反函数练习题

大新中学

一、选择题 1、已知函数)

1(156≠∈-+=

x R x x x y

且，那么它的反函数为( )

A 、()11

56≠∈-+=

x R x x x y

且

B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且

C 、?

??-≠∈+-=

65561x R x x x y 且 D 、()55

6-≠∈+-=

R x x x y

且

2、

函数?????≥-=)0(21

)0(2x x x x y 的反函数是( )

A 、()?

??≤-=0)

0(2 x x x x y

B 、()?

??-≤-=0)

0(2 x x x x y

C 、()

()

?????≤-=0021

x x x x y

D 、()

()

?????-≤-=0021

x x x x y

3、已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图

像上的点是（）

A 、))(,(1a f a -

B 、()()b b f ,1-

C 、()()a a f ,1-

D 、()()b f b 1,- 4、若函数)1(1)(2

-≤-=

x x x f ，则)4(1

-f

的值为（）

A 、

B 、5

C 、15

D 、3

二、填空题 5、

函数f(x)2

916x

是否有反函数？；当??

????∈34,

0x 时，

反函数为，定义域为；当??

∈0,34x 时，反函

数为，定义域为。

6、设f(x)的反函数为)(1x f -，23)(1+=-x x f ，则=-)3(1f ，

f(3)= 7、

若点(1,2)既在函数b

ax x f +=

)(的图象上，又在函数f(x)的反

函数)(1x f -的图象上，则a= ,b= 8、

f(x)在()+∞,0上为递增函数，则)1(1-f 与)3(1-f 的大小关系是

三、解答题 9、

函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点

(-2,-1)，求函数f(x) 10、函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=

且的反函数为2

13+-=x x y ，求a,b,c 的值

11、已知132

)(1

≥-=-x x x f

，，求

f(x)

12、函数f(x)=x 2-2tx+1(t ∈R)，定义域为[][]8,71,0 ∈x ，（1）f(x)在定义域内是否一定有反函数？（2）若f(x)有反函数，求t 的范围。

反函数和复合函数的求导法则

二、反函数的导数法则定理1：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)(y ?在0y 的某邻域内连续，严格单调，且0)(0≠'y ?，则)(x f 在0x （即)(0y f 点有导数），且) (1 )(00y x f ?'= '。证明：0 0000)()(1 lim )()(lim )()(lim 000 y y y y y y y y x x x f x f y y y y x x --=--=--→→→???? )(1 )()(lim 100 00y y y y y y y ???'=--= → 所以 ) (1 )(00y x f ?'='。注1：00 y y x x →? →，因为)(y ?在0y 点附近连续，严格单调； 2：若视0x 为任意，并用x 代替，使得)(1)(y x f ?'= '或)(1 dy dx dx dy =，其中dy dx dx dy , 均为整体记号，各代表不同的意义； 3：)(x f '和)(y ?'的“′”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例1】求x y arcsin =的导数，解：由于]1,1[,arcsin -∈=x x y ，是]2 ,2[,sin π π- ∈=y y x 的反函数，由定理1 得： 2211 sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -= -=='='。注1：同理可证：2 22 11 )tan (,11)(arctan ,11)(arccos x x arcc x x x x +-='+= '-- ='；

反函数-高中数学知识点讲解

反函数 1．反函数【知识点归纳】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x ＝g（y）．若对于y 在中的任何一个值，通过x＝g（y），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y 是自变量，x 是因变量是y 的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x 和y 互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x 对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x 对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C （其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y 轴垂直的直线截时能过 2 个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 1/ 1

反比例函数知识点总结(供参考)

反比例函数知识点总结李苗知识点1 反比例函数的定义一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数 x k y =（0k ≠） k 的符号 0k > 0k < 图像性质 ① x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像

求导法则与求导公式

§2.2 求导法则与导数的基本公式教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。

例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==，即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+；解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+

(完整版)高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -?? ? ??-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+-=?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

