最小树问题

j
Wj
aj
akl
1
W1
a1
a23
2
W2
a2
a55
…
…
…
…
m
Wm
am
a76
24
对G中各边按权大小顺序排列，不妨设为W1≤ W2≤ … ≤ Wm
Y j=j+1
填写Wj对应的各边aj
S=φ ，i = 0，j=1
|S| = n-1 N
{aj} ∪ S构成圈？ N
ei+1=aj S={ei+1} ∪ S i=i +1 j=j+1
一条边，则可构成一条回路 ⑹ T连通，但去掉任一条边后就不连通，即树T
是连通且边数最小的图
21
§5.2 最小生成树
def 7：若T是图G的一个生成子图而且又是一 棵树，则称树T是图G的一个生成树（又称支 撑树）；又若树T=(V1,E1)为图 G=(V,E,W)的
一个生成树，令
W (T )
W (e)
def 2：一个有向图G是一个有序的二元组，记为G=(V, A)， 其中V=(V1V2…Vn)称为G的点集合，A={aij}称为G的弧 （有向边）集合，aij是以Vi指向Vj的一条弧。 |V|=n表示G中节点个数为n，此节点个数n也称为图G的阶 |A|=m表示有向图G中弧的个数为m 任一顶点相关联（连接）的边的数目称为该顶点的次数
15
§ 5.1 基本概念
例：下示图G1是图G的子图，图G2是图G的生成 子图。
V1
V3
V1
V1
V3
V2
V4
V2
V4 V2
V4
（a）图G
（b）图G1
（c）图G2
16
§ 5.1 基本概念
4 赋权图（加权图）与网路 def 5：设G是一个图（或有向图），若对G的每
一条边（或弧）eij都赋予一实数ωij，称其为该 边（弧）的权，则G连同其他弧上的权集合称 为一个赋权图，记作G= (V, E, W) 或G= (V, A, W)，此中W={ωij}，ωij为对应边（弧）eij的权。 若G= (V, E, W) （或(V, A, W)）为赋权图，且 在G的V中指定一个发点（常记为Vs）和一个 收点（记为Vt），其余点称为中间点，则称这 样指定了发点与收点的赋权图G为网络。
a1~a5
56
5
a6
a1~a6
√
—7
5
a7 a1~a5, a7
√
—8
5
a8 a1~a5, a8
√
—9
5
a9 a1~a5, a9
×
e6 = a9 a1~a5,a9 6 10 6
END
28
v2
v3
1
v2
v3
1
3
v7
2
v5
v2
v3
1
3
v1
3
v7
3
v6
v5
29
2
v2
v3
1
2
v5
v2
v3
1
3
v1
3
v7
2
v5
32
设G=(V,E,W)， |V| = n， |E| = m，
S — 待生成的集合（逐步丢边） i — S中丢掉边的序号 j — S中保留边的序号 ei+1 — S中丢到的边 E1— S中丢到的边的全体（集合） fj+1 — S中保留的边 D — S中保留边的集合
33
§5.2 最小生成树
由于边个数为m，树含边的个数为n-1，故丢 掉（形成回路）边的个数为 m-(n-1)=m-n+1，以 此为程序出口，标志着最小生成树形成。
18
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§5.2 最小生成树
最小生成树在网络（电信网、公路网等） 设计与企业管理中有重要应用。
19
（一）基本概念与理论
def 6：无圈的连通图（无向图）称为树，常 记为符号T。如下图的（a）为树，（b）有圈， （c）不连通，故（b）（c）均非树。
V1
V1
V1
V2
V2 V3
V3
V2
V3
V4
V4
V4
V5
故可E中各边按权大小排列设为W1≤ W2≤ … ≤ Wm，对应边依次为a1,a2, … am，然后将 a1,a2, … 依次进入集合S，直到获得G的生成树T 为止（树的判断可由Th1(4)结论），则此树T必 为最小生成树。
23
设G=(V,A,W)， |V| = n ， |A| = m S— 待生成的集合 i — S中进入最小生成树的边序号 j — 逐个进入S的G的边序号 ei+1 — S中进入最小生成树的边
第5章 图与网络分析
1
引言
图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于 物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理， 电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中 的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如， 各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通 网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法，简便、快 捷地加以解决。
