高数空间解析几何学向量及其运算

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同济大学高数第八章

1 1 2 解. AB 1,1, 2 , AB 2 , cos , cos , cos ,故 2 2 2 3 2 , , . 4 3 3 例.在第一卦限求点 A ,使得 OA 与 x , y 轴的夹角分别为 , ,且 OA 6 . 3 4 1 2 1 2 1 1 解. cos , cos cos , OA 6 2, 2 ,2 3,3 2,3 ,故 2 2 2 来自A 3,3 2,3 .

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3
老姚高数笔记
第八章空间解析几何与向量代数第 8.1 节向量及其线性运算一.基本概念
1.向量:既有大小,又有方向的量,一般记为 a , b , .
我们的向量均为自由向量.
2.模:向量的长度也称为模,记为 a . 4.零向量:模为 0 的向量,记为 0 ,规定它的方向是任意的. 5.共线:若向量 a , b 的方向相同或相反,则称它们平行,记为 a // b ,也称为共线.
互相垂直的数轴,分别称为 x 轴,y 轴,z 轴,这样就构成了 Oxyz 坐标系,也可称为 O, i , j , k 坐标系;习惯上,我们采用右手系,即 i , j , k 的方向满足右手法则.
x 轴与 y 轴确定的平面称为 xOy 面,类似地,有 yOz 面, xOz 面,统称为坐标平面,
x, y, z 为点 M 的空间直角坐标,记 M x, y, z .
定理. M x, y, z OM xi yj zk .
3.向量的坐标设 r 为空间向量,记 x r cos Prji r , y r cos Prj j r , z r cos Prjk r , 则称有序数组 x, y, z 为向量 r 的坐标,记 r x, y, z . 定理.设 r AB ,若 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z2 ,则 r x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 . 定理. r x, y, z r xi yj zk ,称为 r 的坐标分解式. 注. xi , yj , zk 分别称为 r 沿三根坐标轴方向的分向量. 四.坐标的应用定理.设 a ax , a y , az , b bx , by , bz , ,则 (1) a b ax bx , a y by , az bz ;(2) a a x , a y , az .

高数下册常用常见知识点

高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。

2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。

3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。

4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。

ay。

az)，向量b=(bx。

by。

bz)，则a±b=(ax±bx。

ay±by。

az±bz)，λa=(λax。

λay。

λaz)。

5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。

二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。

2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。

三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。

2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。

3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。

4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。

2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。

《高等数学》第七章空间解析几何与向量代数

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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p

4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )

