高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线

平面内到两个定点,

的距离之差的绝对值是常数2a(2a<

)的点的轨迹。

方程 22

221(0,0)x y a b a b

-=>> 22

2

21(0,0)y x a b a b

-=>> 简图

范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或

顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±

(0,)c ±

渐近线 b y x a

=±

a y x b

=±

离心率 (1)c

e e a =

> (1)c

e e a

=

> 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称

准线方程 2

a x c =±

2

a y c

=±

a 、

b 、

c 的关

系 222c a b =+

考点

题型一 求双曲线的标准方程

1、给出渐近线方程n

y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线

22

2

21x y a b

-=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。

【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1） 虚轴长为12，离心率为

54

； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；

（3） 与双曲线

22

1916

x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x

_ O

_y

_x

_ O

_y

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22

221y x a b

-=(0,0)a b >>。

由题意知，2b=12，c e a ==54

。 ∴b=6，c=10，a=8。

∴标准方程为236164x -=或22

16436

y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12），

∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。

又2c=26，∴c=13。∴2

2

2

144b c a =-=。

∴标准方程为

22

114425

y x -=。 （3）设双曲线的方程为22

22x y a b

λ

-=

(3,23A -在双曲线上 ∴(2

2

233

1916

-= 得1

4

λ=

所以双曲线方程为22

4194

x y -= 题型二 双曲线的几何性质

方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a

=

和222

c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且

点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4

5

c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为

1x y

a b

-=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12

2

d a b

=

+，

同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22

2

d a b

=

+，

122ab

s d d c

=+=

=

。 由s ≥

45c ，得

2ab c

≥4

5c

，即252c ≥。

于是得22e ≥，即4

2

425250e e -+≤。 解不等式，得

25

54

e ≤≤。由于e ＞1＞0，所以e

的取值范围是2e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22

221x y a b -=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使

1290F AF ∠=，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。

解：∵1290F AF ∠

= ∴2

2

212

4AF AF c +=

又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，

∴12222AF AF AF a -==即2AF a =， ∴2

2

222

2212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，

∴

c a ==

即2

e =。 题型三 直线与双曲线的位置关系

方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程

组，即222222

0Ax By C b x a y a b ++=⎧⎨-=⎩

，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。

2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

2121l x x y y =-=- 【例4】如图，

已知两定点12(F F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、

B 两点，如果AB =且曲线E 上存在点

C ，

使OA OB mOC +=，求 （1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；

（3）m 的值和△ABC 的面积S 。