V6 V5
V6
V5
V6
（a）
（b）
（c）
20
Th1：设T=(V,E)是|V|≥ 3的一个无向图，则下列 六个关于树的定义是等价的：
⑴ T连通且无圈 ⑵ T的任何两个顶点间均必有一条且仅有一条通
路相连 ⑶ T连通且有n-1条边，此中n= |V| ⑷ T有n-1条边且无圈，此中n= |V| ⑸ T无圈，但在T中任两个不相邻的顶点间添加
17
§ 5.1 基本概念
若N和E均为有限集合，则称为 G为有限图，否则称无限图。
若G中既没有有限回路（圈）， 也没有两条边连接同一对点， 图 a 则称G为简单图。如右图之 （a），右图之（b）不是简单 图。
若G为简单图，且G中每个点对 之间均有一条边相连，则称G 图 b 为 完 全 图 。 如 图 （ a） 是 简 单 图，但不是完全图。
26
v2
v3
1
4
3
7
v1
3
10
v7
v4
8
2
5 3
4
v6
v5
G={V,E,W}, |V| =7, |E| = 11
W=(ωij) ωij见图
解：依据各边权自小到大排列 建立表，求解过程见后表，由
表中得知最小生成树
T*={a1,a2,a3,a4,a5,a9}
W(T*)=1+2+3+3+7=19
27
Wj aj akl T* W1 a1 a23 * W2 a2 a35 * W3 a3 a27 * W4 a4 a17 * W5 a5 a67 * W6 a6 a37 W7 a7 a56 W8 a8 a57 W9 a9 a43 * W10 a10 a45 W11 a11 a16
Y
T*=S 打印T*
END
25
§5.2 最小生成树
例1（教材P115）
某大学准备对其所属的 7 个学院办公室计 算机联网．这个网络的可能联通的途径如图七 所示，图中V1，…，V7表示7个学院办公室， 边eij为可能联网的途径。边上所赋的权数为这 条路线的长度（单位：百米）。试设计一局域 网既能联结七个学院办公室，又能使网络线路 总长度为最短。
有向图
路
回路
无向图
链
圈
14
§ 5.1 基本概念
3 子图 def 4：设有两个图：G1= (V1, E1) ，G2= (V2,
E2)若有 V1 V2 E1 E2 ，则称G1为G2的子图， 记作 G1 G2 ；若有 V1=V2而 E1 E2 ,则称图
G1= (V1, E1) 是图G2= (V2, E2)的生成子图（支撑 子图）。
34
G=(V,E,W)，|V| = n，|E| = m， S= E，i=0，j=0，E1=φ, D=φ
随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的发展， 图论的理论获得了更进一步的发展，应用更加广泛。如果将 复杂的工程系统和管理问题用图的理论加以描述，可以解决 许多工程项目和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受 到工程技术人员和经营管理人员的重视。
2
图与网络分析
18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的 普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连 结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于 是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座 桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七 桥问题 。
eE
称为树T的权
（或长度），则G中具最小权的生成树称为G
的最小生成树，亦即若有 W (T*) W (e) T F
则有 T* 为G 的最小生成树，此中F为G的全
体生成树的集合。
22
（二）Kruskal算法（避圈法）
1. 算法思想： ① 由Th1(4)结论：若|V| = n ，则树T有n-1条边且
无圈 ② 由def7，最小生成树T*是具有最小权的生成树
11
§ 5.1 基本概念
1图
def1：一个无向图 （简称为图）G是一 个有序的二元组，记 为G=(V, E)。其中 V={V1…Vn}称为G的 点集合，E=(eij)称为 G的边集合，eij为连 接Vi与Vj的边。
v1
v2
e12
e'13 e13
e24
e34
v3
v4
图 6.1
e22 v5
e45
12
§ 5.1 基本概念
6
图与网络分析
在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系， 常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。