(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,

空间解析几何与向量代数高等数学

第八章空间解析几何与向量代数公共数学教研室空间解析几何主要研究空间几何图形, 把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来, 达到用代数方法解决几何问题, 用几何方法解决代数问题.本章引进向量及其代数运算, 讨论向量的各种运算规律, 介绍空间曲面和空间曲线, 以向量为工具来研究平面和空间直线, 最后介绍二次曲面.8.1 向量及其线性运算 8.2 向量的数量积8.3 向量的向量积混合积 8.4 平面及其方程8.5 空间直线及其方程 8.6 直线平面之间的关系 8.7 曲面及其方程8.8 空间曲线和向量函数8.1 向量及其线性运算vector and linear operation8.1.1 空间直角坐标系在空间中任取一点O, 作互相垂直的数轴Ox, Oy, Oz, 分别叫做x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴), 统称坐标轴, 三个坐标轴符合右手法则. 这样的三条坐标轴组成一个空间直角坐标系, 点O 叫做坐标原点 (或原点).三条坐标轴中的任意两条确定一个平面, 分别称为xOy 面, yOz 面及zOx 面. 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做一个卦限.x 轴, y 轴, z 轴上点的坐标分别表示为 (0, 0, z ), (0, y , 0), (0, 0, z ); xOy 面, yOz 面, zOx 面上点的坐标分别表示为 (x , y , 0), (0, y , z ), (x , 0, z ).22212212121||()()().M M x x y y z z =-+-+- 设有序数 (x , y , z ) 与空间点 M 一一对应, 依次称 x , y 和 z 为点M 的横坐标, 纵坐标和竖坐标. 点 M 通常记为 M (x , y , z ).空间中两点M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 间的距离公式为设 M 为空间中一点, 过 M 作三个平面分别垂直于 x 轴, y 轴, z 轴, 与 x 轴, y 轴, z 轴的交点依次为 P , Q , R , 这三个点在 x 轴, y 轴, z 轴的坐标依次为 x , y , z . 于是 M 唯一地确定了一个有序数组 (x , y , z ); 反之, 一有序数组 (x , y , z ) 唯一确定空间一点 M . 这样, 就建立了空间的点 M 和有序数组 (x , y , z ) 之间的一一对应关系. x z y ⑻O⑷⑶⑵⑴⑺⑹⑸R P QO x z y8.1.2 向量的概念及其坐标表示只有大小的量称为数量 (或标量), 如时间, 温度, 长度等. 既有大小又有方向的量称为向量 (或矢量), 例如位移 , 速度 , 加速度 , 力等.s v a F 向量包含两个要素 — 大小和方向. 有向线段也具有这两个要素, 因此可用有向线段表示向量, 其大小是有向线段的长度, 其方向是从 A 到 B 的方向, A 是向量的起点, B 是向量的终点. 若记则称为的一个几何表示 . AB ,v AB AB v 向量的大小, 叫做向量的模或长度, 记为v ||.v向量仅由其大小和方向确定, 与其位置无关, 故向量被称为自由向量. 因此, 若两个向量大小相等, 方向相同, 称这两个向量相等.将两个向量移到同一始点, 如果它们位于一条直线上, 且两个终点分布在始点的同一侧, 则称这两个向量方向相同; 如果它们位于一条直线上, 且两个终点分布在始点的两侧, 则称这两个向量方向相反. 长度是零的向量称为零向量, 记为 , 零向量的方向可以认为是任意的.如图, 向量位置不同, 但它们的长度相同, 且它们所在的线段有相同的斜率,即它们的方向相同, 所以,,OP AB CD P (2, 1)O C (1, 3)D (3, 4)A (- 3, - 3)B (- 2, - 2)x y .OP AB CD == 向量具有平移不变性, 若将向量平移, 使其起点与原点 O 重合, 终点位于 P , 则故可由 P 的座標確定.AB ,AB OP = AB 定义 8-1 一个二元有序实数组 {a , b } 称为一个二维向量, 二维向量的全体记作 V 2. 一个三元有序实数组 {a , b , c } 称为一个三维向量. 三维向量的全体记作 V 3, 其中实数 a , b , c 称为向量的分量, 也称为向量的坐标.2121{,}v x x y y =-- 定义 8-2 若 M 1 (x 1, y 1), M 2 (x 2, y 2) 为平面上两点, 则二维向量表示由有向线段所表示的向量. 12M M 212121{,,}v x x y y z z =--- 若 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 为空间中两点, 则三维向量表示由有向线段所表示的向量. 