第04章 平面向量与复数
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2020 高中数学精讲精练 第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
向量的概念
向量
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积
Ⅱ.复数的知识结构表
复数的概念
数系的扩充与 复数的引入
复数的运算
两个向量平行的充要条件 两个向量垂直的充要条件
数系的扩充 【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一 个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好 载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几 何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
【反馈练习】
1.已知向量 a,b 满足
a
= 1, b
4, 且ab
2
, 则 a 与 b 的夹角为
3
2.如图，在四边形 ABCD 中， | AB | | BD | | DC | 4, AB BD BD DC 0,
D
C
| AB | | BD | | BD | | DC | 4 ，则 ( AB DC) AC 的值为 4
C.|a|＋|b|=|a－b|
2.设四边形 ABCD 中，有 DC
1
AB,
AD
BC
则这个四边形是（C）
2
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D. |a|＋|b|=|a+b| D.菱形
3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：
① AB BC CD ，
② DB AC BD ，
（3）
∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点，∴ EA ED 0 ， FB FC 0 ，
代入（3）式得， AB DC 2EF
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例 2.已知 OA,OB 不共线， OP aOA bOB ,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 a b 1
③ OA OC OB CO 。
解析：①原式= ( AB BC) CD AC CD AD ；
②原式= (DB BD) AC 0 AC AC ；
③原式= (OB OA) (OC CO) AB (OC CO) AB 0 AB 。
（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知 a 与 b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，求 a 与 b 的夹角. 解：∵且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直， ∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b2=0，
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若 A,P,B 三点共线，则存在实数 ，使得 AP AB ,即 OP OA OB OA ,∴
OP
1
OA
OB,
∵
OP
aOA
bOB
,∴
a
1
,b
，∴
a
b
1.
再证充分性：若
a
b
1.
则
AP
OP
OA
=
a
B
由 EA AB EB 和 EF FB EB 可得， EA AB EF FB （1）
wk.baidu.com例1
由 ED DC EC 和 EF FC EC 可得， ED DC EF FC （2）
（1）+（2）得， EA ED AB DC 2EF FB FC
4.设 x 为未知向量， a 、 b 为已知向量， x 满足方程 2 x (5 a +3 x 4 b )+ 1 a 3 b =0， 2
则 x = 9 a b （用 a 、 b 表示） 2
5.在四面体
O-ABC
中，OA
a, OB
b,
OC
c,
D
为
BC
的中点，E
为
AD
的中点，则
OE
=
1
a
1
b
1
c
1
OA
bOB
b
OB OA
= b AB ,∴
AP 与 AB 共线，∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
【反馈练习】
1．已知向量 a 和 b 反向，则下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b|
B. |a|－|b|=|a+b|
3.若向量 a,b 满足 a = b = 1 , a,b 的夹角为 60°，则 aa + ab = 3
2
4.若向量 a = 1, b 2, 且 a -b 2 ,则 a+b 6
A
B
第2题
5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴ ab a b 2 a 2 b 2 10 2
1
OA-OB
= 1 a b
3 OM=OB+BM
6 1
a
5
b
.
66
6
CN 1 CD,ON 4 CD 2 OD
ON=
2
OD=
2
6 6 OA+OB
2 a b
3 3 MN=ON-OM
3 1a
1b
33
3
26
第6题
【考点导读】
第 2 课 向量的数量积
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 600 ，那么 a 3b 13
2.在直角坐标系 xOy 中，i, j 分别是与 x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC 中，AB 2i j ， AC 3i kj ，则 k 的可能值个数为 2 个
3. 若 a 1, b 2 ， a 与 b 的夹角为 600 ，若 (3a+5b) (ma b) ，则 m 的值为 23 8
第 1 课 向量的概念及基本运算
【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】
1.出下列命题：①若 a b ，则 a b ；②若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形为平 行四边形的充要条件；③若 a b, b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑤若 a // b ， b // c ，则 a // c 。其中，正确命题材的序号是②③
解 ： 由 题 意 ， a b 1 ， 且 a 与 b 的 夹 角 为 1200 ， 所 以 ， a b a b cos120 1 ， 2
c 2 c c 2a b 2a b 4a 2 4a b b 2 7 c 7 ，同理可得 d b2 4ac 13
而 c d (2a b) (3b a) 7a b 3b 2 2a 2 17 ， 设 为 c 与 d 的 夹 角 ， 则 2
分析:问题（1）通过证明 (a b) c 0 证明 (a b) c ,问题（2）可以利用 | ka b c |2 ka b c 2
解：（1）∵ | a || b || c | 1 ，且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120°， ∴ (a b) c a c b c | a || c | cos1200 | b || c | cos1200 0 ∴ (a b) c 0
cos 17 17 91 2 7 13 182
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例 2.已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°， （1）求证： (a b) ⊥ c ；（2）若 | ka b c | 1 (k R) ，求 k 的取值范围.