反函数的导数

反函数的导数首先证明反函数的求导公式：定理：设)(x f y =为)(y x ?=的反函数，若)y （?在点y 0的某邻域内连续，严格单调且()0' 0≠y ?，则()x f 在点()()00y x x ?=可导，且()() 00'1 'y x f ?= 证：设()()00y y y x ??-?+=?，()()00x f x x f y -?+=?因为?在0y 的某邻域内连续且严格单调，故1-=?f 在0x 的某邻域内连续且严格单调，从而当且仅当0=?y 时0=?x ，并且当且仅当 →?y 时 0→?x ，由()0'0≠y ?，可得 ()()00000'1 lim 1lim lim 'y y x x y x y x f y y x ?= ??=??=??=→?→?→?。例6 证明：（i ）(a a a x x ln )'(=其中） 1.0(≠>a a 特别地()x x e e =' . (ii) )arcsin ' (x = x 2 -11； ()x arccos '=— x 2 -11 (iii) () x arctan ' = x 2 11 +；() x arc cot ' =— x 2 11 + 证（i ）由于R x y a x ∈= .为对数函数，y x a log = .),0(+∞∈y 的反函数，故由公式（6）得到 ()a x '=) (log ' 1 y a = e y a log = a a x ln . （ii ）由于)1,1(,arcsin -∈=x x y 是) 2.2(,sin π π-∈=y y x 的反函数，故由公式（6）得到 ()x arcsin ' = () y sin ' 1 = y cos 1 = y sin 2 -11= )1,1(.-112 -∈x x 同理可证:()x arccos ' =—)1,1(.-11 2 -∈x x

反函数的基本知识点

1 反函数的基本知识点一．定义：设式子)(x f y = 表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域， ()图象在点图象上）在（点几何语言： )(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f b a f --='?==?= （3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．二．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2）由)(x f y =的解析式求出)(y x ?= （3）将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。三．掌握下列一些结论

2 （1）单调函数?一一对应?有反函数（2）周期函数不存在反函数（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数（4）证明)(x f y = 的图象关于直线x y =对称，只需证)(x f y =的反函数和)(x f y =相同。

反函数求导法则

反函数求导法则刘云（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班甘肃天水 741000）摘要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。关键词：反函数；基本初等函数；求导引言除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。 1. 反函数求导定理若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有 [])(1)(1x f y f '='-. 证明：因为函数)(x f y =在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时0)()(≠-?+=?x f x x f y 等价于0)()(11≠-?+=?--y f y y f x ，并且当0→?y 时有0→?x 。因此

[]y y f y y f y f y ?-?+='--→?-)()(lim )(1101 )()(lim 0x f x x f x x -?+?=→? )(1)()(lim 10x f x x f x x f x '=?-?+=→?. 2.基本初等函数的导数和微分公式： 0)(='C 0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin =' xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -=' xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan =' xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -=' xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec =' xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -=' xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广 (1)多个函数线性组合的导函数 ∑∑=='='?? ????n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，其中),,3,2,1(n i c i =为常数。（2）多个函数乘积的导函数 ∑∏∏=≠==?? ????????'='??????n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.

高一函数知识点总结

高一函数知识点总结（一）、映射、函数、反函数 1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。 2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g 的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。 3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域; （2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）; （3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。 ②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。（二）、函数的解析式与定义域

1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑; （2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如： ①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零; ③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1; ⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g （x）的值域。

高数重要知识点汇总

高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二求极限的方法 1．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=

求导基本法则和公式

四、基本求导法则与导数公式１. 基本初等函数的导数公式和求导法则基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且

反函数知识点总结讲义教案

班级：一对一所授年级+科目：高一数学授课教师：课次：第次学生：上课时间：教学目标理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题．教学重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系．反函数知识点总结教案【知识整理】一．函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为： )(x f y = x ∈D. 二．反函数定义一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把 x 表示出，得到)(y x ?= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ?= , x 在D 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ?= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ?= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1 y f x -= 反函数)(1 y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1x f y -= ( x ∈A). 注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；三．主要方法： 1．求反函数的方法步骤： ①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1 y f x -= (把x 用y 表示出来)； ③将x , y 互换得： )(1 x f y -=，并写出反函数的定义域 2．分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3．原函数与反函数的联系

