反函数知识点总结讲义教案

班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生：

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教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点

反函数的求法，反函数与原函数的关系．

反函数知识点总结教案

【知识整理】 一．函数的定义

如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为：

)(x f y = x ∈D.

二．反函数定义

一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把

x 表示出，得到)(y x ?= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ?= , x 在D 中都有唯

一的值和它对应，那么，)(y x ?= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ?= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1

y f

x -=

反函数)(1

y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1x f y -=

( x ∈A).

注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法：

1．求反函数的方法步骤：

①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1

y f x -= (把x 用y 表示出来)；

③将x , y 互换得： )(1

x f

y -=，并写出反函数的 定义域

2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系

反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1

()y f x -=互为反函

数，函数()y f x =的定义域为D 、值域为A ，则1

[()]()f f

x x x A -=∈，1[()]()f f x x x D -=∈；

函数)(x f y =

反函数)(1

x f y -=

定义域 D A 值 域

A

D

4. 互为反函数的函数图象间的关系

一般地，函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称，其增减

性相同.

释意：如果点(a,b)在函数)(x f y =的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)(1

x f y -=的图像上。

换言之，如果函数)(x f y =的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)(1

x f y -=的图像上必然有点

(b,a).

1．求下列函数的反函数： （1）2

()(1)f x x x x =

+≤-； （2）22

1(01)(){

(10)

x x f x x x -≤≤=-≤<.

解：（1）由2(1)y x x x =

+≤-得2211

()(1)24

y x x =+-≤-，

∴211(0)24x y y +

=-+≥，∴所求函数的反函数为211

(0)24

y x x =--+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，

得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)

(01)

x x y x x ?+-≤≤?=?-<≤??．

2．函数11

(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=

≠-+，∴11()(1)(1)x

f x x a x --=≠-+，

由题知：1

()()f x f

x -=，

11(1)1x ax

a x ax

--=++，∴1a =．

3．若(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值．

解：∵(2,1)既在()f x mx n =

+的图象上，又在它反函数图象上，

∴(1)2(2)1f f =??=?，∴2

21

m n m n ?+=??+=??，∴37m n =-??=?．

4．设函数x

x x f +-=121)(，又函数)(x g 与1

(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．

解法一：由121x y x -=

+得12y x y -=+，∴1

1()2

x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+，

∴)(x g 与3

x y x -=

+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-．

解法二：由1

(1)y f

x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．

5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1

()y f x -=，则方程()0f x =有

解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1

()y f

x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．

6．已知21

()()21

x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数； （3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式1

21()log x f x k

-+>．

解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时

21212112()()021212112x x x x x x x x

f x f x ------+-=+=+=++++，即()f x 为奇函数．

（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1x

y y y +=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x

-+=-<<-． （3）∵1

21()log x f x k -+>，∴11111

x x

x k x ++?>?-??-<-??

-<

①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．

7.已知函数13)(-=x

x f 的反函数)(1x f y -=，)13(log )(9+=x x g

（１）若)()(1

x g x f ≤-，求x 的取值围D ；

（２）设函数)(2

1)()(1

x f x g x H --=，当D x ∈时，求)(x H 的值域. 解：∵

13)(-=x x f ，∴

)1(log )(31+=-x x f ．

（１）∵)()(1

x g x f

≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ，

∴2(1)31,

10.

x x x ?+≤+?+>? 解之得10≤≤x ∴[]1,0=∈D x ．

（２）∵ )(21)()(1

x f x g x H --

=)1(log 2

1)13(log 39+-+=x x )1(log )13(log 99+-+=x x 1

1

3log 9

++=x x ． []1,

0∈x 令1

2

3113+-=++=

x x x t ，显然在[0，1]递增，则有21≤≤t ． ∴2log )(09≤≤x H ，即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．