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合 运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高 度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问
例 3.如图，在直角△ABC 中，已知 BC a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与BC 的夹角 取
何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
BP CQ (AP AB) (AQ AC ) ,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解：
AB
AC ,
AB
AC
0.
AP
AQ,BP
AP
AB,CQ
AQ
AC ,
BP CQ (AP AB) (AQ AC )
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
例3
a2 AP AC AB AP
a2 AP (AB AC )
a2
1
PQ
BC
2
a2
1
PQ
BC
2
a2 a2 cos.
故当cos
0,即
( PQ与BC方向相同)时, BP CQ最大. 其最大值为
a
2.
2
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加
以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
244
（用 a，b，c 表示）
6 如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C，线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM,线段 CD 上有一点
N 满足 CD＝3CN,设 OA a, OB b, 试用a, b表示OM,ON,MN
解：
BM=
1
BC=
1
BA,
BM=
1
BA=
2. 化简 AC BD CD AB 得 0
3.在四边形 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－4a－b，CD =－5a－3b，其中 a、b 不共线，则四边形 ABCD 为梯
B
形
Q
4.如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，
若
OA
＝a，
OB
＝b，则
OP
＝
2
a
1
b
，
33
OQ
＝
1
a
2
b
(用 a、b 表示)
33
b O
P A
a 第4题
【范例导析】
例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F，
求证： AB DC 2EF .
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
D
C
E
F
证明：如图，连接 EB 和 EC ，
A
题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向
量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
∴b2=2 a·b，|a|=|b|
∴ cos
ab ab
1 2
∴ 60
【考点导读】
第 3 课 向量的坐标运算
1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
4.若| a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为 120°
【范例导析】
例 1.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为1200 ，若 c 2a b, d 3b a ，试求 c 与 d 的夹角的余弦值。
分析:利用 a 2 a2 及 cos a b 求解. ab
（2）∵ | ka b c | 1，即 | ka b c |2 1 也就是 k2a2 b2 c2 2ka b 2ka c 2b c 1
∵ a b b c a c 1 ，∴ k 2 2k 0 2
所以 k 0 或 k 2 ．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
向量的概念
向量
向量的运算
向量的运用
向量的加、减法 实数与向量的积 向量的数量积
Ⅱ.复数的知识结构表
复数的概念
数系的扩充与 复数的引入
复数的运算
两个向量平行的充要条件 两个向量垂直的充要条件
数系的扩充 【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一 个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好 载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几 何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
【反馈练习】
1.已知向量 a,b 满足
a
= 1, b
4, 且ab
2
, 则 a 与 b 的夹角为
3
2.如图，在四边形 ABCD 中， | AB | | BD | | DC | 4, AB BD BD DC 0,
D
C
| AB | | BD | | BD | | DC | 4 ，则 ( AB DC) AC 的值为 4
C.|a|＋|b|=|a－b|
2.设四边形 ABCD 中，有 DC
1
AB,
AD
BC
则这个四边形是（C）
2
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D. |a|＋|b|=|a+b| D.菱形
3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：
① AB BC CD ，
② DB AC BD ，
（3）
∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点，∴ EA ED 0 ， FB FC 0 ，
代入（3）式得， AB DC 2EF
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例 2.已知 OA,OB 不共线， OP aOA bOB ,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 a b 1
③ OA OC OB CO 。
解析：①原式= ( AB BC) CD AC CD AD ；
②原式= (DB BD) AC 0 AC AC ；
③原式= (OB OA) (OC CO) AB (OC CO) AB 0 AB 。
（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知 a 与 b 都是非零向量，且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直，求 a 与 b 的夹角. 解：∵且 a+3b 与 7a-5b 垂直，a－4b 与 7a－2b 垂直， ∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b2=0，
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若 A,P,B 三点共线，则存在实数 ，使得 AP AB ,即 OP OA OB OA ,∴
OP
1
OA
OB,
∵
OP
aOA
bOB
,∴
a
1
,b
，∴
a
b
1.
再证充分性：若
a
b
1.
则
AP
OP
OA
=
a
B
由 EA AB EB 和 EF FB EB 可得， EA AB EF FB （1）
wk.baidu.com例1
由 ED DC EC 和 EF FC EC 可得， ED DC EF FC （2）
（1）+（2）得， EA ED AB DC 2EF FB FC
4.设 x 为未知向量， a 、 b 为已知向量， x 满足方程 2 x (5 a +3 x 4 b )+ 1 a 3 b =0， 2
则 x = 9 a b （用 a 、 b 表示） 2
5.在四面体
O-ABC
中，OA
a, OB
b,
OC
c,
D
为
BC
的中点，E
为
AD
的中点，则
OE
=
1
a
1
b
1
c
1
OA
bOB
b
OB OA
= b AB ,∴
AP 与 AB 共线，∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
【反馈练习】
1．已知向量 a 和 b 反向，则下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b|
B. |a|－|b|=|a+b|
3.若向量 a,b 满足 a = b = 1 , a,b 的夹角为 60°，则 aa + ab = 3
2
4.若向量 a = 1, b 2, 且 a -b 2 ,则 a+b 6
A
B
第2题
5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴ ab a b 2 a 2 b 2 10 2
1
OA-OB
= 1 a b
3 OM=OB+BM
6 1
a
5
b
.
