求不定积分的几种基本方法

解 令 u x2 1,
则
x x2 1dx 1 x2 1(x2 1)dx 2
，
1 x2 1d(x2 1) 2
1
udu
1
3
u2
C
2
3
1
(x2
3
1) 2
C.
3
例5 求
xex2 dx.
解 令 u x2,则 du 2xdx ,有
xex2 dx 1 ex2 (2x)dx 1 eudu
§5.2 求不定积分的几种基本方法
一、 第一类换元法（凑微分法） 先看下例：
例1 求
cos3 xdx.
解
cos3 xdx
cos
2
x
.
cos
xdx
cos2xd sin x (1 sin2 x)d sin x
设
u sin x, 则
cos3 xdx (1 u2 )du u 1 u3 C 3
f ((t))(t)dt. 在求出后一个积分后,再以
x (t) 的
反函数
t 1(x) 代回去,这样换元积分公式可表示为:
f
( x)dx
f
( (t )) (t )dt
t 1 ( x)g
sin
2
xdx
1
cos 2
2
xdx
1 2
x
1 4
cos
2xd(2x)
1 x 1 sin 2x C. 24
类似地可得 例11 求
解
cos2 xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C.
csc xdx.
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin sin 2
x x
dx
Baidu Nhomakorabea
d cos x cos2 x-1
1 ln 2
1 cos x 1 cos x
由于在积分过程中，先要从被积表达式中凑出一个积分
因子 d x x dx, 因此第一类换元法也称为凑微分法.
例2 求
2cos2xdx.
解
2cos2xdx cos2x 2x dx
cosu du sin u C.
再以 u 2x 代入，即得
2cos 2xdx sin 2x C.
例3 求
1 2x
dx. 3
解 被积函数
，
1 可看成 2x 3
1 与 u 2x 3 构成的复合
u
函数，虽没有
u 2 这个因子，但我们可以凑出这个因子：
1 1 1 2 1 1 (2x 3)
2x 3 2 2x 3
2 2x 3
如果令
u 2x 3 便有
1 2x
dx 3
1 2
1 2x
C
ln tan x C. 2
类似地可得
sec xdx ln sec x tan x C.
例12 求 解
ex
dx. x
e
x
dx 2
e
xd
x 2e x C.
x
例13 求
sec4 xdx.
解
sec4 xdx sec2 xd tan x (1 tan2x)d tan x
tan x 1 tan3 x C. 3
第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:
(1)
dx 1 d(ax b); a
(2) xdx 1 dx1( 1); 1
(3)
1 dx d ln x; (4) x
axdx 1 dax ; ln a
(5) sin xdx d cos x; (6) cos xdx d sin x;
(7) sec2 xdx d tan x; (8) csc2 xdx d cot x;
(9)
1 dx d arcsin x; (10) 1 x2
1 1 x2 dx d arctan x.
二、 第二类换元法
第一类换元法是通过变量代换
u (x) ，将积分
f ((x))(x)dx 化为积分
f (u)du ．第二类换元法是通
过变量代换
x (t) ，将积分
f (x)dx 化为积分
1 ln a x 1 ln a x C
2a
2a
1 ln a x C. 2a a x
例9 求 解
类似地可得
tanxdx.
tanxdx
sin cos
x x
dx
d cos x cos x
ln cos x C.
cotxdx ln sin x C.
例10 求 解
sin2xdx.
2
2
，
1 eu C 1 ex2 C.
2
2
凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式．在
比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤．
例6 求 解 例7 求
1
dx a2 x2
(a 0).
1
dx
dx
a2 x2
a 1 ( x)2
a
a2
1
x2
dx.
d( x) a
arcsin x C.
3
(2x
3)dx
1 2
1 2x
3
d(2x
3)
1 2
1du u
1 ln u C 1 ln 2x 3 C.
2
2
，
一般地，对于积分
f (ax b)dx 总可以作变量代换
u ax b，把它化为
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d(ax
b)
1 a
f
(u)du
u
(
x)
.
例4 求
x x2 1dx.
目录 上一页 下一页 退 出
sin x 1 sin3 x C.
3
一般地，如果
F ( u ) 是 f ( u )的一个原函数，则
而如果
f (u ) du F (u ) C,
u 又是另一个变量
x 的函数
u x, 且
x 可微，那么根据复合函数的微分法，有
dF x f x d x f x x dx.
由此得
f xxdx f xd x
= dF x F x C.
于是有如下定理：
定理1 设
f ( u ) 是具有原函数
F (u ), u x 可导，则
有换元公式
f
x
x dx
f
(u
)
d
u
u x
F ( u ) C ux .
（5-2）
由此可见，一般地，如果积分 利用利用基本积分公式计算，而其被积表达式
g xdx 不能直接
g xdx
能表示为
g x dx f x x dx f xd x
的形式，且
f ( u ) d u 较易计算，那么可令
u x,
代入后有
g xdx f xxdx
f
x
d
x
f ( u ) d u ux.
这样就得到了
g x 的原函数.这种积分称为第一类换元法.
1 ( x)2
a
a
解
1 dx 1 1 dx
a2 x2
a2 1 ( x)2
a
1 a
1
1 ( x)2
d( x) a
1 a
arctan
x a
C.
a
例8 求 解
a2
1
x2
dx(a
0).
a2
1
x2 dx
1 2a
( a
1
x
a
1
)dx x
1 2a
d(a x) ax
1 2a
d(a x) ax