例:下图是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间的
铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示城
市之间的铁路线。诸如此类还有城市中的市政管道图，民用
航空线图等等。
北京
太原
石家庄
天津 塘沽
v5
8
图与网络分析
从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间的线 所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象之间 的特定关系。一般来说，通常用点表示研究对象，用点与 点之间的线表示研究对象之间的特定关系。由于在一般情 况下，图中的相对位置如何，点与点之间线的长短曲直， 对于反映研究对象之间的关系，显的并不重要，因此，图 论中的图与几何图，工程图等本质上是不同的。
济南 青岛
重庆
7
郑州 武汉
徐州 连云港
南京
上海
图与网络分析
例:有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示这
六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已知
v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这个
胜负情况，可以用下图所示的有向图反映出来。
v2
v4
v1
v6
v3
13
§ 5.1 基本概念
2 连通图
def 3：在有向图G中,一个点和边的交替序列 {路V，i ei记j V为j…AV，k 其ekl中VVl}i为称此为路G中A的从起点点Vi到，VVlj的为一路条A 的终点；若路A的起点与终点重合,则称A为回 路Vi与；V又j是若连G中通点的V；i与若VGj间中存任在何一二条点路都，是则连称通点的， 则称G为连通图，或图G为连通的。在无向图 中有对应的概念。
v2
v3
1
3
7
v1
3
v7
2
v4
3
v6
v5
（二）Kruskal算法（避圈法）
1. 从网络D中任选一点vi，找出与vi相关联的 权最小的边[vi，vj]，得第二个顶点vj；
2. 把顶点集V分为互补的两部分V1, V1 ，其中
V1，与已选边相关联的点集， V1，不与已选边相关联的点集；
3. 考虑所有这样的边[v i ,v j ], 其中v i V 1,v j V 1,挑选 其中权最小的；
9
图与网络分析
很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示 实体，线表示实体间的关联.
图和网络，具有两个基本要素：一是被研究的 对象，如公共汽车站等；二是他们之间的的某种 联系关系，如两车站之间的距离，通常用点点之 间的连线表示。
图与网络分析就是研究各种各样的图的规律和 一些典型问题的定性、定量分析算法。
10
本章主要内容：
5.1 基本概念 5.2 最小生成树
（一）基本概念与理论 （二）Kruskal算法（克鲁斯卡尔避圈法、破圈法） （三）丢边法（破圈法） 5.3 最短路问题 （一）Bellman最优化原理
（二）Dijkustra算法（迪克斯特拉双括号法）
5.4 最大流问题 （一）基本概念 （二）双标号算法
图与网络分析
Leonhard Euler
(1707-1783) 在1736 年发表第一篇图论方 面的论文，奠基了图 论中的一些基本定理。 C
A D
B
4
图与网络分析
交通路线图
5
图与网络分析
联邦快递（Fedex）在亚洲不断扩展其配送 网络，利用翌日送达服务来衔接各主要贸易中 心，并以前所未有的方式将亚洲与世界其它地 区相连接。
（例1求解过程）
e i +1
S
i
j |S| aj {aj}∪S 构成回路?
φ
0
1
0
a1
a1
×
e1 = a1
a1
1
2
1
a2
a1,a2
×
e2 = a2
a1,a2
2
3
2
a3
a1,a2, a3
×
e3 = a3 a1,a2,a3 3
4
3
a4
a1~a4
×
e4 = a4
a1~a4
45
4
a5
a1~a5
×
e5 = a5
4. 重复3，直至全部顶点属于V 1(即V1 )。
30
（二）Kruskal算法（避圈法）
例 2 求如图网络的最小部分树。
v2
2
27
v1
5 v3
5
v6
5
v7
1 3
3
1
7
v4 5
v5
31
（三）丢边法（破圈法）
1. 算法原理：
丢边法与加边法相反，加边法是以不形成 回路为准则将S=φ逐步加边以形成树，而由于 按边权愈小愈优先加进去，故为最小生成树， 而丢边法则是S= E以不形成回路为准则逐步丢 边以形成树，由于是按边权愈大愈优先丢掉， 故同样为最小生成树。