12M M 22212212121||||()()()v M M x x y y z z ==-+-+-给定向量任意取定 A (x 0, y 0, z 0), 记 B = (x + x 0, y + y 0, z + z 0), P = P (x , y , z ),则{,,},r x y z = .r AB OP == 称为点 P (x , y , z ) 的位置向量,{,,}r x y z = 222|||{,,}|r x y z x y z ==++ 222||02(1) 5.AB =++-= 例 1 已知 A (1, 0, 2), B (1, 2, 1) 是空间两点, 求向量和它的模.AB 解{11,20,12}{0,2,1},AB =---=-对三维向量 8.1.3 向量的线性运算定义 8-3 设是两个二维向量, 称向量 {a x + b x , a y + b y }为向量和的和, 记作即{,},{,}x y x y a a a b b b == a b ,a b + {,}{,}{,}.x y x y x x y y a b a a b b a b a b +=+=++ {,,},{,,},x y z x y z a a a a b b b b == 类似有{,,}{,,}{,,}.x y z x y z x x y y z z a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++几何上, 向量加法服从三角形法则及平行四边形法则.A yx O B a x b x a y b y a b a b + A y O a x a y b y C xB b x a b a b +定义 8-4 设向量 c 为实数, 称向量 { c a x , c a y } 为向量与数量 c 的乘积. 记作即其模{,},x y a a a = a ,c a {,}{,},x y x y c a c a a c a c a == ||||||.c a c a = 对于三维向量, 类似有c {a x , a y , a z } = {c a x , c a y , c a z }. c > 0 时, c 与平行, 且方向相同; c < 0 时 c 与平行, 且方向相反.a a a a 称为的负向量.(1)a a -=- a 与的和称为与的差, 记为 b a b - a .a b -证仅需证明必要性. 设则存在 λ, 使得 ,a b .b a λ= 若又有则故所以 λ = μ .,b a μ= ()0,a λμ-= |||||0|0,a λμ-== 定理 1 设是两个向量, 且则的充分必要条件是存在唯一常数 λ 使得 ,a b a b .b a λ= 0≠a向量的加法运算和数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算满足下列法则 :(1) (交换律) .a b b a +=+ (2) (结合律) ()().a b c a b c ++=++ (4) ()0.a a +-= (6) ().a a a λμλμ+=+ (7) ()().a a λμλμ= (8) 1.a a ⋅= (5) ().ab a b λλλ+=+ (3) a a =+0由于向量的加法符合交换律和结合律, 故 n 个向量相加可写成,||.||a a a e a a e a == 12.n a a a +++ n 个向量相加复合多边形法则 : 使前一向量的终点与后一向量的起点重合, 相继作向量再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即和向量.12,,,,n a a a 模为 1 的向量称为单位向量. 记非零向量的单位化向量为则a ,a eV 3 中, 与 x 轴, y 轴, z 轴的正向同向的单位向量记为{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}.i j k === 称为 V 3 中的一组标准基.,,i j k a 设则可由线性表示, 即{,,},x y z a a a a = ,,i j k {1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}.x y z x y z a a a a a i a j a k =++=++ {1,0},{0,1}i j == 二维的情形,是 V 2 的一组标准基.例 2 设求{1,1,3},{2,1,2},a b =-=- (1) 32;c a b =- (2) 用标准基表示向量,,i j k ;c (3) 求与同方向的单位向量.c 解 (1)323{1,1,3}2{2,1,2}{34,32,94}{1,1,5}.c a b =-=---=--+-=-- (2)5.c i j k =--+ 所以 222(3)||(1)(1)533,c =-+-+= {1,1,5}.||33c c e c ==--解作 12(),OP OP OP OP λ-=- 例 3 设两点 P 1 (x 1, y 1, z 1), P 2 (x 2, y 2, z 2). 在线段 P 1 P 2 上求一点 P (x , y , z ), 使由 P 分成的两个有向线段的的比为定数 λ ( ≠ - 1), 即 12,P P PP 12.P P PP λ= O P 1P 2P 11112222{,,},{,,},{,,},OP x y z OP x y z OP x y z === 由于及12,P P PP λ= 1122,,P P OP OP PP OP OP =-=-121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+++===+++所以 12(1),OP OP OP λλ+=+ 这就是定比分点公式.得到 121OP OP OP λλ+=+ ，得点 P 的坐标例 4 证明平行四边形的对角线互相平分.11(),22AE AC AB BC ==+ 解设 ABCD 为平行四边形, AC , BD 的中点分别为 E 及 F , 则D A FE B C 由定比分点公式 (λ = 1) 得1(),2AF AB AD =+ 即 E 与 F 重合, 即 AC 与 BD 互相平分.11()().22AF AB AD AB BC AE =+=+= 所以。