反函数的求导法则辨析

昨天的文章中提到过反函数的求导法则。反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。这话听起来很简单，不过很多人因此犯了迷糊： y=x3的导数是y'=3x2，其反函数是y=x1/3，其导数为y'=1/3x-2/3.这两个压根就不是互为倒数嘛！出现这样的疑问，其实是对反函数的概念未能充分理解，反函数是说，将f(x)的自变量当成因变量，因变量当成自变量，得到的新函数x=f(y)就是原函数的反函数。所以y=x3的反函数严格来说应该是x=1/3y-2/3，只不过为了符合习惯，经常将x写成y，y写成x而已，这一点，因为在中学的时候没怎么强调，所以到了大学就有些不适应。因此： y=x1/3的导函数应该这样求y‘=1/(y3)'=1/(3y2) (因为y的反函数是x=y3)， =1/(3x2/3)=1/3x-2/3.(将y=x1/3带入即可) 实际上反函数求导法则是根据下面的原则所以反函数求导法则的意思是说，反函数的导数，等于x对y求导的倒数。我们再以反三角函数来作为例子，希望学到这点的朋友能够真正理解他。例题：求y=arcsinx的导函数。首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy 因为x=siny，所以cosy=√1-x2；(那个啥，这个符号输入有点蛋疼，不过各位应该能看懂) 所以y‘=1/√1-x2。

同理大家可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。相信大家对这一点应该有所明白的吧！大家可以试着求y=arctanx的导函数，然后与结果进行对照。

反函数的基本知识点 2

反函数的基本知识点一．定义：设式子)(x f y =表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子)(x f y =中解出x ，得到式子)(y x ?=，如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子)(y x ?=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子)(y x ?=就表示x 是y 的函数（y 是自变量），这样的函数，叫做)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=，即()y f y x 1)(-==?，一般习惯上对调()y f x 1-=中的字母y x ,，把它改写成)(1x f y -=。（1）．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；（2）．原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域， ()图象在点图象上）在（点几何语言：)(),(,)()(11x f y a b P x f y b a P a b f b a f --='?==?= （3）．()y f x =与1()y f x -=的图象关于y x =对称．二．求反函数的一般步骤（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域（2）由)(x f y =的解析式求出)(y x ?= （3）将y x ,对换，得反函数的一般表达式)(1x f y -=，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成。三．掌握下列一些结论（1）单调函数?一一对应?有反函数（2）周期函数不存在反函数（3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数（4）证明)(x f y =的图象关于直线x y =对称，只需证)(x f y =的反函数和)(x f y =相同。

关于高考数学高考必备知识点总结归纳精华版

高考前重点知识回顾第一章-集合（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A?； ②空集是任何集合的子集，记为 A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； ①n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n－1个. n个元素的非空真子集有2n－2个. [注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算：交、并、补. {|,} {|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈ ?∈∈ ?∈? I U U 交：且并：或补：且 C （三）简易逻辑构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记作“┑q” ) 。 1、“或”、“且”、“非”的真假判断

4、四种命题的形式及相互关系：原命题：若P 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p?q. 第二章-函数一、函数的性质（1）定义域：（2）值域：（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑） ①定义：?偶函数： )()(x f x f =-，?奇函数：)()(x f x f -=- ②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求)(x f -； d.比较 )()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。（4）函数的单调性

反函数的导数复合函数的求导法则

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数设)(y x ?=是直接函数，)(x f y =是它的反函数，假定)(y x ?=在I y 内单调、可导，而且0)(≠'y ?，则反函数)(x f y =在间} ,)(|{y x I y y x x I ∈==?内也是单调、可导的，而且 )(1 )(y x f ?'= ' (1) 证明：?∈x I x ，给x 以增量x ?),0(x I x x x ∈?+≠? 由 )(x f y = 在 I x 上的单调性可知 0)()(≠-?+=?x f x x f y 于是 y x x y ??=??1 因直接函数)(y x ?=在 I y 上单调、可导，故它是连续的，且反函数 )(x f y =在I x 上也是连续的，当0→?x 时，必有0→?y ) (11lim lim 00y y x x y y x ?'= ??=??→?→? 即： )(1)(y x f ?'= ' 【例1】试证明下列基本导数公式 ().(arcsin )().()().(log )ln 11 121 131 22x x arctgx x a x a x '= -'= +'=

证1、设y x sin =为直接函数，x y arcsin =是它的反函数函数 y x sin =在 ) 2,2(π π-=y I 上单调、可导，且 '=≠x y cos 0 因此，在 )1,1(-=x I 上，有 y x cos 1 )arcsin (= ' 注意到，当)2,2(π π-∈y 时，0cos >y ，2 21sin 1cos x y y -=-= 因此， 211)arcsin (x x -= ' 证2 设x tgy = ，)2,2(π π-=y I 则y arctgx =，I x =-∞+∞(,) tgy x = 在 I y 上单调、可导且 0cos 1 2>= 'y x 故 22211 11cos )(1)(x y tg y tgy arctgx +=+=='= ' 证3 a x a a a a y y x ln 1ln 1)(1)log (= ='= ' 类似地，我们可以证明下列导数公式： (arccos )()(ln )x x arcctgx x x x '=- -'=- +'= 1 11 11 22 二、复合函数的求导法则