66
6
CN 1 CD,ON 4 CD 2 OD
ON=
2
OD=
2
6 6 OA+OB
2 a b
3 3 MN=ON-OM
3 1a
1b
33
3
26
第6题
【考点导读】
第 2 课 向量的数量积
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 600 ，那么 a 3b 13
2.在直角坐标系 xOy 中，i, j 分别是与 x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形 ABC 中，AB 2i j ， AC 3i kj ，则 k 的可能值个数为 2 个
3. 若 a 1, b 2 ， a 与 b 的夹角为 600 ，若 (3a+5b) (ma b) ，则 m 的值为 23 8
第 1 课 向量的概念及基本运算
【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】
1.出下列命题：①若 a b ，则 a b ；②若 A、B、C、D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形为平 行四边形的充要条件；③若 a b, b c ，则 a c ；④ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑤若 a // b ， b // c ，则 a // c 。其中，正确命题材的序号是②③
解 ： 由 题 意 ， a b 1 ， 且 a 与 b 的 夹 角 为 1200 ， 所 以 ， a b a b cos120 1 ， 2
c 2 c c 2a b 2a b 4a 2 4a b b 2 7 c 7 ，同理可得 d b2 4ac 13
而 c d (2a b) (3b a) 7a b 3b 2 2a 2 17 ， 设 为 c 与 d 的 夹 角 ， 则 2
分析:问题（1）通过证明 (a b) c 0 证明 (a b) c ,问题（2）可以利用 | ka b c |2 ka b c 2
解：（1）∵ | a || b || c | 1 ，且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120°， ∴ (a b) c a c b c | a || c | cos1200 | b || c | cos1200 0 ∴ (a b) c 0
cos 17 17 91 2 7 13 182
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例 2.已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120°， （1）求证： (a b) ⊥ c ；（2）若 | ka b c | 1 (k R) ，求 k 的取值范围.
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合 运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高 度来认识和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问
例 3.如图，在直角△ABC 中，已知 BC a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问 PQ与BC 的夹角 取
何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
BP CQ (AP AB) (AQ AC ) ,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解：
AB
AC ,
AB
AC
0.
AP
AQ,BP
AP
AB,CQ
AQ
AC ,
BP CQ (AP AB) (AQ AC )
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
例3
a2 AP AC AB AP
a2 AP (AB AC )
a2
1
PQ
BC
2
a2
1
PQ
BC
2
a2 a2 cos.
故当cos
0,即
( PQ与BC方向相同)时, BP CQ最大. 其最大值为
a
2.
2
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加
以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
244
（用 a，b，c 表示）
6 如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C，线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM,线段 CD 上有一点
N 满足 CD＝3CN,设 OA a, OB b, 试用a, b表示OM,ON,MN
解：
BM=
1
BC=
1
BA,
BM=
1
BA=
2. 化简 AC BD CD AB 得 0
3.在四边形 ABCD 中， AB =a+2b， BC =－4a－b，CD =－5a－3b，其中 a、b 不共线，则四边形 ABCD 为梯
B
形
Q
4.如图，设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点，
若
OA
＝a，
OB
＝b，则
OP
＝
2
a
1
b
，
33
OQ
＝
1
a
2
b
(用 a、b 表示)
33
b O
P A
a 第4题
【范例导析】
例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F，
求证： AB DC 2EF .
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
D
C
E
F
证明：如图，连接 EB 和 EC ，
A
题时注意用数形结合思想的应用. 2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向
量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
∴b2=2 a·b，|a|=|b|
∴ cos
ab ab
1 2
∴ 60
【考点导读】
第 3 课 向量的坐标运算
1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
4.若| a | 1,| b | 2, c a b ，且 c a ，则向量 a 与 b 的夹角为 120°
【范例导析】
例 1.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为1200 ，若 c 2a b, d 3b a ，试求 c 与 d 的夹角的余弦值。
分析:利用 a 2 a2 及 cos a b 求解. ab
（2）∵ | ka b c | 1，即 | ka b c |2 1 也就是 k2a2 b2 c2 2ka b 2ka c 2b c 1
∵ a b b c a c 1 ，∴ k 2 2k 0 2
所以 k 0 或 k 2 ．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.