高数空间向量及其运算

|a|
非零向量a与三个坐标轴正向的夹角 , ,
称为非零向量 a的方向角.
z
P1

a

P2
0 0
O
y
0
x
方向角的余弦 cos , cos , cos
叫做向量
a
的方向余弦.
非零向量
a

(a1 ,
a1
,
a3
)
的方向余弦为
cos
a1
a12 a22 a32
cos
a2
a12

a
2 2

a32
cos
a3
a12 a22 a32
且 cos2 cos2 cos2 1.
例1 设已知两点 P1(2,2, 2), P2(1,3,0), 计算向量 P1P2 的模、方向余弦和方向角.
解 P1P2 (1 2,3 2,0 2) (1,1, 2),
a

b
称为
向量
a 与
b 的向量积.
向量积的几何意义：
|
a

b
|
表示以 a和b
为邻边的平行四边形的面积.
b

| b | sin
a
(a

b)

c
表示以
a,
b,
c为棱的平行六面体的体积.
因此,
三向量
a,b,c
共面

(a b) c 0
故
a b a1b1 a2b2 a3b3 数量积的坐标表达式
设向量
a (a1, a1, a3 ),

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第一章高等数学第一节空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。

模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。

向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。

向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。

向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。

（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。

向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。

利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。

高数A第八章空间解析几何和向量PPT课件

3.向量的线性运算
加法：平行四边形法则数乘：大小与方向
4. 空间两向量的夹角的概念：
向量 aa 与 0向 , 量 bb 的 0,夹角
b
a
(a ,b )(b,a)
(0)
二、向量坐标及坐标线性运算
设a是以 M1( x1 , y1 , z1 )为起点、 M2 ( x2 , y2 , z2 )
1.球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面方程:
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
2. 旋转曲面：
如图设M(x,y,z),
(1) zz1
（2）点M 到z轴的距离
dx2y2 |y1| x
z
d M 1(0,y1,z1)
M f(y,z)0
（5）
a//
b
ax
ay
az
bx by bz
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i
jki
j
c ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0 c
|c|
2
j
5
15k.
k
4 1j0 5k, 2
第八章空间解析几何与向量代数
一、向量及其线性运算
1. 空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
2. 空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，则
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .

高等数学第八章空间解析几何与向量代数

|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若为常数：
若、为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi

高等数学第九章向量与空间解析几何

点的向量
uuuuuur uuuuur uuuur M1M2 =OM 2 OM1
(x2i y2 j z2k ) (x1i y1 j z1k ) (x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k ,
即以 M1(x1, y1, z1) 为起点 , 以 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为终点的向量 uuuuuur M1M2 的坐标表达式为
解因为a 2i 2 j k ，所以
a 22 22 12 9 3，故 a 2 i 2 j 1 k 是与
a3 3 3
a 2i 2 j k 同向平行的单位向量.
例6 已知向量a {1 , 2, 4} 与向量b { ,t ,8}
平行，求和t 的值.
解因为a // b,所以 1 2 4 1 ,故 2 ,t 4 .
d (M1M 2 )=| M1M 2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 . 例3 (1)写出点 A(1,2,1)的向径；
(2)写出起点为 A(1,2,1) ,终点为 B(3,3,0) 的向量
的坐标表达式； (3)计算 A, B 两点间的距离. uuur
解 (1)OA i 2 j k ； uuur
(2)a a1i a2 j a3k ;
(3) a b (a1 b1)i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k ; (4) a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3; (5) a // b a1 a2 a3 .
b1 b2 b3
例 5 求与a 2i 2 j k 同向平行的单位向量.
(2) AB (31)i (3 2) j (0 1)k
2i j k ；
uuur (3)d ( AB) | AB | 22 12 (1)2 6 .

向量与空间解析几何知识点总结

向量与空间解析几何知识点总结一、向量。

1. 向量的概念。

- 既有大小又有方向的量称为向量。

在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。

- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。

2. 向量的运算。

- 加法。

- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。

- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。

- 减法。

- 几何方法：三角形法则。

- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。

- 数乘向量。

- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。

- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。

- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。

- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。

- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。

- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。

- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。

高等数学向量代数与空间解析几何总结

{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的夹角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |

高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数

-。

b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。

、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。

a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。

由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。

当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。

上的射影。

投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。

向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。

向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。

推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。

性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。

性质2可推广到有限个向量的情形。

性质3：Prj u λa =λPrj u a 。

向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。

向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。

利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。

《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何

ay
j

az
k
标式.
向量线性运算规律
分解式

a
b

ax
bx
i

ay by
j

az
bz

k
a

(ax
)i

(a y
)
j

(az
)k
( 为常数)
坐标式

a

b

ax bx，ay by，az bz
a ax，ay，az
a

c

b

c
例题
设
a
2，b
3，(a，b)

，求(a

b)

(a

b)
与(a

b)

(a

b ).
3
解：
(a

b)

(a

b)

a

a

b

b

a 2

2 b
5
因为
a
b

a
b
c os(a，b )
b

a

b

3分配律
(a

b)

ca来自 c b

c
向量的混合积
设a
ax，ay，az ，b
bx，by，bz ，c
cx，cy，cz
,
则它们的混合积为：

高中几何知识解析空间向量的基本运算

高中几何知识解析空间向量的基本运算空间向量是研究空间几何的重要工具，它在解决空间几何问题时具有不可替代的作用。

本文将对空间向量的基本运算进行解析，包括向量的相加、相减、数量乘法、点积和叉积。

1. 向量的相加向量的相加是指将两个向量按照一定的规律相加，得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的向量相加可以表示为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)2. 向量的相减向量的相减是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的向量相减可以表示为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有一个向量A，在空间中的表示为：A = (x, y, z)若k为实数，则A与k的数量乘法可以表示为：kA = (kx, ky, kz)4. 点积点积是指将两个向量相乘，得到一个实数。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的点积可以表示为：A ·B = x1x2 + y1y2 + z1z25. 叉积叉积是指将两个向量进行叉乘，得到一个新的向量。

