反函数知识点总结讲义教案

班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生：

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教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点

反函数的求法，反函数与原函数的关系．

反函数知识点总结教案

【知识整理】 一．函数的定义

如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为：

)(x f y = x ∈D.

二．反函数定义

一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把

x 表示出，得到)(y x ϕ= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ϕ= , x 在D 中都有唯

一的值和它对应，那么，)(y x ϕ= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ϕ= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1

y f

x -=

反函数)(1

y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1x f y -=

( x ∈A).

注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法：

1．求反函数的方法步骤：

①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1

y f x -= (把x 用y 表示出来)；

③将x , y 互换得： )(1

x f

y -=，并写出反函数的 定义域

2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系

反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1

()y f x -=互为反函

数，函数()y f x =的定义域为D 、值域为A ，则1

[()]()f f

x x x A -=∈，1[()]()f f x x x D -=∈；

函数)(x f y =

反函数)(1

x f y -=

定义域 D A 值 域

A

D

4. 互为反函数的函数图象间的关系

一般地，函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称，其增减

性相同.

释意：如果点(a,b)在函数)(x f y =的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)(1

x f y -=的图像上。

换言之，如果函数)(x f y =的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)(1

x f y -=的图像上必然有点

(b,a).

1．求下列函数的反函数： （1）2

()(1)f x x x x =

+≤-； （2）22

1(01)(){

(10)

x x f x x x -≤≤=-≤<.

解：（1）由2(1)y x x x =

+≤-得2211

()(1)24

y x x =+-≤-，

∴211(0)24x y y +

=-+≥，∴所求函数的反函数为211

(0)24

y x x =--+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，

得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)

(01)

x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．

2．函数11

(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=

≠-+，∴11()(1)(1)x

f x x a x --=≠-+，

由题知：1

()()f x f

x -=，

11(1)1x ax

a x ax

--=++，∴1a =．

3．若(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值．

解：∵(2,1)既在()f x mx n =

+的图象上，又在它反函数图象上，

∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴2

21

m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴37m n =-⎧⎨=⎩．

4．设函数x

x x f +-=121)(，又函数)(x g 与1

(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．

解法一：由121x y x -=

+得12y x y -=+，∴1

1()2

x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+，

∴)(x g 与3

x y x -=

+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-．

解法二：由1

(1)y f

x -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．

5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1

()y f x -=，则方程()0f x =有

解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1

()y f

x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．

6．已知21

()()21

x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数； （3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式1

21()log x f x k

-+>．

解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时

21212112()()021212112x x x x x x x x

f x f x ------+-=+=+=++++，即()f x 为奇函数．

（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1x

y y y +=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x

-+=-<<-． （3）∵1

21()log x f x k -+>，∴11111

x x

x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨

-<<⎩，