose Determination