设有两个向量A和B，在空间中的表示分别为：A = (x1, y1, z1)B = (x2, y2, z2)则A和B的叉积可以表示为：A ×B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)通过对以上空间向量的基本运算的解析，我们可以利用这些运算方法解决高中几何中的许多问题。

例如，在解决空间中点与线段之间的关系、求解平面与直线的相交问题时，空间向量的基本运算都将发挥重要的作用。

《高等数学》向量代数和空间解析几何

a∥ b
运算律
(1) ab ba (2) 分配律 (ab)cacbc
(3) 结合律 (a)ba(b)(ab)
向量积的坐标表达式
ab ( a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k
i j k a b ax ay az
例5. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 AD0 设所求平面方程为 ByCz0
代入已知点 (4,3,1)得 C3B
化简,得所求平面方程 y3z0
空间直线
一般式 A A 21xx B B 2 1y y C C 1 2zz D D 12 00
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy面上曲线C .
(3) 二次曲面
椭球面
a x2 2b y2 2cz2 21 (a,b,c为正 ) 数 z
x
y
抛物面
z
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
n (0 ,B ,C ) i,平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示平行于 xoy 面的平面; • A x + D =0 表示平行于 yoz 面的平面； • B y + D =0 表示平行于 zox 面的平面.
o
y
3、空间曲线（1）空间曲线的一般方程

高等数学第七章向量代数与空间解析几何

第四节空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα；当λ=0时

高等数学第7章向量代数与空间解析几何

30
31
32
7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
34
35
36
7.2.5 向量数量积的坐标表达式设有两个向量
37
38
39
40
41
42
43
44
习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如图7.17所示。
第7章向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程和特点.
1
7.1 向量及其运算
12
13
（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ

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2

, k 14
70 2
.
15
例 8
设 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 是平面 Ax By Cz D 0
外一点，求 P0 到平面的距离 .
n
解 P1 ( x 1 , y 1 , z 1 )
Pr j n P1 P0 P1 P0 n
第三节平面与空间直线的方程
一平面及其方程 1.点法式
如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量．
z
n
M0
M
o
y
x
法向量的特征：垂直于平面内的任一向量． M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ), 已知法向量 n { A , B , C }, 设平面上的任一点为 M ( x , y , z )
必有 M 0 M n M 0 M n 0 M 0 M { x x0 , y y0 , z z0 } A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
1
平面的点法式方程
例 1 求过三点 A ( 2 , 1 ,4 ) 、 B ( 1 , 3 , 2 ) 和
类似地可讨论 B 0 , C 0 情形.
( 3 ) A B 0 , 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0 , B C 0 情形.
5
例 3 设平面过原点及点 ( 6 , 3 , 2 ) ，且与平面
4 x y 2z 8垂直，求此平面方程.
2
z
1
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0

2
A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 A2 x B 2 y C 2 z D 2 0
L
o
y
空间直线的一般方程
x
直线的方向向量如果一非零向量平行于一条已知直线，则此向量称为这条直线的方向向量．
10
4. 两平面的夹角
两平面法向量之间的夹角即为两平面的（通常取锐角）夹角.
n2
n1
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0 ,

2

2
: A2 x B 2 y C 2 z D 2 0 , n 1 { A 1 , B 1 , C 1 },
取 s BA { 2 , 0 , 4 },
所求直线方程
x 2 2

y 3 0

z 4 4
.
2. 两直线的夹角
即为两直线的方向向量的夹角（锐角）
直线 L 1 :
直线 L 2 :
x x1 m1 x x2 m2
)

