高数空间解析几何学向量及其运算

2

, k 14
70 2
.
15
例 8
设 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是 平 面 Ax By Cz D 0
外 一 点 ， 求 P0 到 平 面 的 距 离 .
n
解 P1 ( x 1 , y 1 , z 1 )
Pr j n P1 P0 P1 P0 n
, ,
^ cos( L , L
1
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
2
m 2 n2 p2
2
2
2
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1 ) (2) L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
y0 z0 2 0 取 x0 1 , y0 3 z0 6 0
解得 y 0 0 ,
z0 2
点坐标 ( 1 , 0 , 2 ),
因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
s n 1 n 2 { 4 , 1 , 3 },
10
4. 两平面的夹角
两平面法向量之间的夹角即为两平面的 （通常取锐角） 夹角.
n2
n1
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,


2

2
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 , n 1 { A 1 , B 1 , C 1 },

2 4

1 2

1 2
,
两平面平行
2
M ( 1 ,1 , 0 ) 1
M ( 1 ,1 , 0 )
两平面平行但不重合．
(3)
2 4

1 2

1 2
,
两平面平行
M ( 1 ,1 , 0 )
2
M ( 1 ,1 , 0 ) 1
两平面重合.
14
对称式方程
x 1 4

y 0 1

z 2 3
,
x 1 4t . 参数方程 y t z 2 3t
例 2 一 直 线 过 点 A ( 2 , 3 , 4 ) ， 且 和y 轴 垂 直 相 交，求其方程.
解
因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ),
z
s
M
L
M0
o
M ( x , y , z ),
y
M L,
s { m , n , p },
M 0M
//
s
x
M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m

y y0 n

z z0 p
直线的对称式（点向 式）方程
x x 0 mt y y 0 nt z z 0 pt
令
直线的参数方程
t
例1
用点向式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0
解
在直线上任取一点 ( x 0 , y 0 , z 0 )
所求平面方程为
10 ( x 1 ) 15 ( y 1 ) 5 ( z 1 ) 0 ,
化简得
2 x 3 y z 6 0.
3
2. 一般式
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax

A ( x0 x1 ) A B C
2 2 2

B ( y 0 y1 ) A B C
2 2 2

C ( z 0 z1 ) A B C
2 2 2

Ax 0 By 0 Cz 0 ( Ax 1 By 1 Cz 1 ) A B C
2 2 2
,
16
Ax 1 By 1 Cz 1 D 0
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
// 2
A1 A2

B1 B2

C1 C2
.
12
例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1 ) x 2 y z 1 0 , (2) 2 x y z 1 0, (3) 2 x y z 1 0, y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
aA D 0 , 将三点坐标代入得 bB D 0 , cC D 0 ,
A
D a
,
B
D b
,
C
D c
.
7
3. 截距式
将A
D a , B D b , C D c ,
代入所设方程得
x a y b z c 1 平面的截距式方程
取 s BA { 2 , 0 , 4 },
所求直线方程
x 2 2

y 3 0

z 4 4
.
2. 两直线的夹角
即为两直线的方向向量的夹角（锐角）
直线 L 1 :
直线 L 2 :
x x1 m1 x x2 m2
)

y y1 n1 y y2 n2

z z1 p1 z z2 p2
//
L 2
m1 m2

n1 n2

p1 p2
,
例如， 直线 L 1 : 直线 L 2 :
s1 s 2 0 ,
s 1 { 1 , 4 , 0 }, s 2 { 0 , 0 ,1 }, s1 s 2 ,
即 L1 L 2 .
例 3
求 过 点 (3, 2, 5) 且 与 两 平 面 x 4 z 3 和
Pr j n P1 P0
d
( P1 )
,
Ax 0 By 0 Cz 0 D A B C
2 2 2
| Ax0 By0 Cz0 D | A B C
2 2 2
.
点到平面距离公式
17
二、空间直线的方程
1. 方程
空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
解
(1 )
cos
| 1 0 2 1 1 3 | ( 1) 2 ( 1)
2 2 2
1 3
2
2
cos
1 60
两平面相交，夹角
arccos
1 60
.
13
(2)
n 1 { 2 , 1 , 1 },
n 2 { 4 , 2 , 2 }
例7：
若 平 面 x ky 2 z 0 与 平 面
2 x 3 y z 0的夹角为
4
4
， 求k ?
解：
cos