8. 已知函数)(x f y =在其定义域D 是减函数，且存在反函数，求证：)(x f y =的反函数

)(1

x f

y -=在它的定义域E 也是减函数（E 是)(x f y =的值域）．

证明：∵)(x f y =在其定义域D 是减函数，

∴设D x x ∈21,，且21x x <，有)()(21x f x f >． 令)(),(2211x f y x f y ==，有E y y ∈21,，且21y y >． ∵函数)(x f y =在上D 存在反函数E x x f y ∈=-),(1

，∴)(),(21

211

1y f

x y f

x --==．

由题意，)()(21

11

2121y f y f x x y y --，且E y y ∈21,，

∴)(1

x f

y -=在定义域E 是减函数．

9.已知函数2

1()(), 1.1

x f x x x -=>+ （1）求()f x 的反函数1

()f x -；（2）判定1

()f x -在其定义域的单调性；

（3）若不等式1(1)()()x f x a a x --

>-对11

[,]164

x ∈恒成立，数a 的取值围.

解：（1）由y =（

11+-x x ）2，得x =y

y -+11. 又y =（1－12

+x ）2，且x ＞1， ∴0＜y ＜1 ∴f －1（x ）=

x

x -+11（0＜x ＜1）.

（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.

∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=

)

1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.

∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）

x

x -+11＞a （a －x ）.

∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［

161

，4

1］恒成立. 显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161

，4

1］，∴t ∈［41，21］.

则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，2

1

］恒成立.

由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，

∴g （41）＞0且g （21）＞0，即???????>-++>-++,

01)1(2

1,01)1(4

1

22a a a a 解得－1＜a ＜45．

【反馈练习】

1函数2

23y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（ D ） A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞ C 、[1,2]a ∈ D 、(],1a ∈-∞[)2,+∞

2函数)1(12<+=x y x 的反函数是（ A ）

A ．)3,1(),1(log 2∈-=x x y

B ．)3,1(,log 12∈+-=x x y

2

1,10,

x y x

>∴=->()

2110

y x x y y

=-?=+>

故所求的反函数是()()

110

f x x x

-=+>

1设0,1

a a

>≠，函数log a

y x

=的反函数和

1

log

a

y x

=的反函数的图象关于( )

()A x轴对称()B y轴对称()

C y x

=轴对称()D原点对称

2已知函数

1

()()1

2

x

f x=+，则1()

f x

--的图象只可能是（）

()A()B()

C()

D

3若函数)

(x

f的图象上经过点)1

,0(-，则函数)4

(+

x

f的反函数的图象上必经过点（ C ）Ａ．)4,1

(-Ｂ．)1

,4

(-

-Ｃ．)4

,1

(-

-Ｄ．)4,1(

4已知函数)

(x

f

y=有反函数，则方程a

x

f=

)

(（a为常数）（ B ）

Ａ．有且只有一个实根Ｂ．至多有一个实根

Ｃ．至少有一个实根Ｄ．实根的个数无法确定

5函数1

2-

=x

y（N

x∈）的反函数是（C ）

A．

2

1

+

=

x

y（N

x∈）B．

2

1

+

=

x

y（Z

x∈）

C．

2

1

+

=

x

y（{}

正奇数

∈

x）D．

2

1

-

=

x

y（{}

正奇数

∈

x）

6设函数3

2

)

(2+

-

=x

x

x

f，(]1,∞-

∈

x，则)

(1x

f-的定义域是（D ）

A．[)

+∞

,0B．)

,2(+∞C．(]1,∞

-D．[)+∞,2

7若6

y ax

=-与

1

3

y x b

=+的图象关于直线y x

=对称，且点(,)

b a在指数函数()

f x的图象上，则()

f x=．

8若函数

a

x

x

x

f

+

+

=

2

3

)

(有反函数,则实数a的取值围是_____________．R

a∈且

3

2

-

≠

a.

1-

x

y

O

2-

x

y

O1x

y

O

1-1-x

y

O

2-