y y1 n1 y y2 n2

z z1 p1 z z2 p2

A ( x0 x1 ) A B C
2 2 2

B ( y 0 y1 ) A B C
2 2 2

C ( z 0 z1 ) A B C
2 2 2

Ax 0 By 0 Cz 0 ( Ax 1 By 1 Cz 1 ) A B C
2 2 2
,
16
Ax 1 By 1 Cz 1 D 0
2
例 2 求过点 ( 1 ,1 ,1 ) ，且垂直于平面 x y z 7 和
3 x 2 y 12 z 5 0 的平面方程 .
解
n 1 { 1 , 1 , 1 },
n 2 { 3 , 2 , 12 }
取法向量 n n 1 n 2 { 10 , 15 , 5 },
例7：
若平面 x ky 2 z 0 与平面
2 x 3 y z 0的夹角为
4
4
，求k ?
解：
cos

| 1 2 k ( 3 ) 2 1 | 1 k ( 2 )
2 2 2
2 ( 3 ) 1
2 2
2
,
1 2

| 3k | 5 k
x轴上截距
y轴上截距
z轴上截距
8
例 5
求平行于平面6 x y 6z 5 0而与三个坐
标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.
解
设平面为
V 1,
x a

y b

z c
1,
z
1 6
| abc | 1 ,
x
o
y
由所求平面与已知平面平行得
1 1 1 a b c, （向量平行的充要条件） 6 1 6
所求平面方程为
10 ( x 1 ) 15 ( y 1 ) 5 ( z 1 ) 0 ,
化简得
2 x 3 y z 6 0.
3
2. 一般式
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax
aA D 0 , 将三点坐标代入得 bB D 0 , cC D 0 ,
A
D a
,
B
D b
,
C
D c
.
7
3. 截距式
将A
D a , B D b , C D c ,
代入所设方程得
x a y b z c 1 平面的截距式方程
A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 0 ;
// 2
A1 A2

B1 B2

C1 C2
.
12
例6 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1 ) x 2 y z 1 0 , (2) 2 x y z 1 0, (3) 2 x y z 1 0, y 3z 1 0 4 x 2 y 2z 1 0 4 x 2 y 2z 2 0
//
L 2
m1 m2

n1 n2

p1 p2
,
例如，直线 L 1 : 直线 L 2 :
s1 s 2 0 ,
s 1 { 1 , 4 , 0 }, s 2 { 0 , 0 ,1 }, s1 s 2 ,
即 L1 L 2 .
例 3
求过点 (3, 2, 5) 且与两平面 x 4 z 3 和
6
所求平面方程为
例 4
设平面与 x , y , z 三轴分别交于 P ( a ,0 ,0 ) 、
Q ( 0 , b ,0 ) 、 R ( 0 ,0 , c ) （其中 a 0 ， b 0 ， c 0 ），
求此平面方程.
解
设平面为 Ax By Cz D 0 ,
解
设平面为 Ax By Cz D 0 , 由平面过原点知 D 0 ,
由平面过点 ( 6 , 3 , 2 ) 知
6 A 3 B 2C 0
n { 4 , 1 , 2 },
4 A B 2C 0
A B
2 3
C,
2 x 2 y 3 z 0.
Pr j n P1 P0
d
( P1 )
,
Ax 0 By 0 Cz 0 D A B C
2 2 2
| Ax0 By0 Cz0 D | A B C
2 2 2
.
点到平面距离公式
17
二、空间直线的方程
1. 方程
空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B 1 y C 1 z D 1 0
, ,
^ cos( L , L
1
| m 1 m 2 n1 n 2 p1 p 2 | m 1 n1 p1
2 2 2
2
m 2 n2 p2
2
2
2
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1 ) (2) L 1 L 2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 , L1
9
化简得
a
1 6a 1 6t ,

1 b

1 6c 1 t
,
令
1 6a

1 b

1 6c
t
b
, c
1 6t
,
代入体积式
1 6 ,
1
1
| 6 6t t 6t |
b 6 ,
1
1
1
t
a 1,
c 1,
所求平面方程为 6 x y 6 z 6 .
1
n 2 { A 2 , B 2 , C 2 },
11
按照两向量夹角余弦公式有
cos | A1 A2 B1 B2 C1C 2 | A1 B1 C1
2 2 2
A2 B2 C 2
2
2
2
两平面夹角余弦公式两平面位置特征：
(1 ) (2) 1 1
2
解
(1 )
cos
| 1 0 2 1 1 3 | ( 1) 2 ( 1)
2 2 2
1 3
2
2
cos
1 60
两平面相交，夹角
arccos