| 1 2 k ( 3 ) 2 1 | 1 k ( 2 )
2 2 2
2 ( 3 ) 1
Biblioteka Baidu2 2
2
,
1 2

| 3k | 5 k
解
设平面为 Ax By Cz D 0 , 由平面过原点知 D 0 ,
由 平 面 过 点 ( 6 , 3 , 2 ) 知
6 A 3 B 2C 0
n { 4 , 1 , 2 },
4 A B 2C 0
A B
2 3
C,
2 x 2 y 3 z 0.
2
例 2 求 过 点 ( 1 ,1 ,1 ) ， 且 垂 直 于 平 面 x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的 平 面 方 程 .
解
n 1 { 1 , 1 , 1 },
n 2 { 3 , 2 , 12 }
取法向量 n n 1 n 2 { 10 , 15 , 5 },
C ( 0 ,2 ,3 ) 的 平 面 方 程 .
解
AB { 3 , 4 , 6 } AC { 2 , 3 , 1 }
取 n AB AC { 14 , 9 , 1 },
所求平面方程为 14 ( x 2 ) 9 ( y 1 ) ( z 4 ) 0 , 化简得 14 x 9 y z 15 0 .
类似地可讨论 B 0 , C 0 情形.
( 3 ) A B 0 , 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0 , B C 0 情形.
5
例 3 设 平 面 过 原 点 及 点 ( 6 , 3 , 2 ) ， 且 与 平 面
4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
2
z
1
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0

2
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
L
o
y
空间直线的一般方程
x
直线的方向向量 如果一非零向量平行于 一条已知直线，则此向量称 为这条直线的方向向量．
6
所求平面方程为
例 4
设 平 面 与 x , y , z 三 轴 分 别 交 于 P ( a ,0 ,0 ) 、
Q ( 0 , b ,0 ) 、 R ( 0 ,0 , c ) （ 其 中 a 0 ， b 0 ， c 0 ） ，
求此平面方程.
解
设平面为 Ax By Cz D 0 ,
必有 M 0 M n M 0 M n 0 M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
1
平面的 点法式 方程
例 1 求 过 三 点 A ( 2 , 1 ,4 ) 、 B ( 1 , 3 , 2 ) 和
0
By
0
Cz 0 ) 0 D
Ax By Cz D 0 ：平面的一般方程
法向量
n { A , B , C }.
另外，任何三元一次方程都是一个平面。
4
平面一般方程的几种特殊情况：
(1 ) D 0 ,
平面通过坐标原点；
平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴；
D 0, (2) A 0, D 0,

0
d | Pr j n P1 P0 | P1
, A C
2
P0
N
P1 P0 { x 0 x 1 , y 0 y 1 , z 0 z 1 }
n
0
A A
2
B
2
C
2
, A
0
B
2
B
2
C
2
B
2
C
2

Pr j n P1 P0 P1 P0 n
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
8
例 5
求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解
设平面为
V 1,
x a

y b

z c
1,
z
1 6
| abc | 1 ,
x
o
y
由所求平面与已知平面平行得
1 1 1 a b c, （向量平行的充要条件） 6 1 6
1
n 2 { A 2 , B 2 , C 2 },
11
按照两向量夹角余弦公式有
cos | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C 2
2
2
2
两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：
(1 ) (2) 1 1
2
第三节 平面与空间直线的方程
一 平面及其方程 1.点法式
如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法向量．
z
n
M0
M
o
y
x
法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ), 已知法向量 n { A , B , C }, 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
9
化简得
a
1 6a 1 6t ,

1 b

1 6c 1 t
,
令
1 6a

1 b

1 6c
t
b
, c
1 6t
,
代入体积式
1 6 ,
1
1
| 6 6t t 6t |
b 6 ,
1
1
1
t
a 1,
c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6 .