{高中试卷}高一上数学各知识点梳理：反函数[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：

7、反函数一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（ B. －－1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是（） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2－1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f － 1(4)等于（） A ．2 B ．1－2 C ．－2 D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是（） A ．y=－f (x ) B ．y= f -1(x ) C ．y =－f -1(x ) D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 6．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（） A ．a B ．1 a - C ． b D ．1 b - 7．已知函数()1 3 ax f x x += -的反函数就是()f x 本身，则a 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数（） A ．有且只有一个实数根 B ．至少有一个实数根 C ．至多有一个实数根 D ．没有实数根 9．函数f (x )=－ 2 2 ·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为（） A ．(－∞，0］ B ．(－∞，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点（） A ．(－1，4) B ．(－4，－1) C ．(－1，－4) D ．(1，－4)

高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点

高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章) 一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分函数极限与连续（包括级数）第二部分导数及其应用（包括多元函数）第三部分积分计算及其应用（包括二重积分和方程）第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。二、极限与连续常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。 2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。

3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。 5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型： 1、导数的几何意义； 2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。 3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导； 4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点； 5、求闭区间上连续函数的最值； 6、实际问题求最值。每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型 1、不定积分的概念与计算； 2、定积分的计算； 3、定积分计算平面图形的面积； 4、定积分计算旋转体的体积； 5、无穷限反常积分 6、二重积分 7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 log log x的定义域是___________. 2007.7 例1..函数y= 23 知识点：定义域

高中数学知识点题库 021反函数

1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈[1，＋∞)，则f － 1(x )的定义域是 ( ) A ．(0,1) B ．[1，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．R 答案：C 解析：由x ≥1，得log 2x ≥0，∴y ＝log 2x ＋3≥3，∵反函数的定义域就是原函数的值域， ∴f －1(x )的定义域为[3，＋∞)．题干评注：反函数问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。 2．函数f (x )＝2x ＋ 1的反函数的图象大致是 ( ) 答案：A 解析：由y ＝2x ＋1得x ＋1＝log 2y ，x ＝log 2y －1(y >0)，即函数f (x )＝2x ＋1的反函数是f －1(x )＝log 2x －1(x >0)，注意到函数f －1(x )在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A. 题干评注：反函数问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。 3．函数y ＝ln x ＋1 x －1，x ∈(1，＋∞)的反函数为 ( ) A ．y ＝e x －1 e x ＋1，x ∈(0，＋∞) B ．y ＝e x ＋1 e x －1，x ∈(0，＋∞) C ．y ＝e x －1 e x ＋1，x ∈(－∞，0) D ．y ＝e x ＋1 e x －1，x ∈(－∞，0) 答案：B 解析：由y ＝ln x ＋1x －1得x ＝e y ＋1 e y －1 ，∵x >1， ∴e y ＋1e y －1>1，∴2 e y －1 >0，e y >1，∴y >0，因此y ＝ln x ＋1x －1的反函数为y ＝e x ＋1e x －1 ，x ∈(0，＋∞)．题干评注：反函数问题评注：一般地，如果x 与y 关于某种对应关系f （x ）相对应，y=f （x ），则y=f （x ）的反函数为y= f ‘（x ）。存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。

2021高考数学必备知识点及公式总结

2021高考数学必备知识点及公式总结高考数学必备知识点及公式总结 1高中数学必备知识点 1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3.注意下列性质： (3)德摩根定律： 4.你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 6.命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7.对映射的概念了解吗?映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射? (一对一，多对一，允许B中有元素无原象。) 8.函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9.求函数的定义域有哪些常见类型? 10.如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。 11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?

12.反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 13.反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14.如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? ∴……) 15.如何利用导数判断函数的单调性? 值是() A.0B.1C.2D.3 ∴a的最大值为3) 16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) 注意如下结论： (1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 17.你熟悉周期函数的定义吗? 函数，T是一个周期。) 如： 18.你掌握常用的图象变换了吗?