高一上学期《函数单调性的证明》练习题

高一上学期《函数单调性的证明》练习题

1．函数y=f（x）对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4，则（）

A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3 B．f（x）在R上是增函数，且f（1）=3

C．f（x）在R上是减函数，且f（1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2

2．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（x）＜0（x＞0）．试判断F（x）=在（0，+∞）上的单调性并给出证明过程．

3．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f（x）=在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．

4．已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣．

（1）求f（0）；

（2）求证：f（x）在R上是减函数；

（3）求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

5．函数f（x）对任意a，b∈R，有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．

（Ⅰ）求证：f（x）是R 上的增函数；

（Ⅱ）若f（﹣4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣3）＜2．

6．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）求证：f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）=5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

7．函数f（x）对任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）求证：f（x）是R上的增函数；

（2）若f（2）=3，解不等式f（m﹣2）＜3．

8．已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）+f（y）+1，②当x＞0时，f （x）＞﹣1；

（Ⅰ）求：f（0）的值，并证明f（x）在R上是单调增函数；

（Ⅱ）若f（1）=1，解关于x的不等式；f（x2+2x）+f（1﹣x）＞4．

9．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．

（1）求f（0）的值；

（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；

（3）解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．

10．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x，y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣2，且当x＞0时，f（x）＞2

（1）求f（0）的值；

（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；

（3）解不等式f（2t2﹣t﹣3）﹣2＜0．

11．已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x）•f（y）=f（x+y）．

（1）求f（0）的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；

（2）设当x＜0时，都有f（x）＞f（0），证明：f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数．

高一《函数单调性的证明》练习题

参考答案与试题解析

1．函数y=f（x）对于任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4，则（）

A．f（x）在R上是减函数，且f（1）=3 B．f（x）在R上是增函数，且f（1）=3

C．f（x）在R上是减函数，且f（1）=2 D．f（x）在R上是增函数，且f（1）=2

【分析】先依据函数单调性的定义判断函数的单调性，再由f（3）=f（1）+f（2）﹣1=f （1）+f（1）+f（1）﹣1﹣1=4，解出f（1）．

【解答】解：设x1＞x2，

则f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）+f（x2）﹣1﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1＞1﹣1=0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）为增函数．

又∵f（3）=f（1）+f（2）﹣1=f（1）+f（1）+f（1）﹣1﹣1=3f（1）﹣2=4，

∴f（1）=2．

故选：D．

2．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（x）＜0（x＞0）．试判断F（x）=在（0，+∞）上的单调性并给出证明过程．

【分析】首先，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，然后根据函数f（x）的单调性进行证明即可．

【解答】解：函数F（x）=为（0，+∞）上减函数，证明如下：

任设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，

∵y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，

∴f（x1）＜f（x2），f（x1）＜0，f（x2）＜0，

F（x1）﹣F（x2）=﹣=，

∵f（x1）＜f（x2），

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，

∵f（x1）＜0，f（x2）＜0，

∴f（x1）•f（x2）＞0，

∴F（x1）﹣F（x2）＞0，

即F（x1）＞F（x2），

则F（x）为（0，+∞）上的减函数．

3．已知函数y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（x）＜0（x＞0），试判断f（x）=在（0，+∞）上的单调性，并给出证明过程．

【分析】首先，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，然后，比较大小，从而得到结论．【解答】解：函数为（0，+∞）上增函数，证明如下：

任设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，

∵y=f（x）在（0，+∞）上为减函数，

∴f（x1）＞f（x2），f（x1）＜0，f（x2）＜0，

=，

∵f（x1）＞f（x2），

∴f（x2）﹣f（x1）＜0，

∵f（x1）＜0，f（x2）＜0，

∴f（x1）•f（x2）＞0，

∴g（x1）﹣g（x2）＜0，

∴为（0，+∞）上的增函数．

4．已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=﹣．

（1）求f（0）；

（2）求证：f（x）在R上是减函数；

（3）求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

【分析】（1）令x=y=0⇒f（0）=0；

（2）令y=﹣x即可证得f（﹣x）=﹣f（x），利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，